實(shí)時(shí)無隙鋼球精密傳動(dòng)空間速度矢模型

段利英 安子軍 付志強(qiáng)

1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

2.天津科技大學(xué)包裝與印刷工程學(xué)院，天津，300222

0 引言

實(shí)時(shí)無隙鋼球精密傳動(dòng)系統(tǒng)中，組合行星盤中的彈性體可以實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)鋼球與擺線槽間的間隙，使精密機(jī)構(gòu)具有實(shí)時(shí)無隙傳動(dòng)、精度高等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空遙感相機(jī)位移補(bǔ)償傳動(dòng)機(jī)構(gòu)［1］及機(jī)器人伺服傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。

鋼球精密傳動(dòng)裝置通過組合行星盤中的彈性體調(diào)節(jié)構(gòu)件軸向位置、消除嚙合副的間隙來提高傳動(dòng)精度。新傳動(dòng)裝置嚙合處增加了實(shí)時(shí)變化的軸向位移和軸向力，嚙合過程中產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形和熱變形導(dǎo)致嚙合點(diǎn)并不在一個(gè)平面上。由于以上特點(diǎn)和多齒嚙合的不對(duì)稱性，活動(dòng)鋼球相對(duì)于中心盤和組合行星盤的運(yùn)動(dòng)是復(fù)雜的空間嚙合運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也是精密傳動(dòng)研究關(guān)鍵部分。將擺線鋼球嚙合副投影到端平面上不能詳細(xì)描述精密鋼球傳動(dòng)的空間嚙合副。為了更詳盡地描述嚙合情況，需要建立空間速度矢模型。

HIDETSUGA［2］將鋼球精密傳動(dòng)應(yīng)用于機(jī)器人關(guān)節(jié)，并給出了減速器理論效率的計(jì)算方法，開發(fā)了三種無側(cè)隙減速器并用矢量分析法描述了運(yùn)動(dòng)原理。AN等［3］利用超靜變形協(xié)調(diào)條件推導(dǎo)出了擺線槽嚙合副和環(huán)嚙合副的最大作用力公式。宜亞麗等［4］利用弧長(zhǎng)差分析了嚙合副的滑動(dòng)特性。張鵬等［5-6］建立了嚙合副的非線性力學(xué)模型和擺線鋼球行星傳動(dòng)系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型。楊榮剛等［7］建立了純扭轉(zhuǎn)強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。孫鵬飛等［8］計(jì)算了鋼球與齒面接觸域的瞬時(shí)生熱率和瞬時(shí)摩擦溫升。以上研究都是建立在將鋼球運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化，將嚙合副投影到平面上的基礎(chǔ)上的。但以上方法不能精確描述實(shí)時(shí)無隙鋼球精密傳動(dòng)系統(tǒng)的空間嚙合情況。

甘屹等［9］利用D-H坐標(biāo)系建立了6R型機(jī)器人工作空間的三維仿真模型。CONTE等［10］利用D-H法建立了一種激光跟蹤儀的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。LI等［11］利用D-H方法表示了一個(gè)由幾個(gè)鏈接組成的機(jī)構(gòu)中最后一個(gè)關(guān)節(jié)相對(duì)于第一個(gè)關(guān)節(jié)的位置和方向。

本文利用修正D-H矩陣求解了鋼球上任意一點(diǎn)相對(duì)于中心盤和組合行星盤的位置。根據(jù)空間幾何建模法和傳動(dòng)特性，建立了鋼球與中心盤和組合行星盤相對(duì)滑動(dòng)速度矢模型，并分析了槽形角和鋼球數(shù)對(duì)速度矢模型的影響。通過與仿真結(jié)果對(duì)比分析，驗(yàn)證了空間速度矢模型的可靠性。

1 傳動(dòng)機(jī)構(gòu)

