高二數(shù)學(xué)中直線平面平行的判定及性質(zhì)分析

王明軒

【摘要】直線平面平行是高二數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)知識(shí)，不僅要求學(xué)生有著清晰的解題思路，而且還需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力、空間想象能力以及運(yùn)算能力?？v觀近幾年全國(guó)各地高考題，有關(guān)直線平面平行的判定及性質(zhì)的題目一直是重點(diǎn)考核內(nèi)容，同時(shí)也是學(xué)生容易丟分的知識(shí)點(diǎn)。為提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力及數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，在高二數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，便尤為重視直線平面平行的判定及性質(zhì)的講授，文章對(duì)此進(jìn)行了深入分析，旨在提供教學(xué)指導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】高二數(shù)學(xué) 直線平面平行 判定 性質(zhì)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）09-0105-02

線線平行、線面平行、面面平行，均是空間幾何體中的平行關(guān)系，是將點(diǎn)、線、面基礎(chǔ)知識(shí)與空間模型相結(jié)合，延伸出來(lái)的更具難度及思考性的知識(shí)，這部分內(nèi)容集中在高二《直線平面平行的判定及性質(zhì)》課時(shí)章節(jié)中。通過(guò)對(duì)該部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，不僅能夠?qū)⒅八鶎W(xué)知識(shí)加以融匯貫通，而且還可以能夠幫助學(xué)生形成滑軌和轉(zhuǎn)化思想，有助于學(xué)生邏輯推理能力、空間想象能力、動(dòng)手操作能力、數(shù)學(xué)符號(hào)及圖形表達(dá)能力等綜合素質(zhì)的提升，對(duì)促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展具有重要意義，所以必須提高對(duì)該章節(jié)內(nèi)容教學(xué)的重視力度。

一、高二數(shù)學(xué)中直線平面平行的判定及性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)

直線平面的判定及性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)教材中占有很大比重，該章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)具體體現(xiàn)在以下幾方面。第一，對(duì)重難點(diǎn)知識(shí)的掌握。能夠利用空間想象能力，在腦海中形成對(duì)之直線與平面位置關(guān)系的空間認(rèn)知，能夠利用利用直線平面平行的相關(guān)性質(zhì)，推導(dǎo)出平行判定定理并將其加以靈活運(yùn)用。第二，學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。采用啟發(fā)式、發(fā)現(xiàn)式教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生在觀察模型、動(dòng)手操作及推理論證過(guò)程中，使其逐步具備較強(qiáng)的觀察能力、空間思維能力、作圖能力、邏輯推理能力等，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。第三，情感態(tài)度及價(jià)值觀念的形成[1]。師生針對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)進(jìn)共同探究和討論，使學(xué)生能夠積極參與到學(xué)習(xí)過(guò)程中去，獲得良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，在解決問(wèn)題后收獲成功的喜悅，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的樂(lè)趣，幫助學(xué)生樹(shù)立實(shí)事求是、探索創(chuàng)新的求知精神。這些都是直線平面平行的判定與形式章節(jié)預(yù)期實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)。

二、高二數(shù)學(xué)中直線平面平行的判定方法

在解答直線平面平行的判定及性質(zhì)題目之前，應(yīng)先理解并掌握線線平行、線面平行和面面平行的判定方法。

1.線線平行判定方法

在判定線線平行時(shí)，主要有三種方法能夠?qū)崿F(xiàn)。第一種，公理4。如果兩條直線與另外一條直線均為平行關(guān)系，則者兩條直線平行。第二種，線面平行的性質(zhì)定理。當(dāng)一條直線平行于某一平面，且該平面平行于該直線所在平面，則該直線與兩平面相交處所形成的直線平行。第三種，平行平面的性質(zhì)定理。當(dāng)兩個(gè)平面為平行關(guān)系，均于另外一個(gè)平面相交，此時(shí)在相交處所形成的兩個(gè)直線為平行關(guān)系[2]。

2.線面平行判定方法

對(duì)于線面平行判定方法主要有三種，要求學(xué)生應(yīng)全部掌握。第一種，借助線面平行判定定理實(shí)現(xiàn)。當(dāng)平面內(nèi)的任意一條直線與其平面外任意一條直線為平行關(guān)系時(shí)，則平面外這條直線與該平面平行。需要注意的是在使用該方法推導(dǎo)線面平行時(shí)，應(yīng)注明兩條平行直線分為位于平面內(nèi)和平面外，否則推理證明過(guò)程論證不充分[3]。第二種，利用面面平行性質(zhì)。當(dāng)一個(gè)平面平行于另一平面時(shí)，則兩個(gè)平面內(nèi)的所有直線均為平行關(guān)系。第三種為向量法，需要結(jié)合向量坐標(biāo)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)，推理過(guò)程詳見(jiàn)第三部分例題解析。

