車(chē)輛-軌道系統(tǒng)激振源隨機(jī)分析

徐 磊，陳憲麥

(1.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

對(duì)于車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)(本文簡(jiǎn)稱(chēng)此系統(tǒng))而言，隨著確定性計(jì)算理論的不斷完善[1]，車(chē)線(xiàn)工況及激勵(lì)形態(tài)確定的系統(tǒng)振動(dòng)分析不再是困擾鐵路工作者的主要問(wèn)題。此系統(tǒng)本質(zhì)上是隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，激振源的隨機(jī)性是其隨機(jī)振動(dòng)的重要原因，國(guó)內(nèi)外對(duì)此系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)研究尚不充分。一般將隨機(jī)激振源取為軌道隨機(jī)不平順[1]，文獻(xiàn)[2]另辟蹊徑，取構(gòu)架蛇形波為此系統(tǒng)的橫向激振源。

總結(jié)國(guó)內(nèi)外關(guān)于此系統(tǒng)激振源隨機(jī)分析的研究，以下幾個(gè)問(wèn)題有待深入探討：

(1)激振源時(shí)變性考慮不足。按功率譜(或能量)等效原理反演的軌道隨機(jī)不平順或構(gòu)架蛇形波樣本，均來(lái)自此系統(tǒng)某一概率水平或某一時(shí)間點(diǎn)下的實(shí)測(cè)譜(或標(biāo)準(zhǔn)差)，其動(dòng)力計(jì)算結(jié)果實(shí)為此系統(tǒng)沿線(xiàn)路的空間隨機(jī)結(jié)果[2-3]。

(2)激振源的時(shí)-空隨機(jī)模擬方法尚未提出。此系統(tǒng)的激振源既有沿線(xiàn)路空間的分布隨機(jī)性，又有隨時(shí)間的演變隨機(jī)性，所以此系統(tǒng)的激振源具有時(shí)-空隨機(jī)特征。若不進(jìn)行此系統(tǒng)的時(shí)-空隨機(jī)計(jì)算，就無(wú)法統(tǒng)計(jì)振動(dòng)響應(yīng)的概率分布，則涉及此系統(tǒng)可靠度的問(wèn)題均無(wú)法妥善解決。

(3)自文獻(xiàn)[2]提出采用構(gòu)架蛇形波作為此系統(tǒng)橫向激振源，已近30年。未見(jiàn)針對(duì)此激振源合理性進(jìn)行全概率的理論論證，并與車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)[1]計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證的相關(guān)文獻(xiàn)。

本文以軌道隨機(jī)不平順的時(shí)-空隨機(jī)性為基礎(chǔ)，闡述其隨機(jī)反演方法；結(jié)合車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型[1]，分析時(shí)-空隨機(jī)不平順輸入下此系統(tǒng)構(gòu)架蛇形波的隨機(jī)分布特性及模擬方法；進(jìn)一步建立車(chē)輛-軌道動(dòng)力計(jì)算模型，以構(gòu)架蛇形波譜的隨機(jī)反演樣本為激振源，通過(guò)兩種激振源在兩種計(jì)算模型下的動(dòng)力響應(yīng)，相互驗(yàn)證此系統(tǒng)兩種激振源的概率轉(zhuǎn)換關(guān)系及合理性。

1 軌道隨機(jī)不平順時(shí)-空隨機(jī)反演方法

軌道不平順的空間隨機(jī)表現(xiàn)為其幅值及相位沿線(xiàn)路隨機(jī)分布(一般通過(guò)功率譜表征)，其時(shí)間隨機(jī)表現(xiàn)為譜線(xiàn)以不同的概率上、下波動(dòng)。

圖1為武廣高速鐵路2013年高低不平順實(shí)測(cè)譜分布。圖1表明，時(shí)-空域內(nèi)的隨機(jī)譜線(xiàn)在較廣的范圍內(nèi)波動(dòng)，極大極小譜值相差超過(guò)3個(gè)數(shù)量級(jí)。而國(guó)內(nèi)外經(jīng)常使用的平均譜，僅是眾多統(tǒng)計(jì)譜線(xiàn)中的一條，其出現(xiàn)概率及激勵(lì)形態(tài)均十分有限，將平均譜作為激振源計(jì)算出的響應(yīng)并不完備。只有從此匯總譜圖中還原出線(xiàn)路隨機(jī)不平順的所有激振形態(tài)及其出現(xiàn)概率，才能計(jì)算出此系統(tǒng)的所有振動(dòng)響應(yīng)(包括最不利極值響應(yīng))及其概率分布，并開(kāi)展可靠性研究。