圖1為實(shí)時(shí)無隙鋼球精密傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的裝配分解圖。減速機(jī)構(gòu)中，中心盤2的左端面上加工有齒數(shù)為Z1的外擺線槽，組合行星盤4的右端面上加工有齒數(shù)為Z2的內(nèi)擺線槽。在內(nèi)外擺線槽的交錯(cuò)區(qū)域內(nèi)等距裝有鋼球3，鋼球3總數(shù)為Zb=(Z1+Z2)/2。其傳動(dòng)原理在文獻(xiàn)［12］中有詳細(xì)的描述。

圖1 實(shí)時(shí)無隙鋼球精密傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的裝配分解圖Fig.1 Explode figure of assembly body of non-clearance ball precision transmission

2 D-H坐標(biāo)變換矩陣

圖2是傳動(dòng)機(jī)構(gòu)減速部分空間運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。S1{O1x1y1z1}為空間固定坐標(biāo)系，將S1{O1x1y1z1}沿 y1軸平移 e，沿 z1軸反向平移 e1，得到動(dòng)坐標(biāo)系S3{O3x3y3z3}，其中e為偏心距的1/2，e1為中心盤與組合行星盤的軸向間距的1/2。O1O3視為連桿1，其長(zhǎng)度用lO1O3表示。將S3沿 y3軸平移 e，沿著 z3軸反向平移 e1，得到動(dòng)坐標(biāo)系S2{O2x2y2z2}，O3O2視為連桿2，其長(zhǎng)度用lO3O2表示。

圖2 機(jī)構(gòu)減速部分空間坐標(biāo)系Fig.2 Space coordination system of deceleration part

將S3沿鋼球分布圓半徑平移至第i個(gè)鋼球的球心Ob，得到動(dòng)坐標(biāo)系，O3Ob視為連桿3，其長(zhǎng)度用表示。將坐標(biāo)系繞軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 β得到坐標(biāo)系坐標(biāo)系?到Sb長(zhǎng)度視為連桿4，得到D-H參數(shù)如表1所示。

表1 D-H參數(shù)表Tab.1 D-H parameter table

表1中，φ1為S3繞 z1軸旋轉(zhuǎn)的角度，為S2繞 z1軸旋轉(zhuǎn)的角度，φ3為Sb繞 z3軸旋轉(zhuǎn)的角度。坐標(biāo)系Sb到空間動(dòng)坐標(biāo)系S2的變換矩陣為

其中，cβ表示 cosβ，sβ表示 sin β，余類似。

3 相對(duì)速度矢模型

3.1 鋼球與中心盤的相對(duì)速度矢模型

鋼球與中心盤之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖3所示。S1為空間固定坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S3繞中心盤軸線z1軸做行星運(yùn)動(dòng)，角速度為ω1。與動(dòng)坐標(biāo)系S3固連的鋼球除繞zb軸自轉(zhuǎn)外，還繞z3軸公轉(zhuǎn)，角速度分別為ωb、ω3。采用反轉(zhuǎn)法確定鋼球與中心盤的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即對(duì)圖3所示機(jī)構(gòu)加-ω1，使其繞 z1軸回轉(zhuǎn)。這時(shí)，中心盤繞 z1軸自轉(zhuǎn)，角速度為-ω1。坐標(biāo)系S3視為不動(dòng)，鋼球繞zb軸自轉(zhuǎn)，又繞z3軸做行星運(yùn)動(dòng)。鋼球上任意一點(diǎn) B(x，y，z)相對(duì)中心盤的速度矢量為［13］

圖3 鋼球相對(duì)中心盤的運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.3 Moving relationship between ball and the center disc

3.2 鋼球與行星盤的相對(duì)速度矢模型

組合行星盤在偏心軸的帶動(dòng)下，繞中心盤z1軸線旋轉(zhuǎn)，角速度為。同時(shí)組合行星盤還以角速度繞z2軸自轉(zhuǎn)。鋼球繞zb軸自轉(zhuǎn)的同時(shí)，還繞 z3軸公轉(zhuǎn)，角速度分別為ωb、ω3。鋼球分布圓所在坐標(biāo)系S3繞行星盤的軸線z2軸以角速度ω2旋轉(zhuǎn)，如圖4所示。同理，用反轉(zhuǎn)法確定鋼球相對(duì)于組合行星盤的運(yùn)動(dòng)。對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)加，使其繞 z1軸旋轉(zhuǎn)，這時(shí)組合行星盤以繞 z2軸自轉(zhuǎn)，鋼球以ωb繞 zb軸自轉(zhuǎn)，以ω3繞 z3軸公轉(zhuǎn)。鋼球分布圓所在坐標(biāo)系S3以ω2繞z2軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以繞z1軸旋轉(zhuǎn)。