3.面面平行判定方法

面面平行的判定，所用方法也有三種。第一種，借助面面平行的判定定理。當(dāng)同時(shí)位于同一平面內(nèi)的兩條直線為相交關(guān)系，且與另外一個(gè)平面為平行關(guān)系時(shí)，則兩條直線所在平面與該平面平行。第二種，利用平行平面的判定定理進(jìn)行推導(dǎo)。如果兩個(gè)平面中分別有兩條相交直線為平行關(guān)系，則兩條平面為平行關(guān)系。第三種，向量法。當(dāng)位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的法向量為平行關(guān)系，則者兩個(gè)平面之間的關(guān)系也是相互平行的[4]。

三、高二數(shù)學(xué)中直線平面平行的判定及性質(zhì)例題解析

直線平面平行的判定及性質(zhì)作為高考中的重難點(diǎn)內(nèi)容，要想幫助學(xué)生真正掌握該部分知識(shí)，就需要結(jié)合常見(jiàn)題型進(jìn)行分析，在邏輯推理與論證過(guò)程中得到問(wèn)題的最終答案。

1.線線平行的判定

為深入理解顯現(xiàn)平行的判定定理，便于對(duì)相關(guān)題目進(jìn)行推導(dǎo)論證，此次研究中借助一道例題進(jìn)行分析，該例題條件及問(wèn)題如下。已知在空間中存在一四邊形ABCD，該四邊形四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別用E、F、G、H表示，論證該四邊形內(nèi)四邊中點(diǎn)所組成的四邊形為平行四邊形。

在解答該道題目時(shí)，要想證明EFGH為平行四邊形，只需證明一組對(duì)邊相等且平行或者兩組對(duì)邊分分別平行即可。在這兩種推理方法中，都需證明線線平行，所以就需要利用線線平行判定定理來(lái)解決該問(wèn)題。具體解題思路需要尋找一條直線分別，與EFGH四邊形中的一組對(duì)邊都為平行關(guān)系，然后再證明兩者相等或者另外一組對(duì)邊平行，即可得到該四邊形為平行四邊形。

為更方便的解答此類問(wèn)題，一般都需要通過(guò)作圖更加直觀的呈現(xiàn)直線平面的空間關(guān)系，具體如圖1所示。如圖所示，分別連接A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)組成空間四邊形，在連接E、F、G、H四個(gè)點(diǎn)組成平面四邊形。因?yàn)镋、F、G、H四點(diǎn)分別為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，則根據(jù)三角形相關(guān)知識(shí)可知，在△ABD和△BCD中，EH和FG分別為中位線，所以EH平行于BD，且EH=1/2BD，F(xiàn)G平行于BD，且FG=1/2BD。依據(jù)以上推理結(jié)論，再結(jié)合線線平行公理4可知，EH平行于FG，且兩者相等均為BD的1/2，則可證明四邊形EFGH為平行四邊形。

2.線面平行問(wèn)題的解決

對(duì)于線面平行類題目的推理論證，可通過(guò)多種方法實(shí)現(xiàn)。以某道例題為例，如圖2所示，四邊形ABCD和四邊形ACEF分別為正方形和矩形，兩個(gè)四邊形位置關(guān)系為垂直關(guān)系，已知AB長(zhǎng)度為，AF長(zhǎng)度為1，線段EF中有一中點(diǎn)為M，證明直線AM平行于平面BDE。

在解答該題目解題時(shí)，首先可以利用線面平行判定定理，在平面BDE中找出一條直線平行于直線AM，即可通過(guò)推理得到證明。其次可以采用向量法證明直線AM所在向量平行平面BDE某條直線所在向量即可，證明線面平行[5]。

