函數(shù)概念的演變

趙艷艷

[摘 要] 函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展不僅反映了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程，而且包含著豐富的數(shù)學(xué)思想，是一種優(yōu)秀的解決問題的數(shù)學(xué)方法。探索人類在認(rèn)識(shí)函數(shù)的過程中表現(xiàn)出來的思想方法，對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)具有重要的引導(dǎo)作用，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用意識(shí)都具有無可替代的作用。

[關(guān) 鍵 詞] 函數(shù)概念；思想演變；文化價(jià)值

[中圖分類號(hào)] O714 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2018）28-0148-02

函數(shù)概念作為一種重要的數(shù)學(xué)概念，是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。函數(shù)概念的發(fā)展是一個(gè)漫長(zhǎng)、曲折的過程，經(jīng)歷了離散到連續(xù)、靜止到運(yùn)動(dòng)、運(yùn)算到關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化，最終實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合。函數(shù)概念的演變從歷史發(fā)展的階段性來考察，目前對(duì)函數(shù)概念的演變基本上有兩種形式的描述，一種按函數(shù)定義的發(fā)展大致分為變量說、對(duì)應(yīng)說和關(guān)系說，體現(xiàn)了函數(shù)概念由模糊、具體到清晰、抽象的發(fā)展過程。第二種按兩個(gè)變量之間的表示形式分為解析形式的函數(shù)、幾何形式的函數(shù)以及集合觀念下的函數(shù)，其中前兩種形式分別從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度對(duì)函數(shù)做了不同的描述，集合觀念下的函數(shù)則把前兩種定義統(tǒng)一到同一概念中。

一、早期的函數(shù)關(guān)系

早期的數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸到了變化和變量思想，但他們對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不清，僅僅是在特定的背景下或是為解決具體問題提出了三種函數(shù)關(guān)系，即表格形式的函數(shù)關(guān)系（倒數(shù)表、平方表等）、幾何形式的函數(shù)關(guān)系（利用幾何的直觀，將對(duì)變化的研究與坐標(biāo)聯(lián)系起來）、解析形式的函數(shù)關(guān)系（用文字和語言表達(dá)函數(shù)關(guān)系）。這三種關(guān)系是具體的依賴關(guān)系，不具有普適性。但這些關(guān)系中蘊(yùn)含了一種重要的數(shù)學(xué)思想——“對(duì)應(yīng)”思想，這在函數(shù)的形成、發(fā)展過程中起到了關(guān)鍵的作用。但這只能稱作函數(shù)概念的初始階段，是對(duì)具體函數(shù)進(jìn)行的研究。

二、函數(shù)概念的產(chǎn)生

17世紀(jì)人們對(duì)初等函數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)復(fù)雜的程度，一些簡(jiǎn)單的超越函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)）得到了全面的研究。同時(shí)笛卡爾變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和牛頓、萊布尼茲微積分的發(fā)展使函數(shù)概念的產(chǎn)生成為可能，人們認(rèn)識(shí)到各種具體函數(shù)之間存在一種共同屬性——變化。由此，函數(shù)概念脫離了它所依附的天文、物理、音樂背景，作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被抽象出來。1963年8月，萊布尼茲用“函數(shù)”一詞來表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)的量（曲線的斜率，曲率半徑或曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)等），這帶有強(qiáng)烈的幾何烙印。

三、函數(shù)概念的深化

1698年，約翰·伯努利首次從解析的角度定義函數(shù)，他把“由變數(shù)x和常數(shù)所構(gòu)成的式子，叫作x的函數(shù)”?！白兞俊钡暮x得到了深化，函數(shù)的“變量關(guān)系”得到進(jìn)一步說明，但嚴(yán)格說，它仍只是函數(shù)概念的一個(gè)模糊而又不確切的表述。

1975年歐拉在他的新定義中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系，也正因?yàn)閺?qiáng)調(diào)“隨著變化”使函數(shù)概念的外延縮小。歐拉的函數(shù)概念把解析式和曲線等概念混在一起，缺乏嚴(yán)密性，所以是含糊的，不能被所有人接受。

