盤類齒輪成形磨齒自適應加工研究

朱 月 鄢 萍 李先廣

1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044 2.重慶機床（集團）有限責任公司，重慶，400055

0 引言

盤類齒輪在精加工過程中通常無法直接將齒輪中心孔作為定位基準，一般是通過齒輪大端面和臺階面外圓進行定位，而齒輪的裝配定位通常要通過中心孔進行定位，所以齒輪大端面與齒輪中心孔軸線的垂直度誤差和臺階面外圓柱面與中心孔軸線的同軸度誤差將造成定位誤差，從而影響齒輪的加工精度。

目前一些磨齒機可實現自動找齒和在位檢測，但依然不能針對齒輪裝夾后中心孔軸線偏心問題進行自適應加工。人們對齒輪加工誤差的研究大部分集中在分析加工過程受力變形、熱變形、刀具修整誤差、刀具裝夾誤差、工作臺轉角誤差等，或者在線檢測后進行誤差補償，而并未對齒輪定位基準造成的加工問題進行分析［1-16］。文獻［17］分析了齒輪中心孔與旋轉中心偏心造成的齒距誤差，但未提出具體的解決辦法。文獻［18］基于電機電流建立切削負荷-電流關系模型，為切削負荷的間接測量提供了依據，引入自適應預測控制策略，并實現了加工的預測控制，但沒有分析提高齒輪加工精度的方法。文獻［19］闡述了目前已提出的自適應加工的關鍵技術，而這些關鍵技術主要用于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，但對工件裝夾時造成的裝夾誤差問題并沒有涉及。文獻［20］提出基于西門子840D數控系統(tǒng)的恒功率自適應控制方法，但該加工方法不會減小齒輪的尺寸偏差和位置偏差。文獻［21］針對數控加工中制造與測量分離、系統(tǒng)間信息阻滯等問題，設計了一種集數控編程、實時控制和在線測量為一體的輔助制造系統(tǒng)，但所提出的在線測量方式只適用于外輪廓測量，對于以內孔作為測量基準的工件并不適用。

針對以上問題，本文對于中心孔齒輪提出了在機找正齒輪中心孔軸線的自適應加工方法，從而減小因齒輪中心孔軸線偏心造成的加工誤差。

1 自適應加工實現原理

本文提出自適應加工方法。將齒輪安放至工作臺上夾緊，齒輪被夾緊前利用工業(yè)相機拍照或其他工具對齒輪和工作臺進行測量，獲取齒輪中心孔多個截面孔壁與工作臺旋轉軸線的距離，擬合每個截面的圓心位置，再將所有圓心位置擬合為直線，即為齒輪中心孔軸線的位置。其中，齒輪在工作臺上的安放位置不是隨意的，而是齒輪的可裝夾位置，故夾緊齒輪時夾具不會與齒輪或機床發(fā)生干涉。以齒輪中心孔軸線作為Z軸建立齒輪軸線坐標系，推導齒輪軸線坐標系內坐標轉換為工作臺坐標系內坐標的轉換公式，將數控程序中切削點坐標通過該轉換公式轉換后修改原數控程序。針對每個齒槽計算砂輪需要調整的轉角和擺角，使砂輪正對齒槽，將需要調整的轉角和擺角作為繞X(Y)軸和Z軸的轉動角度添加至齒槽加工開始代碼前，將繞Z軸和 X(Y)軸反方向的轉動代碼添加至當前齒槽加工結束代碼后，通過軟件插件實現整個計算過程和數控代碼的修改，然后集成于數控系統(tǒng)。操作工人的工作流程和程序插件的計算過程如圖1所示。

圖1 自適應加工實現流程圖Fig.1 Realization flow chart of adaptive machining

2 數據準備

2.1 坐標系介紹

將齒輪裝夾到工作臺上，以工作臺端面（即齒輪大端面）作為工作臺坐標系{S1}的XOY面，以工作臺旋轉軸線作為Z軸，為使齒輪在工作臺上的位置完全定位，規(guī)定Y軸與其中一個齒槽e1對稱中心線相交，對齒輪繞Z軸方向的轉動進行定位，若齒槽e1對稱中心線為曲線，則該曲線在齒輪下端面處的切線方程表示為直線L0，若為直線則直接表示為L0，L0的表達式如下：

