銀行間金融傳導(dǎo)的沙堆崩塌模型

李易林

本文試圖從Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型的角度解釋銀行間所存在的金融傳導(dǎo)造成的金融崩塌。世界對(duì)2008年全球金融海嘯的影響極其重視，學(xué)界在這之后試圖得出一個(gè)一般化理論解釋金融系統(tǒng)中的網(wǎng)絡(luò)傳導(dǎo)現(xiàn)象，即最初的美國次貸危機(jī)是如何造成全球經(jīng)濟(jì)衰退的，機(jī)制是什么，動(dòng)力是什么。在前人的許多研究基礎(chǔ)上，本文希望從一個(gè)全新的視角——物理學(xué)領(lǐng)域中自組織臨界的動(dòng)力系統(tǒng)例子、相交、平均場理論等——來模擬該金融網(wǎng)絡(luò)傳導(dǎo)與崩潰。

金融傳導(dǎo)

金融理論 沙堆崩塌模型

模型基本要素

Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型

Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型又稱作Abelian沙堆模型，由Per Bak，Chao Tang和Kurt Wiesenfeld于1978年提出，是自組織臨界的動(dòng)力系統(tǒng)中第一個(gè)發(fā)現(xiàn)的例子，其模型本質(zhì)是一種細(xì)胞自動(dòng)機(jī)（ CellularAutomation）。下面介紹這個(gè)沙堆模型。

首先從一個(gè)簡單模型開始，考慮一個(gè)3*3均勻分割的正方形網(wǎng)格平面，每個(gè)小格中最多容納3顆沙礫，并假設(shè)沙礫都是完全相同的，若某個(gè)小格中沙礫數(shù)量n_i（n_i∈N）超過3顆，n_i≥4，則該小格的沙堆會(huì)發(fā)生崩塌，向四邊的四個(gè)小格各擴(kuò)散1顆沙礫，則變?yōu)閚_it-4，其的四個(gè)相鄰小格的沙礫數(shù)量都+1，此時(shí)若還存在沙礫數(shù)量超過3顆的小格，則繼續(xù)上述崩塌過程。

繼續(xù)擴(kuò)展到Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型，考慮一個(gè)d維的邊長為L的超正方體網(wǎng)格面，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)r的沙礫數(shù)量為z（r），當(dāng)z（r）超過某個(gè)特定閾值，就會(huì)出現(xiàn)崩塌現(xiàn)象：

z（r）→z（r） - 2d

z（r+n）→z（r+n）+l，n=±e1，±e2，…，±ed

其中{e_i）是單位向量。不失一般性，令z_c= 2d -1，則當(dāng)z（r）超過z_c時(shí)，即沙堆的平均坡度θ> θ_c時(shí)，崩塌就會(huì)發(fā)生。

馬爾可夫鏈（ Markov Chain）

馬爾可夫鏈為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程。該過程要求具備“無記憶”盼性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān)。這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾可夫性質(zhì)。馬爾科夫鏈作為實(shí)際過程的統(tǒng)計(jì)模型具有許多應(yīng)用。

模型結(jié)論與展望

本文所提出的沙堆模型是對(duì)金融傳導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)擬合的一個(gè)嘗試，并取個(gè)體銀行的破產(chǎn)閾值為Y_c=（2d -l）y。出現(xiàn)的一個(gè)問題是y_r> y_c時(shí)，對(duì)于不同銀行r1≠r2，現(xiàn)實(shí)情況中其破產(chǎn)的可能性是不同的，大銀行往往能夠得到中央銀行等機(jī)構(gòu)的支持，大銀行的企業(yè)外資源要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于小銀行，所以該沙堆模型中只能假設(shè)每個(gè)銀行擁有同樣的特點(diǎn)：可變現(xiàn)資產(chǎn)相同、社會(huì)資源相同、可承受風(fēng)險(xiǎn)能力相同。

其次，該模型的銀行間關(guān)系用是否相鄰來反映，因?yàn)樵谏扯驯罎⒌倪^程中，一個(gè)網(wǎng)格面（點(diǎn)）的崩潰只能傳導(dǎo)給相鄰的網(wǎng)格面（點(diǎn)），所以只能認(rèn)為這是發(fā)生直接聯(lián)系的銀行間才能出現(xiàn)的情況，而每兩個(gè)銀行間都能夠用一個(gè)距離來衡量聯(lián)系程度，可以將該距離定義為兩個(gè)銀行間的直接債務(wù)、間接債務(wù)所占總債務(wù)的百分比的加權(quán)平均，權(quán)重為間接銀行間的距離，即

這樣的一組方程組至少可以得到一組解。然而這種所謂的“距離”確是不可逆的，即銀行i對(duì)銀行j的距離并不需要與銀行j對(duì)銀行i的距離嚴(yán)格相等。本文一直希望克服這樣的一個(gè)非對(duì)稱性，構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱的距離指標(biāo)，這樣的距離囊括了特定超立方體沙堆模型中的結(jié)構(gòu)性質(zhì)要素，從而這樣的距離m_ij就存在一個(gè)閾值m_c，當(dāng)兩個(gè)銀行的距離m_ij< m_c時(shí)，則對(duì)銀行i施加的某個(gè)與銀行的資產(chǎn)負(fù)債相關(guān)的負(fù)面沖擊ε_i就會(huì)導(dǎo)致銀行j的崩潰。

第三，該模型存在一個(gè)崩潰邊緣。該崩潰邊緣是指，舉2維平面網(wǎng)格的例子來說，沙礫在該有限網(wǎng)格系統(tǒng)中是否能穩(wěn)定留存：一個(gè)穩(wěn)定的沙堆模型的邊界是確定的，一旦其在沖擊下向外擴(kuò)散，則該模型相對(duì)于這些特定量的沖擊是不穩(wěn)定的，形象的來講就是，需要依靠外部的力量去吸收這些多余的違約負(fù)債（沙礫）。閾值y_c=（2d -l）y衡量了一個(gè)沖擊ε的“大”和“小”：若ε>y_c，則該沖擊為大沖擊，能夠確定一組距離閾值{m_c}；反之為小沖擊，也能夠確定一組距離閾值{m_c}。這也是物理學(xué)中相變現(xiàn)象的應(yīng)用。