對(duì)教材所給公式的證明

王瑋珅

(黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 150000)

高中數(shù)學(xué)教材(人教版)中(下文簡(jiǎn)稱“教材”)，對(duì)于一些常用的基本數(shù)學(xué)公式，教材以定理形式給出或略微提及，卻并未給出其推理證明的相關(guān)過程.筆者通過高中數(shù)學(xué)知識(shí)(考綱內(nèi))對(duì)其中一部分公式、結(jié)論加以證明.希望以此能夠激發(fā)同學(xué)們的數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)興趣與發(fā)散性思維，并提高一定的獨(dú)立思考和數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用能力.

一、數(shù)列部分

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法雖然可以輕松證明上式成立，但在公式未知時(shí)卻無法獲得此結(jié)論.現(xiàn)在，我們探究如何直接推導(dǎo)出此公式.

[討論1]求數(shù)列an=n2(n∈N*)的前n項(xiàng)和

首先，我們構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列{bn}，令bn=2n-1(n∈N*).

由于b1+b2+…+bn=n2，(n-1)bn=(n-1)(2n-1)=2n2-3n+1,

∴證畢.

上述思想主要是通過構(gòu)造新數(shù)列，使通項(xiàng)逐項(xiàng)相加后能構(gòu)造出n項(xiàng)和的倍數(shù)，以解出求和公式.

二、立體幾何部分

首先，我們想一想求解該問題的思路，在垂直于底面的方向上，也就是高的方向上，每一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的椎體橫截面積隨高度變化而變化，且有函數(shù)規(guī)律.然后，我們就可以利用定積分知識(shí)類比計(jì)算平面圖形面積來計(jì)算體積.

如圖1，三棱錐S-ABC，SO為高線，做任意平行于ABC且頂點(diǎn)分別在三條棱上的三角形A′B′C′交SO于點(diǎn)M.

把x看為自變量，S△A′B′C′為因變量，則上式為S△A′B′C′與x間函數(shù)關(guān)系，而體積VS-ABC則可以看作上述函數(shù)，自變量x從0到h區(qū)域內(nèi)的定積分.

同理，四棱錐、圓錐等也可以類似這樣證明.

先看一個(gè)半球(圖2)，與[討論1]思路相同， 我們只需要先得出與底面平行，半球相交的圓面積與其底面距離的函數(shù)關(guān)系，即可求出半球面積，從而到球體面積.

所以S′=πr′2=π(r2-x2).

三、導(dǎo)數(shù)部分

教材導(dǎo)數(shù)章節(jié)內(nèi)容，給出了一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，其中大多公式可用高中數(shù)學(xué)知識(shí)證明.下文只給出“若f(x)=xa(a∈N*)，則f′(x)=axa-1的證明.

[討論1]設(shè)函數(shù)f(x)=xa(a∈N*)，求其導(dǎo)函數(shù)f′(x).

這個(gè)問題很容易證明，只要代入二項(xiàng)式定理即可.

[討論2]求函數(shù)f(x)=sinx的導(dǎo)函數(shù)f′(x)

通過對(duì)教材內(nèi)基本公式的證明，在一定程度上能夠開拓并啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)知與數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生能清晰、明了所學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，提高自身主動(dòng)思考行動(dòng)能力與探究性創(chuàng)新能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭立軍.對(duì)高中數(shù)學(xué)新教材第一冊(cè)(上)的研究[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2003.