盤點(diǎn)坐標(biāo)系與參數(shù)方程模塊最值問題的求解方法

卜大海

(廣東省汕頭市澄海蘇北中學(xué) 515829)

坐標(biāo)系與參數(shù)方程模塊是新課標(biāo)高考的選做考點(diǎn)，而最值問題又是該模塊的高頻考點(diǎn)，對于新加入新課標(biāo)高考省份的師生來說，其命題形式和考試風(fēng)格與以往自主命題時(shí)大不相同.本文總結(jié)了坐標(biāo)系與參數(shù)方程模塊最值問題的常見求解方法，希望對廣大備考的師生有所啟發(fā)和幫助.

一、應(yīng)用曲線的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元求最值

(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).

評注本題是2016年新課標(biāo)丙卷第23題，破解此題關(guān)鍵在于利用點(diǎn)P參數(shù)形式的直角坐標(biāo)將解析幾何的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

(2)求橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值.

故橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值為30.

二、化歸為二次函數(shù)，運(yùn)用二次函數(shù)的特性求最值

(1)寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)．

故當(dāng)t=0時(shí)，|PC|取最小值，此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0).

評注題目中說P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從何而得？本題告訴我們一個(gè)重要的解題經(jīng)驗(yàn)——需要?jiǎng)狱c(diǎn)坐標(biāo)時(shí)我們可以向曲線的參數(shù)方程“借”.

(1)求圓C的普通方程和參數(shù)方程；

(2)已知圓C上一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，求xy的最大值和最小值.

x2+y2-4x-4y+6=0，即(x-2)2+(y-2)2=2.

評注第二問為什么會(huì)想到將此題化為二次函數(shù)求最值呢？事實(shí)上是因?yàn)椤皟绱巍北┞读吮绢}的求解思路，題目中的sinα+cosα是1次冪，而sinαcosα是2次冪，具有典型二次函數(shù)結(jié)構(gòu)，本題也給我們提供了一條換元經(jīng)驗(yàn)和一個(gè)解題技巧.

換元經(jīng)驗(yàn)：遇到含有sinα±cosα和sinαcosα的函數(shù)通常作如下?lián)Q元：

解題技巧：三角函數(shù)求最值用什么方法，要看冪次說話，例如，y=cos2x+sinxcosx各項(xiàng)冪次均相同，可降冪結(jié)合引入輔助角公式化為三角函數(shù)最值問題，而y=cos2x+sinx這類含有2次冪，1次冪的函數(shù)，則化為二次函數(shù)求最值.

三、運(yùn)用圓的幾何對稱特性求最值

(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若P,Q分別是曲線C1和C2上的任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值.

評注本題不僅用到了前面提到二次函數(shù)求最值，而且還使用了幾何對稱思想，即利用圓的對稱性求最值.運(yùn)用圓的幾何對稱特性求取值范圍時(shí)常用到以下結(jié)論：

結(jié)論一：已知圓O的半徑為r，圓O上一點(diǎn)到與其相離的直線l的距離為d，圓心到該直線的距離為d0，則dmax=d0+r，dmin=d0-r.

結(jié)論二：已知圓O的半徑為r，圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)A的距離為d，圓心到點(diǎn)A的距離為d0，則dmax=d0+r，dmin=d0-r.

結(jié)論三：設(shè)圓A上一點(diǎn)到圓B上一點(diǎn)的距離為d，兩圓半徑分別為r1,r2，兩圓圓心之間的距離為d0，若兩圓相離，則dmax=d0+r1+r2，dmin=d0-r1-r2.

(1)求圓心C的直角坐標(biāo)；

(2)由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長的最小值．

評注圓的幾何最值問題圍繞“圓心”思考，往往會(huì)讓問題柳暗花明.本題第二問直接求解很難入手，若考慮直線l上的點(diǎn)到圓心的距離的最小值，則問題迎刃而解.

四、利用基本不等式求最值

例7 在極坐標(biāo)系中，已知曲線C1：ρ=2cosθ和曲線C2：ρcosθ=3，以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求曲線C1和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)P是曲線C1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段OP的垂線交曲線C2于點(diǎn)Q，求線段PQ長度的最小值.

解析(1)C1的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1，C2的直角坐標(biāo)方程為x=3，

(2)設(shè)曲線C1與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)為A,由PQ⊥OP,可知PQ過點(diǎn)A(2,0),

代入C1可得t2+2tcosθ=0,解得t1=0或t2=-2cosθ.

評注本題的解題關(guān)鍵在于設(shè)出直線PQ的參數(shù)方程及利用數(shù)形結(jié)合的思想得到|PQ|=|AP|+|AQ|，那么再面對基本不等式得最值就信手拈來了.

參考文獻(xiàn)：

[1]張文玫.例談高中選修4-4參數(shù)方程的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(高中數(shù)學(xué)教學(xué)),2014(11):61-61.

[2]吳偉泉等.數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程[M].北京：人民教育出版社，2005.