式中，x為直線 X軸坐標；y為直線Y軸坐標；z為直線Z軸坐標；a0、b0、c0、d0為空間直線L0的直線方程系數。

以成形磨齒機ZE800為例，該磨齒機可自動檢測齒輪的加工結果，所以可通過檢測齒槽的位置擬合出直線L0，因此可建立工作臺坐標系{S1}(OXYZ)。以齒輪中心孔軸線作為齒輪軸線坐標系的 Z?軸，以 Z?軸與坐標系{S1}中XOY面的交點作為原點 O?，以 X?O?Z?面和 L0的交點與O?的連線作為Y?軸，建立齒輪軸線坐標系{S2}(O?X ?Y ?Z?)，如圖 2所示。

圖2 坐標系Fig.2 Coordinate system

2.2 關鍵位置數據采集

將齒輪安放至工作臺，夾緊前，通過工業(yè)相機對齒輪的內孔和工作臺進行拍照，建立齒輪在工作臺上的三維模型，在齒輪厚度為h的內孔中，分別在n個不同平面內獲取孔壁至工作臺軸線的距離，或通過千分表測得每個截面孔壁不同點的跳動值，并加上孔的半徑作為孔壁至工作臺軸線的距離。第一組距離值在高度為z=h/(n+1)的平面內獲取，第二組距離值在高度為z=2h/(n+1)的平面內采集，以此類推。每組距離值有m個數據，在與X軸夾角為2π/m處獲取第一個數據，與X軸夾角為4π/m處獲取第二個數據，以此類推，與X軸夾角為2π處獲取第m個數據，該m個數據構成矩陣，記為個截面的n組數據記為

3 齒輪軸線坐標系的建立

3.1 中心孔截面圓心的計算

由于齒輪端面與齒輪中心孔軸線存在垂直度偏差，所以測得的中心孔截面輪廓理論形狀為橢圓，而橢圓與圓擬合后獲得的中心點的位置相同，為便于計算，此處將中心孔截面輪廓擬合為圓。

將 n組數據 (a1，a2，…，an)中每組數據內的每列元素分別作為 (ρ?，θ?)，使用最小二乘法擬合圓的極坐標，其表達式如下：式中，ρ為圓心位置極徑；θ為圓心位置極角；ρ?為圓形輪廓線極徑；θ?為圓形輪廓線極角；r為圓形輪廓線半徑值。

擬合獲取 n組圓心極坐標 (ρ，θ)記為b1=(ρ1，θ1)，b2=(ρ2，θ2)，…，bn=(ρn，θn)，將 n 組極坐標(ρ，θ)轉換為平面直角坐標：

將每組平面坐標結合每組數據所在的平面高度，獲得每組數據在空間直角坐標系中的坐標為

3.2 齒輪軸線坐標系各坐標軸的計算

將(c1，c2，…，cn)按照下式使用最小二乘法擬合為空間直線 L。則直線 L過點(b，d，0)，方向向量 z?=(a，c，1)，空間直線 L為齒輪的中心孔的軸線，即

式中，a、b、c、d為空間直線L的直線方程系數。

以直線L與XOY面的交點O?作為空間直角坐標系{S2}的原點，則 X?O?Y?面在坐標系{S1}中的方程為

Z?軸與直線 L重合，方向指向尾架，Y?軸與直線 L0相交，聯(lián)立式（1）與式（5）以獲得交點坐標如下：

4 坐標轉換與砂輪角度調整

4.1 坐標轉換公式推導

Y?軸過點 (b，d，0)和 (x0，y0，z0)，所以可得 Y?軸方向向量?=(x0-b，y0-d，z0)，結合 Z?軸方向向 量?可 得 X?軸 的 方 向 向 量(-d+y0-cz0，b-x0+az0，ad-bc-ay0+cx0) 。 將分別進行單位化處理，得到