圖4 鋼球相對(duì)行星盤的運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.4 Moving relationship between ball and the combination planet disc

同理可以求出鋼球上任意一點(diǎn) B(x，y，z)相對(duì)于行星盤的速度矢量：

4 數(shù)值模擬及參數(shù)分析

4.1 鋼球與擺線槽相對(duì)速度數(shù)值模擬

鋼球在擺線槽內(nèi)滾滑，同時(shí)與中心盤和組合行星盤接觸。

圖5為嚙合副沿公法線剖開圖，鋼球與中心盤以及組合行星盤內(nèi)外兩側(cè)接觸點(diǎn)分別為

圖5 嚙合副剖面圖Fig.5 Cross section of meshing pair

在坐標(biāo)系Sb下，鋼球與擺線槽的嚙合點(diǎn)分別為 A?(0，0，rb)、B(rb，0，0)、B?(-rb，0，0)、A(0，0，-rb)。根據(jù)坐標(biāo)變換矩陣（式（1）），在坐標(biāo)系S2下

同理，可得

取分布圓半徑r0=2 mm，短幅系數(shù)K=0.42，直母線銑刀槽形角 β=45°，鋼球半徑rb=1.5 mm，內(nèi)擺線槽齒數(shù)Z2=12，鋼球數(shù)Zb=11，外擺線槽齒數(shù) Z1=10。偏心輸入軸角速度根據(jù)第二類橢圓積分E以及式（2）和式（3），可以得到鋼球相對(duì)于中心盤在嚙合點(diǎn)B?、A?點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度如圖6所示，鋼球相對(duì)于行星盤在嚙合點(diǎn)B、A的相對(duì)速度如圖7所示。

圖6 鋼球與中心盤相對(duì)速度矢vb1變化曲線Fig.6 Curve of relative velocityvb1between ball and the center plate

圖7 鋼球與組合行星盤相對(duì)速度矢vb2變化曲線Fig.7 Curve of relative velocityvb2between ball and the combined planet plate

由圖6、圖7可以看出，在嚙合過程中，相對(duì)速度矢隨時(shí)間呈周期性變化，鋼球相對(duì)于內(nèi)外擺線槽都不是純滾動(dòng)，只在有限點(diǎn)處相對(duì)速度為零。圖6中，鋼球與中心盤的相對(duì)速度矢vb1變化曲線在x、y方向上有兩個(gè)波峰，分別出現(xiàn)在齒頂與齒根處。x方向的波峰滯后于y方向的波峰。在半齒高處出現(xiàn)兩個(gè)小波峰，其值為齒頂處波峰值一半。在z方向上有兩個(gè)波峰，一個(gè)波谷，其中兩個(gè)波峰出現(xiàn)在半齒高處，為正值，波谷出現(xiàn)在齒頂處，為負(fù)值。圖7中，鋼球與行星盤的相對(duì)滑動(dòng)速度矢vb2在x、y方向上較大，曲線有兩個(gè)波峰分別出現(xiàn)在半齒高附近。 y方向上波峰較x方向上波峰出現(xiàn)得早。在z方向上，鋼球與行星盤相對(duì)滑動(dòng)速度較小，曲線有三個(gè)峰值，在齒根附近滑動(dòng)速度絕對(duì)值最大，且為負(fù)值。 x、y方向上波峰值為 z方向上波峰值的7.7倍與7.9倍。由于槽形角 β=45°，vb1與 vb2在點(diǎn) A?、B?和點(diǎn) A、B 處差別不大。

4.2 槽形角對(duì)速度矢的影響

圖8 槽形角在B?點(diǎn)處對(duì)vb1的影響Fig.8 Influence of the groove angle on the relative velocityvb1at the pointB?

