基于插值的非等間距GM(1,1)建模方法

，，

(山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院， 山東 青島 266590)

因灰色系統(tǒng)具有通過“貧信息”就能對未知數(shù)據(jù)進行挖掘的能力[1-3]，其問世的30多年來，灰色預(yù)測模型(grey model，GM)已經(jīng)在各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[4]。但是由于均值GM(1,1)模型僅適用于等間距序列，而在實際應(yīng)用中得到的數(shù)據(jù)序列往往都是不等間距的。為了解決這個問題，眾多學(xué)者針對不等間距GM(1,1)模型進行了研究[5-13]，并將其應(yīng)用從單點或單一變量拓展到多點或多個變量[14-16]。李斌等[5]將非等間距序列根據(jù)時間間隔構(gòu)造出等間距序列進行預(yù)測，再根據(jù)時間間隔還原為原始序列的預(yù)測值，驗證了GM(1,1)模型用于沉降數(shù)據(jù)分析的實用性、有效性和正確性。Shen[6]通過梯形公式和中心差商法得到灰導(dǎo)數(shù)的白化值，提出一種基于最小誤差平方和準則的非等間距序列建模方法，結(jié)果表明該模型的擬合與預(yù)測精度顯著提高。李翠鳳等[10]通過插值優(yōu)化非等間距模型的背景值，增強背景值的適應(yīng)性，提高非等間距序列的預(yù)測精度。尹暉等[14]將彼此關(guān)聯(lián)的多個變形點進行整體建模，采用非等間距等距化處理的改進方法，驗證了非等間距多點變形預(yù)測模型的可行性和有效性。

對于非等間距GM(1,1)模型的改進，無論是單一序列預(yù)測或多個相關(guān)序列預(yù)測，目的都在于提高模型的預(yù)測精度。本文基于非等間距的變形觀測序列，建立兩個模型，采用插值將其構(gòu)造成等間距序列，其中一個模型采用文獻[10]的方法對新序列背景值進行優(yōu)化，另一個模型采用均值GM(1,1)模型的背景值選取方式，分別預(yù)測出新序列的預(yù)測值，最后再進行一次插值還原為原始非等間距序列的預(yù)測值。為驗證該改進模型的有效性，采用文獻[5]中的實例進行對比分析，結(jié)果證明本文中的變形預(yù)測改進模型的預(yù)測精度更高。

1 均值GM(1,1)模型

1.1 均值GM(1,1)模型的建立

設(shè)有非負等間距非負序列：

X(0)={x(0)(k)|k=1,2,…,n}。

(1)

作X(0)的1-AGO序列得到：

X(1)={x(1)(k)|k=1,2,…,n}，

(2)

通過X(1)構(gòu)造該模型的背景值：

Z(1)={z(k)|k=1,2,…,n}，

(3)

x(0)(k)+az(1)(k)=b，

(4)

稱為GM(1,1)模型的均值形式。其白化微分方程為：

(5)

(6)

式中，Y，B分別為:

(7)

借助白化微分方程的解構(gòu)造均值GM(1,1)的時間響應(yīng)式：

(8)

再作累減，還原預(yù)測值：

x(0)(k)=x(1)(k)-x(0)(k-1),k=2,3,…n。

(9)

1.2 模型檢驗

通過均值GM(1,1)模型得到預(yù)測值序列：

(10)

構(gòu)成殘差序列：

e={e(k)|k=1,2,…n}，

(11)

殘差表示預(yù)測值相對于原始數(shù)據(jù)的偏離程度，偏離程度越小，說明預(yù)測的精度越高，反之預(yù)測的精度越低。根據(jù)殘差序列計算每一期數(shù)據(jù)預(yù)測的相對誤差，進而得出預(yù)測的平均相對誤差：

(12)

(13)

相對誤差表示每一期預(yù)測的誤差大小，相對誤差越小，精度越高，反之越低；平均相對誤差表示該預(yù)測序列的誤差大小，平均相對誤差越小，預(yù)測精度越高，反之越低。

2 非等間距GM(1,1)建模改進

主要采用插值的方式對GM(1,1)模型進行改進，建立兩種不同的模型進行對比試驗。但插值方法種類繁多，各種插值方法對特定序列的插值準確程度差異顯著，故在對某一特定序列進行灰色預(yù)測，應(yīng)先對各個插值模型進行試驗對比，選擇適合該序列的方法進行預(yù)測。

2.1 方法一

均值GM(1,1)適用于等間距序列，但對于非等間距的序列預(yù)測精度較差。如圖1所示，由于間距ki+1-ki≠ki+2-ki+1，故其不適用于均值GM(1,1)模型。對圖中曲線進行插值，便可得到新的等間距序列(14)，以滿足通過均值GM(1,1)模型進行預(yù)測的要求。

