例析導(dǎo)數(shù)壓軸題中嚴(yán)格不等式的證明

李 寧 賀航飛 唐盛彪

(海南省海南中學(xué) 571158)

資金項(xiàng)目：本文為海南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題《基于云平臺(tái)教學(xué)的數(shù)學(xué)特優(yōu)生校本課程開(kāi)發(fā)實(shí)踐》(課題編號(hào)：QJZ13516009)研究成果之一.

嚴(yán)格不等式f(x)>g(x)的證明是導(dǎo)數(shù)壓軸題中一類(lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題. 這類(lèi)問(wèn)題的表達(dá)式中通常會(huì)混合多種類(lèi)型的函數(shù)，解法靈活且具有一定的難度，能很好考查學(xué)生的洞察力.

例題當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式：ex>lnx+2.

本文以此題為例，從不同方向入手探索這類(lèi)問(wèn)題的解題策略.

一、借助隱零點(diǎn)估計(jì)最值來(lái)證明f(x)-g(x)>0

要證明f(x)>g(x)，只需證明f(x)-g(x)>0，此時(shí)只要求出f(x)-g(x)的最小值與0比較即可. 但是通常導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不能求出，可以對(duì)零點(diǎn)采取設(shè)而不求的策略來(lái)估計(jì)f(x)-g(x)的最小值.

又當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，h′(x0)<0；當(dāng)x∈(x0,+)時(shí)，h′(x0)>0. 從而x0是h(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即

變式1 當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式(x-2)lnx+1>0.

又當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f′(x0)<0；當(dāng)x∈(x0,+)時(shí)，f′(x0)>0. 從而x0是f(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即設(shè)則從而g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，故g(x)

二、通過(guò)f(x)min>g(x)max來(lái)證明f(x)>g(x)

計(jì)算出f(x)min,g(x)max，一旦f(x)min>g(x)max成立，則必有f(x)>g(x)，此時(shí)的函數(shù)不等式相對(duì)比較弱. 還有一種情形是，f(x)min=g(x)max，但兩邊取最值的條件不同，也有f(x)>g(x). 回到例題，不等式的兩邊均無(wú)最值，此時(shí)得設(shè)法等價(jià)改造使得能求最值.

三、通過(guò)f(x)>h(x)>g(x)來(lái)證明f(x)>g(x)

以上思路是在中間找一個(gè)常數(shù)作為中介來(lái)證明f(x)>g(x). 類(lèi)似地，我們也可以通過(guò)適當(dāng)放縮在中間插入一個(gè)函數(shù)作為中介來(lái)證明f(x)>g(x). 函數(shù)不等式ex≥x+1及其等價(jià)形式lnx≤x-1是常用的放縮工具，也是例題的背景.

證法3 首先證明不等式ex≥x+1.

設(shè)f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1. 當(dāng)x∈(-,0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0,+)時(shí)，f′(x)>0. 從而x=0是f(x)的極小值點(diǎn)，同時(shí)也是最小值點(diǎn)，即f(x)≥f(0)=0，故ex≥x+1，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=0.

當(dāng)x>-1時(shí)，由ex≥x+1得x≥ln(x+1). 從而當(dāng)x>0時(shí)，x-1≥lnx，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1.

于是當(dāng)x>0時(shí)，ex>x+1=(x-1)+2≥lnx+2，ex>lnx+2得證.

參考文獻(xiàn)：

[1]林國(guó)夫. 2013年高考導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中的“隱零點(diǎn)”[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013(9)：49-52.