具體解題過(guò)程如下：第一種，分別連接正方形ABCD四個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)相交于點(diǎn)G，則G點(diǎn)為線段AC和線段BD的中點(diǎn)。四邊形ACEF為矩形，則EF與AC相互平行，則EM與AG平行，又因?yàn)樵诰€段EF中M為中點(diǎn)，所以可知EM與AG相等，因此可知四邊形AGEM為平行四邊形，所以兩兩對(duì)邊分別平行，則EG平行于AM。因?yàn)镋G在平面BED中，AM在平面BED外，此時(shí)根據(jù)線面平行判定定理可知，直線AM平行于平面BDE。第二種，分別以向量CD、CB、CE為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目條件，可知A、B、D、E、M坐標(biāo)分別為（）、（）、（）、（0，0，1）、（），則向量AM、DE、BE大小分別為（）、（）、（），由此可知向量DE與向量BE之和等于兩倍的向量AM。又因?yàn)橹本€AM不在平面BDE內(nèi)，由此可知直線AM平行于平面BDE。另外，仍然以向量CD、CB、CE分別正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則A、M、G、E四點(diǎn)坐標(biāo)分別為（）、（）、（）、（0，0，1）。計(jì)算可以得到向量GE和向量AM大小分別為（）、（），由此可知向量GE與向量AM相等，則可以得知兩者為平行關(guān)系。又因?yàn)橹本€GE在平面BDE內(nèi)，直線AM不在平面BDE內(nèi)，則可以證明直線AM平行于平面BDE。

3.利用線面平行解決面面平行

已知題目?jī)?nèi)容為：某三棱準(zhǔn)S-ABC中，平面SAB內(nèi)支線AB垂直于平面SBC內(nèi)支線BC，且兩平面也相互垂直，三角形SAB中SA和AB長(zhǎng)度相等。經(jīng)過(guò)A點(diǎn)做直線AF垂直于直線SB與F點(diǎn)，在三角形SAC中，F(xiàn)、G兩點(diǎn)分別為SA和SC兩條邊的中點(diǎn)。證明平面FEG與平面ABC相互平行。三棱準(zhǔn)S-ABC內(nèi)的線面關(guān)系如圖3所示。

在解答這道題目時(shí)，要想證明平面FEG與平面ABC平行，可以利用轉(zhuǎn)化思想通過(guò)證明線面平行即可。具體思路是證明平面FEG內(nèi)兩條相交直線平行于平面ABC，而對(duì)于線面平行的判斷則需要先證明線線平行。所以，該道題目的解題關(guān)鍵，便是在平面ABC內(nèi)找打一條直線平行于平面FEG內(nèi)兩條的相交直線。

論證推理過(guò)程為：在三角形SAC中，因?yàn)镋、G分別為SA和SC兩條邊的中點(diǎn)，則可以得知直線EG為三角形SAC的中位線，EG平行于AC，且等于AC的1/2。因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，EG在平面ABC外，則根據(jù)線面平行判定定理可知，EG平行于平面ABC。因?yàn)锳S等于AB，直線AF與直線SB相互垂直，所以F為直線SB的中點(diǎn)，由此可知直線EF與直線AB相互平行。因?yàn)锳B在平面ABC內(nèi)，EF在平面ABC外，由此可知EF平行于平面ABC。因?yàn)橹本€EG、EF都在平面EFG內(nèi)，相較于點(diǎn)E，所以可知直線AC平行于平面EFG，則根據(jù)面面平行判定定理可知，平面FEG平行于平面ABC。

四、結(jié)束語(yǔ)

熟練掌握高二數(shù)學(xué)中直線平面平行的判定及性質(zhì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，不僅能夠幫助學(xué)生取得良好的學(xué)習(xí)成績(jī)和考試成績(jī)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、作圖運(yùn)算能力等，進(jìn)而使學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)得到提升，有利于學(xué)生的全面發(fā)展。所以，在教學(xué)過(guò)程中，必須采取科學(xué)有效的教學(xué)方法，發(fā)散學(xué)生思維，傳授學(xué)生解題技巧，進(jìn)而才能更好的解決此類問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]張彬.在“追問(wèn)”中完善知識(shí)，于探究中感悟本質(zhì)——“直線與平面平行的判定”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015，（1）：10-12.

[2]李從清.直線、平面平行的判定與性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015，（35）：16-18.

[3]徐解清.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：從內(nèi)隱走向外顯——《直線和平面平行的判定》的教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017， （7）：24-27.

[4]陸學(xué)政.“直線與平面平行的判定”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2014，（3）：8-11.

[5]倪春霞.漸進(jìn)式教學(xué)在高中教學(xué)實(shí)踐中的具體應(yīng)用——以“直線與平面平行的性質(zhì)”教學(xué)為例[J].亞太教育，2016，（19）：44-44.