式中，為單位化的軸方向向量；為單位化的Y?軸方向向量；z″為單位化的?軸方向向量。

將坐標系{S2}轉換為坐標系{S1}，可以認為將坐標系{S2}先旋轉再平移，平移坐標為(b，d，0)。在坐標系{S1}中有基向量 (x，y，z)和基向量，使用基向量 (x，y，z)表示的向量則用坐標系{S1}中的坐標表示，使用基向量表示的向量則用坐標系{S2}中的坐標表示。 (x，y，z)TA=(x″，y″，z″)T，則過渡矩陣為

所以可得到坐標系{S2}中任意一點坐標(xS2，yS2，zS2) 轉 換 到 坐 標 系 {S1} 中 的 坐 標(xS1，yS1，zS1)的轉換公式：

對于齒輪機床數控程序中的任意切削點(xS2，yS2，zS2)，均可通過坐標轉換公式（式（10））轉換為坐標 (xS1，yS1，zS1)，且實際切削時按照轉換后的坐標 (xS1，yS1，zS1)進行加工。

4.2 砂輪角度調整

已知齒槽的切削路徑后，還需要調整每個齒槽切削時砂輪的擺角和轉角（圖3），從而使得砂輪正對齒輪中心孔軸線。先將砂輪旋轉β角度使砂輪端面與齒輪中心孔軸線平行，再將砂輪擺動α角度使砂輪對稱中心面過Z?軸。

某一齒槽對稱中心線與XOY面的交點D的坐標為 (xc，yc，zc)，交點D與 Z軸確定平面 γ1，與 Z?軸確定平面γ2，平面γ1繞直線OD旋轉 β后再與Z?軸平行記為平面 γ3，平面 γ3與平面 γ2的夾角即為α，在坐標系中的簡化表示見圖4。α、β角的推導結果如下：

圖3 砂輪擺角與轉角Fig.3 Swing angle and rotation angle of grinding wheel

圖4 轉角與擺角簡化表示Fig.4 Rotation angle and swing angle simplified representation

對于轉角 β，可通過在數控程序中添加繞X軸或Y軸（根據數控機床具體情況而決定）轉動β角度實現。對于擺角α，則可通過在數控程序中添加繞Z軸旋轉α角度實現。當加工完成一個齒槽時，再將旋轉過的角度調回原位置，分度后再進行下一齒槽的加工，齒槽加工開始位置添加的數控代碼為（G91 Aβ；Cα），該齒槽加工結束位置添加的數控代碼為（G91 C-α；A-β）。

5 實例計算與仿真模擬

以圖5所示齒輪簡圖為例實現計算過程，設定參數如下：齒輪模數3 mm，齒數156，齒寬50 mm，直齒，精加工前端面與中心孔軸線垂直度偏差為0.1 mm，?360mm外圓柱面與中心孔同軸度偏差0.1 mm。

圖5 齒輪Fig.5 Gear

工作臺坐標系中，齒輪在XOY面和YOZ面的投影位置見圖6、圖7，圖中空間直線L0的方程為

圖6 齒輪在XOY面的投影Fig.6 Gear projection in XOY plane

圖7 齒輪在YOZ面的投影Fig.7 Gear projection in YOZ plane

在中心孔的5個截面內測5組數據，每個截面測一組數據，每一組測10個數據，每組數據的Z坐標為分別為 10，30，50，70，90（mm），每組數據與X軸正方向的夾角分別為5個截面測得數據（mm）如下：

擬合每個截面的圓心，得

截面1的圓心擬合圖見圖8。

圖8 擬合圓心位置Fig.8 Fitting center position

將圓心位置極坐標轉換為直角坐標表示，同時結合每個截面的Z坐標值得到每個截面圓心位置的坐 標（mm）分別為 c1=(0，-0.139 7，10)，c2=(0，-0.131 2，30)， c3=(0， -0.122 6，50)， c4=(0，-0.114 1，70)， c5=(0， -0.105 6，90)， 將上述坐標擬合為空間直線（圖9），獲得直線L的方程為

圖9 空間直線擬合Fig.9 Spatial line fitting

將對應參數代入式（6）～式（10）得 (x0，y0，z0)=（0，230.25，-0.098 4）（mm），x″=(x1，x2，x3)=（1，0，0）（mm），y″=(y1，y2，y3)= （0，1，-4.27 × 10-4）（mm），z″=(z1，z2， z3)=（0，4.27×10-4，1）（mm），得到空間坐標轉換公式為