圖1 軌道高低不平順實(shí)測(cè)譜

1.1 軌道不平順譜的概率特征

軌道不平順的時(shí)-空隨機(jī)反演重在遍歷軌道隨機(jī)不平順?biāo)屑ふ裥螒B(tài)，并賦予其概率性質(zhì)。計(jì)算表明，圖1中的所有譜線(xiàn)均對(duì)應(yīng)確定的概率水平，即在某一確定時(shí)-空隨機(jī)域內(nèi)，不同波長(zhǎng)的譜密度值與其出現(xiàn)概率一一對(duì)應(yīng)。

文獻(xiàn)[4]研究表明，當(dāng)取樣足夠長(zhǎng)時(shí)，對(duì)于任何一個(gè)分布函數(shù)F(x)，上極限分布H(x)必收斂為與原始分布有關(guān)的3種形式，并可統(tǒng)一為廣義極值分布[5]，其分布函數(shù)為

( 1 )

式中：μ，σ分別為位置參數(shù)和尺度參數(shù)；ξ為形狀參數(shù)；I(x)為示性函數(shù)，即

( 2 )

當(dāng)ξ=0時(shí)，式( 1 )為Gumbel分布，即極值Ⅰ型；當(dāng)ξ>0時(shí)，式( 1 )為Frechet分布，即極值Ⅱ型；當(dāng)ξ<0時(shí)，為Weibull分布，即極值Ⅲ型。計(jì)算得到式( 1 )的參數(shù)后，可根據(jù)給定的概率水平H′求解對(duì)應(yīng)的逆函數(shù)

( 3 )

文獻(xiàn)[6-7]采用參數(shù)估計(jì)及假設(shè)檢驗(yàn)方法，計(jì)算獲得不同類(lèi)型不平順不同波長(zhǎng)譜值的概率分布參數(shù)(μ、σ和ξ值)，并驗(yàn)證了線(xiàn)路不平順譜服從廣義極值分布。圖2為實(shí)測(cè)90百分位數(shù)譜與廣義極值分布90百分位數(shù)譜的比較圖。

圖2 90百分位實(shí)測(cè)譜與廣義極值分布轉(zhuǎn)化譜比較

從圖2可知，線(xiàn)路實(shí)測(cè)譜與概率分布擬合譜能較好吻合，證明了用廣義極值分布進(jìn)行軌道隨機(jī)不平順概率分析是可行的。

1.2 基于譜密度的隨機(jī)反演方法

令軌道不平順譜密度值為波長(zhǎng)和概率水平(用百分位數(shù)表示)的函數(shù)，即

PSD(ζ,λ)={Pζi,λj|ζi=ζl～ζu；λj=λl～λu}

( 4 )

式中：P為譜密度值；ζi為波長(zhǎng)，ζu、ζl分別為上、下限截止波長(zhǎng)；λj為百分位數(shù)，λu、λl為上、下限截止百分位數(shù)。

式( 4 )包含了不同頻率、不同概率下的譜密度值，而單邊功率譜密度序列G(ω)與軌道不平順?lè)囱葜抵g存在下列關(guān)系

( 5 )

從式( 5 )可知，軌道不平順?lè)囱葜蹬c功率譜密度值存在概率信息的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在頻率與百分位數(shù)確定的情況下，G(ω)的概率密度是可以確定的。

( 6 )

式中：Pr(·)表示概率密度。

采用諧和函數(shù)[8]模擬軌道不平順

( 7 )

從式( 7 )可知，每條隨機(jī)不平順序列X(t)的出現(xiàn)概率可由Ai的概率決定，基于式( 6 )，可得

( 8 )

可進(jìn)一步假定線(xiàn)路譜線(xiàn)均按百分位譜形式排列，形成百分位譜密度矩陣

( 9 )

式( 9 )中矩陣的每一列滿(mǎn)足如下關(guān)系

(10)

即每個(gè)頻率與其對(duì)應(yīng)譜密度值序列構(gòu)成獨(dú)立的概率子集，在這里若考慮線(xiàn)路譜線(xiàn)的百分位形式，則其不再獨(dú)立，可進(jìn)一步將不同不平順類(lèi)型的百分位概率密度矩陣構(gòu)建為一個(gè)二維聯(lián)合概率密度集，即

(11)

可以獲得任意百分位譜G(λi)的出現(xiàn)概率為

(12)

由G(λi)反演獲得的軌道隨機(jī)不平順序列Xλi(t)具有與G(λi)相等的出現(xiàn)概率，這便完成了具有概率特征的隨機(jī)不平順?lè)囱莨ぷ鳌?/p>

