一道導(dǎo)數(shù)試題的解法探究

冀柯維

(河北省衡水第一中學(xué) 053000)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.由于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)可以與三角函數(shù)、不等式、數(shù)列等知識(shí)融合考查，所以其解題方法也多種多樣.下面通過(guò)一道典型試題探究一下這類問(wèn)題的解法.

(1)用a表示b；

1.試題分析

這是一道“高研值”的好題，其注重知識(shí)方法的基礎(chǔ)性又兼顧問(wèn)題的綜合性，充分展現(xiàn)了問(wèn)題的檢測(cè)與選拔功能.第(1)問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于常規(guī)問(wèn)題；第(2)問(wèn)的(ⅰ)問(wèn)涉及恒成立問(wèn)題，求解過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，有一定的難度；第(2)問(wèn)的(ⅱ)問(wèn)考查不等式的證明，它將三角函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)融于一題，入手雖較易，但思維含量較高，不易得證.

2.解法探究

(2)(ⅰ)解法一：導(dǎo)數(shù)方法求最值，分類討論有標(biāo)準(zhǔn)

處理不等式的恒成立問(wèn)題時(shí)，通常情況下可轉(zhuǎn)化為函在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題去分析，即若f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a；若f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，一般按以下步驟進(jìn)行：先求導(dǎo)數(shù)，并求得導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，再以導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)為界劃分定義域?yàn)槿舾蓞^(qū)間，并判斷導(dǎo)數(shù)在每一區(qū)間上的符號(hào)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值、最值.在求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，在劃分定義域時(shí)，在判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)時(shí)，在確定最值時(shí)，往往需結(jié)合參數(shù)的取值范圍分類討論.把握好分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，是正確求解的關(guān)鍵所在.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+).

解法二：參變分離構(gòu)函數(shù)，分拆放縮求范圍

處理不等式的恒成立問(wèn)題時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮參變分離法.這樣做的優(yōu)點(diǎn)是：把含參的函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，避免了分類討論.實(shí)施參變分離后出現(xiàn)新函數(shù)，習(xí)慣思維定式是直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)找最值，經(jīng)演算發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不可求，此時(shí)“再次求導(dǎo)”為問(wèn)題的破解提供有力的支撐，嘗試后仍然不可解，陷入慣性思維的“怪圈”不能自拔，似乎到了“山窮水盡”的境地，此時(shí)，分拆函數(shù)放縮往往能打開(kāi)“絕處逢生”的神奇通道.放縮是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中轉(zhuǎn)化的有效方法，可以避免不必要的繁瑣過(guò)程，又可快速解決問(wèn)題而不失嚴(yán)謹(jǐn)性.關(guān)鍵在于對(duì)式子結(jié)構(gòu)的分析和對(duì)常用不等式的熟悉，如：lnx≤x-1，ex≥x+1等等，不再贅述.不過(guò)應(yīng)用不等式時(shí)，要注意變量的范圍和不等式的方向，所以要拆分變形出合適的形式，方便進(jìn)行合理的放縮以及后續(xù)的運(yùn)算.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+).

解法三：聯(lián)想特殊與一般，先驗(yàn)再證破疑難

特殊化與一般化思維貫穿于整個(gè)解題過(guò)程之中，就一般化而言，應(yīng)努力去引出一般的結(jié)論，揭示其內(nèi)在的依據(jù)，并作出可能的推廣.而特殊化思想則可用于解決一些抽象、概括性極高的問(wèn)題，若直接發(fā)現(xiàn)或論證感到困難時(shí)，可以先試探它的特殊、局部情況的特性，找到解題的突破口，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并順利解題.由解法一可以看出由于參數(shù)a范圍的不確定性，使得解題過(guò)程冗長(zhǎng).解題的關(guān)鍵是按照題目設(shè)計(jì)的問(wèn)題步步深入，通過(guò)特例賦值分析，悟出由特殊到一般的思維方法，探索出參數(shù)a的大致范圍，避免了繁瑣的分類討論，問(wèn)題也就迎刃而解了.

g(x)≤-1恒成立，即g(1)=-a-(a-1)≤-1?a≥1.

則g(x)max=g(1)=1-2a≤-1，符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+).

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，加之題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，備受命題者青睞.比較法是不等式證明的最基本方法，包括作差法和作商法，綜合法與分析法的應(yīng)用反映了對(duì)已知條件和所學(xué)知識(shí)的駕馭能力.

由(ⅰ)知a≥1，令sinθ=t∈[0,1).

參考文獻(xiàn)：

[1]周麗娟.一道導(dǎo)數(shù)試題的解法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2014(21).