由圖6、圖7可知，鋼球與中心盤和組合行星盤內(nèi)外兩側(cè)的速度相差較小，所以以下只考慮擺線盤內(nèi)側(cè)情況。圖8給出了槽形角分別為27°、36°、45°、54°、63°時(shí)，在 x、y 、z方向上鋼球與中心盤的相對(duì)速度vb1。由于對(duì)稱性，只討論半個(gè)齒內(nèi)的相對(duì)速度。在外擺線內(nèi)側(cè)，即B?點(diǎn)處，x、y方向上隨著槽形角的增大，vb1變化減小。相差最大點(diǎn)發(fā)生在半齒高處以及齒頂附近，B?點(diǎn)處的差值分別為12.835 0 mm/s與13.035 2 mm/s，這是由于此處曲率變化最大。當(dāng) β=27°時(shí)，相對(duì)速度變化最大。z方向上隨著槽形角的增大，相對(duì)速度變化增大。相差最大點(diǎn)發(fā)生在半齒高處，B?點(diǎn)處的差值為7.906 7 mm/s。

圖 9給出了槽形角分別為 27°、36°、45°、54°、63°時(shí)，在x、y、z方向上鋼球與組合行星盤的相對(duì)速度vb2。由于對(duì)稱性，只討論在x、y方向半個(gè)齒以及z方向一個(gè)齒的相對(duì)速度。在內(nèi)擺線內(nèi)側(cè)，即 A點(diǎn)處，在三個(gè)方向上，隨著槽形角的增大，vb2變化增大。在x方向上，相差最大的點(diǎn)在齒頂處，為13.226 0 mm/s。在 y方向上，vb2相差最大的點(diǎn)在1/3齒高處，差值為16.039 7 mm/s。在z方向上，后半齒廓比前半齒廓變化較大，vb2相差最大的點(diǎn)在過齒頂1/3齒高處，差值為11.800 2 mm/s。當(dāng) β =63°時(shí)，vb2最大。

圖9 槽形角在A點(diǎn)處對(duì)vb2的影響Fig.9 Influence of the groove angle on the relative velocityvb2at the pointA

4.3 鋼球數(shù)對(duì)相對(duì)速度的影響

圖10、圖11分別給出了鋼球數(shù)分別為10、15、20、25、30時(shí)，在 x、y、z方向上鋼球與中心盤和組合行星盤的相對(duì)速度vb1和。由于運(yùn)動(dòng)周期不同，只討論鋼球數(shù)為30的一個(gè)周期內(nèi)的相對(duì)速度。在x、y、z方向上，鋼球滾過內(nèi)外擺線槽一個(gè)齒所用的時(shí)間隨著鋼球數(shù)的增大而增多，分別為0.923 1 s、2.100 0 s、3.755 4 s、6.000 0 s、8.400 0 s和 0.466 7 s、1.100 0 s、1.900 0 s、3.328 3 s、4.200 0 s。鋼球數(shù)對(duì)vb1的最大值與最小值影響不大，vb2的最大值隨鋼球數(shù)的增大而增大，最小值隨鋼球數(shù)的增大而減小。

圖10 鋼球數(shù)在B?點(diǎn)處對(duì)vb1的影響Fig.10 Influence of the number of ball on the relative velocityvb1at the pointB?

