基于Bayes理論現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度的判斷

彭 杰

(珙縣宏能芙蓉煤礦有限責(zé)任公司, 四川 宜賓市 644500)

0 引 言

巖體是一種變異性很大且不穩(wěn)定的介質(zhì)，是受環(huán)境影響較大的非均質(zhì)各向異性體。采礦、隧道等各種地下空間的建設(shè)都是在巖土體中進(jìn)行的，在進(jìn)行施工前，都必須要詳細(xì)準(zhǔn)確的了解不同環(huán)境下巖石力學(xué)參數(shù)和巖體力學(xué)參數(shù)。然而，巖石作為非均質(zhì)的復(fù)雜介質(zhì)，要想獲得精確的巖石力學(xué)參數(shù)比較困難，特別是隨著采礦行業(yè)的發(fā)展，逐漸進(jìn)入深部采礦作業(yè)，面臨復(fù)雜的環(huán)境，為巖石力學(xué)試驗(yàn)的取樣帶來了很大的困難，不僅僅是費(fèi)用高，且實(shí)驗(yàn)周期比較長(zhǎng)。為了能方便的獲取現(xiàn)場(chǎng)原位巖石的強(qiáng)度參數(shù)，必須進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)巖石強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)。現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試的應(yīng)用與推廣為現(xiàn)場(chǎng)原位的強(qiáng)度參數(shù)測(cè)定提供了技術(shù)支持。但是，由于現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度的試驗(yàn)樣品是現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)拾取的，并且試驗(yàn)數(shù)量有限，造成實(shí)驗(yàn)結(jié)果隨機(jī)性和不穩(wěn)定性很大，因此為了確定現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載試驗(yàn)結(jié)果的可靠性，本文利用已有的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)獲得巖石現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度的概率分布，對(duì)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行Bayes方法優(yōu)化，以提高現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性[5-8]。

隨著Bayes理論在巖土工程方面的廣泛應(yīng)用，眾多學(xué)者也進(jìn)行了這方面的研究。嚴(yán)春風(fēng)[1]等人應(yīng)用Bayes理論在有限的小樣本前提下有效的解決了巖石力學(xué)參數(shù)概率分布的優(yōu)化問題。畢忠偉[2]等人應(yīng)用Bayes理論在少量的樣本數(shù)據(jù)前提下，利用驗(yàn)前信息對(duì)巖石力學(xué)參數(shù)進(jìn)行Bayes估計(jì),并首先對(duì)其進(jìn)行可信度研究。鄧建[3]等人指出,破壞性試驗(yàn)必須運(yùn)用序貫分析方法或者Bayes方法確定可靠性。閆春嶺[4]從Bayes計(jì)算原理出發(fā)，結(jié)合巖石抗壓強(qiáng)度分布的已有信息，隨機(jī)抽取小樣本數(shù)據(jù)，得到了巖石抗壓強(qiáng)度后驗(yàn)分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式，并進(jìn)行了工程檢驗(yàn)。筆者結(jié)合相關(guān)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用Bayes方法來判斷現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度的概率。

1 Bayes統(tǒng)計(jì)原理[4]

Bayes統(tǒng)計(jì)學(xué)將未知的參數(shù)看作隨機(jī)變量,并且認(rèn)為在獲得樣本數(shù)據(jù)前也已存在一個(gè)概率分布,即驗(yàn)前分布[9]。樣本數(shù)據(jù)下未知參數(shù)的分布稱為后驗(yàn)分布, 后驗(yàn)分布是對(duì)未知參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)，因此Bayes方法用于估計(jì)某隨機(jī)變量的參數(shù)，可基本解決樣本容量有限的問題[9]。本文對(duì)后驗(yàn)概率密度進(jìn)行理論計(jì)算。

假設(shè)現(xiàn)有現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試樣本A1，A2，…，An出自于未知的整體樣本A，并設(shè)F(ai，Q)是A的分布函數(shù)，樣本的分布函數(shù)如下：

(1)

在Bayes估計(jì)中，θ是取值于參數(shù)空間Θ的一個(gè)隨機(jī)變量，分布函數(shù)式(1)實(shí)際就是隨機(jī)變量θ為某一特定值條件下的樣本的分布情況，因此，式(1)可被改寫為：

(2)

(3)

g(a1，a2…an，θ)=g(a1，a2，…，an|θ)h(θ)

(4)

(5)

(6)

稱之為θ的Bayes估計(jì)。

令右式為0，交換積分次序，并利用式(4)得：

(7)

令:

(8)

其中，

(9)

2 Bayes方法在現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度中的應(yīng)用

(10)

式中，i=1,2，…，n，式(10)即是式(9)在離散狀態(tài)下的Bayes公式。式(10)中{p(A1)，p(A2),…,p(An)}稱為驗(yàn)前分布，B為發(fā)生的事件；P(Ai|B),i=1,2,…,n為驗(yàn)后分布，綜合了前信息和試驗(yàn)所提供的信息[9]。