19世紀(jì)，伴隨著橢圓函數(shù)、超橢圓函數(shù)和阿貝爾函數(shù)的產(chǎn)生，代數(shù)函數(shù)論變得豐富起來，人們對(duì)函數(shù)概念又有了新的認(rèn)識(shí)。1821年法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西以嚴(yán)格化為目的，重新對(duì)變量和函數(shù)作了定義，澄清了函數(shù)、曲線、連續(xù)、不連續(xù)等概念之間的關(guān)系。“自變量”一詞第一次出現(xiàn)在函數(shù)的定義中?？挛鞯暮瘮?shù)定義仍區(qū)分了x和y的關(guān)系有兩個(gè)以上表達(dá)式的情況。1834年俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基的函數(shù)新定義進(jìn)一步建立了自變量和函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使“對(duì)應(yīng)”這一函數(shù)概念的本質(zhì)屬性更加明確，是對(duì)函數(shù)概念的一次重大發(fā)展。1851年，黎曼函數(shù)定義徹底拋棄了把函數(shù)視為解析式或圖像的束縛，避免了以往函數(shù)定義中對(duì)依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受。黎曼定義更帶有普遍性，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便。從1874到1989年，康托爾完成了古典集合論的創(chuàng)建工作。在康托爾集合論的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了一個(gè)包含了所有今天數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科中所用的集合函數(shù)的概念。

隨著函數(shù)概念的不斷深化，到20世紀(jì)初，人們根據(jù)各類函數(shù)的特征類型將函數(shù)分為解析函數(shù)、連續(xù)函數(shù)、不連續(xù)函數(shù)等，同時(shí)加在自變量和函數(shù)值上的枷鎖被解除，可以連續(xù)或不連續(xù)地取值，這樣函數(shù)概念的意義就更加廣泛了。后來將變量限制在數(shù)中這個(gè)限制也消除了，更具一般性，變量的取值可以是數(shù)也可以是其他對(duì)象。由此，美國(guó)數(shù)學(xué)家維布倫等人給出了函數(shù)的近代定義，即現(xiàn)在高中課本中關(guān)于函數(shù)的定義。這個(gè)定義使變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更加明確，把握住了函數(shù)定義的實(shí)質(zhì)。

從約翰·伯努利、歐拉、傅里葉、柯西、黎曼等人對(duì)函數(shù)概念的不同描述可以看出，函數(shù)概念的發(fā)展是一個(gè)弱抽象的過程，到今天加在函數(shù)概念上的種種限制被逐一解除，不管自變量的值有幾個(gè)，是數(shù)還是點(diǎn)，只要自變量與因變量之間滿足函數(shù)定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可，函數(shù)概念發(fā)展到今天具有更加廣泛的定義而且還在繼續(xù)著。

四、函數(shù)概念演變的教育意義

函數(shù)概念演變過程蘊(yùn)涵著的豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，可以為我們進(jìn)行函數(shù)教學(xué)提供許多具有參考價(jià)值的東西，使我們的教學(xué)更加符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律。

（一）思維的啟示

函數(shù)概念不是現(xiàn)成地從某個(gè)人那里產(chǎn)生出來的，它經(jīng)歷了一個(gè)萌芽、精確化和概括化的過程，即函數(shù)思想的演變是漸進(jìn)的，經(jīng)歷了由具體、直觀到邏輯、抽象發(fā)展的漫長(zhǎng)過程。由思維發(fā)展的歷史相似性可知，學(xué)生思維也會(huì)經(jīng)歷從感性經(jīng)驗(yàn)到具體形象，到抽象邏輯的過程。教學(xué)過程中把函數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展過程呈現(xiàn)給學(xué)生，可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)概念的本質(zhì)核心。

（二）思維的遷移

函數(shù)概念的演變經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算到抽象的函數(shù)定義，包含了數(shù)學(xué)思維中的歸納、類比、演繹思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的遷移和深化。它的每一次擴(kuò)展都體現(xiàn)了前人在探索問題的過程中數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的有機(jī)融合。按照函數(shù)概念的歷史發(fā)展脈絡(luò)可以將函數(shù)概念中包含的集合對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)、函數(shù)分析方法、變量思維方式、等價(jià)交換與數(shù)形結(jié)合方法一一融入函數(shù)的教學(xué)，使數(shù)學(xué)課堂更加生動(dòng)。

（三）數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

每一個(gè)數(shù)學(xué)理論的形成或一次數(shù)學(xué)思維的發(fā)展都是在解決實(shí)際問題的過程中產(chǎn)生的，函數(shù)概念的形成也遵循這一規(guī)律。在函數(shù)概念的教學(xué)過程中，挖掘?qū)嶋H生活中具有啟示意義的典型例子，有助于學(xué)生準(zhǔn)確把握函數(shù)定義，并形成正確的解題方法，取得良好的學(xué)習(xí)效果。

教學(xué)中我們不能把函數(shù)的來源背景、理論形成一一

呈現(xiàn)給學(xué)生，但是我們能夠把函數(shù)概念所蘊(yùn)含的思維火花和思想方法濃縮在函數(shù)教學(xué)中，使函數(shù)概念的教

學(xué)更加具體、形象，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到更大的提升。

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