X′(0)={x(0)(k′)|k′=1,2,…,n}。

(14)

通過均值GM(1,1)模型對等間距序列(14)進行預(yù)測，得到該序列的預(yù)測值，進而再對該預(yù)測序列值進行插值，還原得到原始非等間距序列的預(yù)測序列。

2.2 方法二

圖1 等間距插值Fig.1 Equidistant interpolation

圖2 背景值插值Fig.2 Background value interpolation

3 實例分析

為對兩個預(yù)測模型進行檢驗，采用文獻[5]中的觀測數(shù)據(jù)進行試驗對比。觀測點的布設(shè)如圖3所示。

選取南側(cè)地表D15點的沉降值作為時間序列進行預(yù)測檢驗，該點共有10期非等間距的沉降觀測數(shù)據(jù)。選取該觀測數(shù)據(jù)中的前8期為已知數(shù)據(jù)進行建模，對后兩期數(shù)據(jù)進行預(yù)測，分析對比預(yù)測精度。D15點的觀測資料如表1所示。

圖3 地表沉降點點位布設(shè)圖Fig.3 Location map of surface subsidence

序號觀測時間時間間隔/d累計時間間隔/d累計沉降量/mm12005-10-22001.1122005-11-0615151.4532005-11-2216311.9342005-12-0412432.0852005-12-1814572.5262006-01-0114712.9272006-01-1413843.2082006-02-26431273.9692006-03-11131404.38102006-03-25141544.68

首先進行插值方法的選取。分別用分段線性插值、鄰近點插值、三次樣條插值和三次多項式插值對前8期數(shù)據(jù)進行插值，插值點間隔為10，插值點區(qū)間從0到300。各個插值方法的插值曲線如圖4所示。

圖4 插值曲線圖Fig.4 The interpolation curve

從圖中可以看出，分段線性插值并不圓滑，但對較為稠密的序列適用，在序列外的點不能得到其函數(shù)值；鄰近點插值顯然并不適用于該序列的插值計算；三次樣條插值和三次多項式插值曲線比較圓滑，但對于沉降數(shù)據(jù)而言，累計沉降值總是在不斷增大，顯然三次多項式插值對于沉降觀測數(shù)據(jù)而言并不適用，故選取三次樣條插值方法。

采用三次樣條插值法結(jié)合前文兩種方法對文獻[5]中的前8期觀測數(shù)據(jù)進行擬合并預(yù)測出后兩期數(shù)據(jù)，并將其與文獻[5]中的預(yù)測結(jié)果進行對比，如表2所示。計算每種預(yù)測方法的相對誤差及平均相對誤差，如表3所示。并分別繪制預(yù)測值對比圖與殘差值對比圖，如圖5、圖6所示。

表2 預(yù)測結(jié)果對比

表3 誤差對比

從表2和圖5中可以看出，相比于文獻[5]中的方法，運用本方法一和方法二進行預(yù)測，所得的預(yù)測值更加接近實測值，并且圖6中的殘差圖以及表3中的平均誤差與相對誤差也很好地說明了這一點，證明了本文兩種預(yù)測模型的有效性及實用性。

對比方法一和方法二可以看出，雖然其預(yù)測精度非常接近，但不通過插值進行背景值的優(yōu)化比采用插值進行背景值優(yōu)化的誤差更小，說明了在該觀測序列下，多次進行插值處理會在一定程度上降低預(yù)測的精度。

另外，圖6直觀地表明了無論是方法一、方法二還是文獻[5]方法，再進行第二期預(yù)測時，其偏差程度明顯增大。這說明了灰色模型的可預(yù)測長度非常短，進行過長的預(yù)測將與實際值產(chǎn)生很大的偏差。

圖5 預(yù)測值對比圖Fig.5 Comparison of predicted values

圖6 殘差值對比圖Fig.6 Comparison of residual error

4 結(jié)束語

針對非等間距GM(1,1)建模問題，提出了兩種基于插值的建模方法：方法一通過插值的方式將非等間距序列構(gòu)造成等間距序列進行預(yù)測；方法二在方法一的基礎(chǔ)上運用插值對背景值進行更新構(gòu)造。因不同的插值方式對不同序列預(yù)測的準確程度不一樣，提出對非等間距GM(1,1)模型的基于插值的改進需要注重對插值方式的選取。方法一和方法二的不同在于是否采用插值法對背景值進行優(yōu)化。預(yù)測結(jié)果顯示在對數(shù)據(jù)進行預(yù)測時，方法一比方法二更加準確，原因是多次插值增大了誤差。但是當(dāng)背景值引起的誤差大于插值引起的誤差時，方法二比方法一更加準確。工程實例證明了兩種建模方法可以得到很好的不等間距沉降預(yù)測結(jié)果，對評判建筑物沉降具有一定參考意義。

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