由于對(duì)巖石強(qiáng)度的試驗(yàn)價(jià)格昂貴，時(shí)間周期長(zhǎng)，且取樣比較困難，人們總是希望通過少量的實(shí)驗(yàn)來獲得準(zhǔn)確而大量的信息。特別是現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度的測(cè)試，其取樣源于現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)取樣，并且試樣的形狀和尺寸也是帶某一范圍內(nèi)隨機(jī)的。現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試本身就是一個(gè)隨機(jī)性的測(cè)試，因此對(duì)現(xiàn)場(chǎng)少量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行Bayes判斷顯為重要，特別是隨著Bayes方法在巖土工工程中的應(yīng)用越來越廣泛?，F(xiàn)以現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度為例，現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度為一隨機(jī)變量，用X表示，X1，X2，…,Xn為X的樣本，這種隨機(jī)變量X樣本可視為正態(tài)分布，即X～N(μσ2)，設(shè)小樣本計(jì)算出的均值和方差分別為ν和τ2，則可求出在二次損失函數(shù)下μ,σ2的Bayes估計(jì)：

(11)

(12)

3 工程實(shí)例

以現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載測(cè)試為基礎(chǔ)，通過少量的現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試來驗(yàn)證Bayes法在點(diǎn)荷載強(qiáng)度方面的適用性。點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試采用SD-1數(shù)碼點(diǎn)荷載儀。點(diǎn)荷載試樣通過現(xiàn)場(chǎng)拾得，取樣要求長(zhǎng)寬不超過10 cm，由于現(xiàn)場(chǎng)條件的限制，選擇能滿足儀器的巖樣都可以。這次所選擇的巖樣長(zhǎng)寬主要在小于15 cm的塊狀巖塊，加荷間距以30～50 mm為宜，考慮到現(xiàn)場(chǎng)的條件限制，試樣的加荷間距為40～60 mm的巖塊，巖塊試樣如圖1所示。39組現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試數(shù)據(jù)(見表1)?，F(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載測(cè)試試件本身就是隨機(jī)性的測(cè)試。因此，樣本完全服從正態(tài)分布。樣本均值μ=3.29，σ2=4.49。即先驗(yàn)分布服從N(3.29，4.49)。

圖1 巖塊試樣

在表1中隨機(jī)取5個(gè)數(shù)據(jù)組成一組，并且隨機(jī)取4組，如表2所示。計(jì)算出的均值方差也如表2所示。通過Bayes方法估計(jì)即式(11)和式(12)計(jì)算所獲得的均值和方差如表2所示。計(jì)算值和樣本誤差值計(jì)算見表3，由表3可知誤差基本都小于10%，說明后驗(yàn)分布的均值和方差與總體樣本的均值和方案值比較接近，因此Bayes方法適合用于現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度的估計(jì)。

為了進(jìn)一步說明上述小樣本Bayes統(tǒng)計(jì)方法的適用性，再隨機(jī)取4組數(shù)據(jù)，每組7個(gè)，對(duì)Bayes統(tǒng)計(jì)方法的適用性進(jìn)行驗(yàn)證，如表4所示。

表1 現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試結(jié)果

表2 隨機(jī)抽取計(jì)算均值和計(jì)算方差

表3 計(jì)算值和樣本值誤差計(jì)算結(jié)果

表4 隨機(jī)抽取計(jì)算均值和計(jì)算方差

計(jì)算出的均值方差也如表4所示。通過Bayes方法估計(jì)即式(11)和式(12)計(jì)算所獲得的均值和方差由表4所示。表5所示的計(jì)算值與樣本值誤差全部都小于10%，如表5所示，說明后驗(yàn)分布的均值和方差與總體樣本的均值和方案值比較接近，因此Bayes方法適合用于現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度的估計(jì)。

因此，在礦山需要獲得巖體或巖石的強(qiáng)度參數(shù)時(shí)，可以利用本方法通過少量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來獲得比較準(zhǔn)確的巖石或巖體力學(xué)參數(shù)。

表5 計(jì)算值和樣本值誤差計(jì)算結(jié)果

4 結(jié) 論

本文根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試的特殊性，即試樣尺寸、形狀都不規(guī)則，并且試樣的采集都是現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)拾取。針對(duì)這些特點(diǎn)，從Bayes原理出發(fā)，針對(duì)現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試的已有的少量樣本信息，通過隨機(jī)取樣計(jì)算出現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度后驗(yàn)分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式，分析了Bayes統(tǒng)計(jì)方法在現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度測(cè)試領(lǐng)域方面的應(yīng)用。并對(duì)其可靠性和計(jì)算誤差做了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，利用Bayes方法對(duì)現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度進(jìn)行概率分布參數(shù)的計(jì)算，能夠通過小樣本數(shù)據(jù)，獲得巖石現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)荷載強(qiáng)度的概率分布，具有較高的實(shí)用價(jià)值。但是值得注意的是，該方法必須建立在數(shù)據(jù)搜集形成的大樣本基礎(chǔ)上，否則結(jié)果沒有實(shí)際意義[4]。

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