5 仿真驗(yàn)證

圖11 鋼球數(shù)在A點(diǎn)處對(duì)vb2的影響Fig.11 Influence of the number of ball on the relative velocityvb2at the pointA

根據(jù)圖1所示的幾何模型和上節(jié)數(shù)值模擬的幾何參數(shù)，在ADAMS中建立減速部分幾何模型，設(shè)置如下約束：①減速機(jī)構(gòu)部件中，偏心輸入軸、中心盤、組合行星盤、減速鋼球系以及輸出裝置均采用鋼材材質(zhì)；②偏心輸入軸與組合行星盤和中心盤，輸出盤與機(jī)殼的約束均定義為旋轉(zhuǎn)約束，中心盤與機(jī)殼為固定約束；③中心盤、組合行星盤與鋼球之間定義接觸力：剛度系數(shù)取值為1×105N/m，非線性系數(shù)取值為2.2，黏滯阻尼系數(shù)為10 N·s/m，最大阻尼切入深度取值為0.1 mm；④仿真時(shí)間取5 s，步長(zhǎng)為 0.001 s。

圖12為實(shí)時(shí)無隙鋼球精密傳動(dòng)減速部分ADAMS仿真圖。為了驗(yàn)證本文模型的正確性，將鋼球與中心盤和組合行星盤的相對(duì)速度矢數(shù)值模擬結(jié)果與ADAMS仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖13為vb1、vb2的數(shù)值解與仿真解對(duì)比圖。由圖13a可知，x、y方向上，vb1的數(shù)值解與仿真解誤差最大值分別為11.542 9 mm/s和10.504 1 mm/s，相對(duì)誤差最大值分別為5.54%、4.51%。這是由于半齒高處有曲率半徑奇異點(diǎn)，鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)容易打滑。z方向上，誤差值最大的點(diǎn)發(fā)生在齒頂。

圖12 ADAMS仿真模型圖Fig.12 Graph of ADAMS model

圖13 鋼球相對(duì)擺線盤速度對(duì)比圖Fig.13 Comparison graph of velocity of steel ball relative to cycloid plates

由圖13b可知，x、y方向上，vb2的數(shù)值解與仿真解誤差最大值分別為4.213 3 mm/s和6.347 0 mm/s，相對(duì)誤差最大值分別為5.54%和4.51%。 z方向上誤差最大值為1.769 3 mm/s。最大誤差發(fā)生在齒頂附近，這是由于鋼球在齒頂處發(fā)生自旋。

本文推導(dǎo)了實(shí)時(shí)無隙鋼球精密傳動(dòng)的空間速度矢模型，分析了機(jī)構(gòu)參數(shù)對(duì)速度矢模型的影響，并將模型的數(shù)值解與ADAMS仿真解進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果顯示，兩者有很好的一致性，驗(yàn)證了空間速度矢模型的正確性，為提高減速機(jī)構(gòu)的精度提供了可靠的理論基礎(chǔ)。

6 結(jié)論

（1）鋼球與中心盤的相對(duì)速度矢vb1曲線在x、y方向上波峰出現(xiàn)在齒頂與齒根處，在z方向上兩個(gè)波峰出現(xiàn)在半齒高處，波谷出現(xiàn)在齒頂處。鋼球與組合行星盤相對(duì)速度矢vb2曲線在x、y方向上較大，曲線波峰分別出現(xiàn)半齒高附近，在z方向上波峰在齒根附近。x、y方向上波峰值為z方向上波峰值的7.7倍與7.9倍。

（2）在 x、y方向上，隨槽形角增大，vb1變化幅值減小，在z方向上，變化幅值增大。在x、y、z方向上，vb2變化幅值隨槽形角的增大而增大。鋼球數(shù)對(duì)vb1影響不大，vb2的最大值隨鋼球數(shù)增大而增大，最小值隨鋼球數(shù)增大而減少。

（3）x、y方向上，vb1的數(shù)值解與仿真解相對(duì)誤差最大值分別為5.54%和4.51%。vb2的數(shù)值解與仿真解相對(duì)誤差最大值分別為2.89%和3.84%。

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（編輯 王艷麗）

作者簡(jiǎn)介：段利英，女，1982年生，博士研究生。主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代機(jī)械傳動(dòng)理論及應(yīng)用。發(fā)表論文7篇。E-mail：duanly05@sina.com。安子軍（通信作者），男，1960年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代機(jī)械傳動(dòng)理論與控制。發(fā)表論文120余篇。E-mail：zjan@ysu.edu.cn。