以磨削齒槽e1（Y軸所過齒槽）為例，計算該齒槽磨削時數控編程中的坐標位置。

對于上述齒輪的磨削，未進行坐標轉換時該齒槽的磨齒控制為：先移動到位置A（0，230.25，50）（mm）開始磨削至 B（0，230.25，0）（mm），即沿Z軸負方向移動50 mm，則完成齒槽e1的磨削。數控程序表示為（G01 X0 Y230.25 Z50；Z0）。

經插件程序轉換后，坐標A和B分別為 A?（0，230.13，49.9）（mm）、B?（0，230.11，-0.1）（mm），根據式（11）和式（12），計算得砂輪的擺角和轉角為0°，將砂輪移動到 A?（0，230.13，49.9）（mm）后開始磨削至 B?（0，230.11，-0.1）（mm）完成齒槽 e1的磨削。數控程序表示為（G01 X0 Y230.13 Z49.9G01 X0Y230.11 Z-0.1）。將以上計算過程通過C++程序實現，作為插件集成于數控系統(tǒng)，對數控程序中的坐標進行轉換，然后按照轉換后的數控程序進行加工。

根據以上計算結果，使用VERICUT對該齒槽的磨削進行仿真加工，當忽略齒輪端面與中心軸線垂直度偏差以及工作臺軸線與齒輪軸線同軸度偏差等偏差時，齒槽e1的加工結果報告如圖10所示，可以看出，最大過切為0.28 mm。通過將VERICUT中毛坯繞X軸正向旋轉0.077°，再向Y軸負方向平移0.1 mm，模擬未經過精加工的齒輪端面和臺階面外圓等情況導致的齒輪中心孔軸線偏心的情況。在該條件下使用原有數控程序進行模擬加工后產生加工殘留偏差報告，如圖11所示。可以看出，最大殘留為38.4 mm。對數控程序進行調整后加工結果如圖12所示，可以看出，最大過切為0.31 mm，雖然依然有偏差，但是與圖11的報告對比，表明加工結果已有明顯優(yōu)化且與圖10的報告結果非常相近。

圖10 無偏差齒輪加工Fig.10 Non deviation gear machining

圖11 偏差齒輪原程序加工結果Fig.11 Deviation gear machining result of the original program

圖12 程序修改后加工結果Fig.12 Deviation gear machining result of modified program

6 結論

（1）針對盤類齒輪端面和臺階面外圓作為基準進行定位加工時，齒輪軸線與工作臺旋轉軸線不重合而造成的加工誤差問題，提出了一種盤類齒輪成形磨齒自適應加工方法。

（2）研究了盤類齒輪成形磨齒自適應加工的實現方法和原理。通過采集齒輪在工作臺上關鍵位置坐標，擬合出齒輪中心孔軸線在工作臺坐標系的實際位置，以該軸線為Z軸建立齒輪軸線坐標系，推導了齒輪軸線坐標系內坐標與工作臺坐標系內坐標的轉換公式和每個齒槽切削時砂輪需要調整的角度。根據砂輪需要調整的角度使砂輪正對齒槽，將砂輪的角度調整的數控代碼插入每個齒槽切削開始和結束代碼位置。通過軟件插件實現整個計算和程序修改過程然后集成于數控系統(tǒng)，數控系統(tǒng)按照轉換后的程序進行數控加工。

（3）在實際應用中，本文提出的盤類齒輪成形磨齒自適應加工方法在盤類齒輪裝夾后軸線存在較大偏心時可減小非中心孔基準作為定位基準帶來的加工誤差，有效地提高盤類齒輪的成形磨齒加工精度。

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（編輯 胡佳慧）

作者簡介：朱 月，男，1990年生，碩士研究生。研究方向為制造業(yè)信息化。E-mail：1508178463@qq.com。鄢 萍，女，1967年生，教授、博士研究生導師。研究方向為制造系統(tǒng)工程、網絡化制造等。E-mail：13983038527@139.com。