根據(jù)不同百分位譜線(xiàn)出現(xiàn)的概率，通過(guò)超立方抽樣方法[9]隨機(jī)提取m個(gè)譜線(xiàn)樣本，統(tǒng)計(jì)m個(gè)樣本軌道不平順?lè)档母怕拭芏确植?，即獲得每個(gè)不平順?lè)翟谡麄€(gè)線(xiàn)路中出現(xiàn)的近似概率。通過(guò)試算，可取m范圍為300～500。圖3為m=300時(shí)，不平順?lè)捣囱莞怕拭芏确植寂c實(shí)測(cè)概率密度分布的比較；圖4為不同累計(jì)概率下譜線(xiàn)的概率分布。

圖3 高低不平順?lè)囱莞怕史植寂c實(shí)測(cè)概率分布的比較

圖4 不同累計(jì)概率下譜線(xiàn)的概率分布

由圖3可知，反演獲得的概率密度分布與實(shí)測(cè)十分接近，證明本文提出的具有概率特征的隨機(jī)不平順?lè)囱莘椒ㄊ强尚械?。由圖4可知，概率水平最高的軌道不平順譜線(xiàn)出現(xiàn)在較低百分位數(shù)下，此概率分布曲線(xiàn)與廣義極值分布較相似。

其他類(lèi)型的不平順均可參照上述方法進(jìn)行時(shí)-空隨機(jī)模擬。對(duì)于不同類(lèi)型不平順樣本的組合問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]基于華羅庚和王元分圓域思想，提出一種隨機(jī)變量空間選點(diǎn)的數(shù)論方法，可供參考，這里不再贅述。

2 構(gòu)架蛇形波譜計(jì)算與統(tǒng)計(jì)

將上述軌道不平順隨機(jī)樣本輸入經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型[1]，進(jìn)行軌道隨機(jī)不平順激振下此系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算。結(jié)果表明，計(jì)算獲得的構(gòu)架橫向振動(dòng)加速度譜仍然可用廣義極值分布進(jìn)行概率分析，如圖5所示。

圖5 構(gòu)架橫向蛇形波計(jì)算譜和轉(zhuǎn)換譜比較注：1、2、3、4分別表示10、30、70、90百分位數(shù)譜。

從圖5可知，采用廣義極值分布能良好擬合構(gòu)架橫向蛇形波在不同累計(jì)概率水平下的功率譜線(xiàn)。振動(dòng)主頻主要分布在14～42 Hz范圍內(nèi)，且存在34 Hz及其倍頻譜峰，這些計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1]中給出的實(shí)測(cè)結(jié)果吻合良好。

根據(jù)構(gòu)架蛇形波譜，可以依據(jù)功率譜等效算法[1]模擬構(gòu)架加速度響應(yīng)，采用基于卡爾曼濾波的狀態(tài)空間方法[11]估計(jì)其位移響應(yīng)，對(duì)位移關(guān)于時(shí)間一次差分計(jì)算對(duì)應(yīng)的速度響應(yīng)。計(jì)算結(jié)果表明，此方法效果良好，不會(huì)產(chǎn)生時(shí)域積分時(shí)的漂移現(xiàn)象，如圖6所示。

圖6 模擬速度時(shí)程與計(jì)算速度時(shí)程對(duì)比

從圖6可知，按上述模擬思路，模擬結(jié)果與實(shí)際計(jì)算結(jié)果較一致，模擬方法可行。

圖7為99百分位數(shù)構(gòu)架蛇形波譜的振動(dòng)響應(yīng)模擬時(shí)程。

(a)構(gòu)架橫向加速度

(b)構(gòu)架橫向速度

(c)構(gòu)架橫向位移圖7 構(gòu)架蛇形波99百分位數(shù)譜的振動(dòng)響應(yīng)模擬時(shí)程

將圖7所示模擬結(jié)果與實(shí)際動(dòng)力計(jì)算結(jié)果最大值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)此模擬值與計(jì)算值基本吻合，如模擬和計(jì)算位移最大值分別為0.012 7和0.012 4 m。

3 動(dòng)力計(jì)算模型

3.1 模型簡(jiǎn)介

以軌道不平順為激振源的車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型在文獻(xiàn)[1]中有詳細(xì)介紹，不再論述。本文介紹以軌道垂向不平順和構(gòu)架橫向蛇形波為此系統(tǒng)垂、橫向激振源的車(chē)輛-軌道動(dòng)力計(jì)算模型。

不考慮風(fēng)、地震等外部激勵(lì)，此系統(tǒng)是自激系統(tǒng)，其空間振動(dòng)方程為

(13)

基于彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)總勢(shì)能不變值原理[12]和形成矩陣的“對(duì)號(hào)入座”法則[2]，將此系統(tǒng)視為一個(gè)整體系統(tǒng)，輪軌界面不是此系統(tǒng)的邊界條件，而是作為系統(tǒng)的內(nèi)部環(huán)境考慮。除車(chē)輛自重外，此系統(tǒng)荷載列陣來(lái)自振動(dòng)參數(shù)的已知響應(yīng)，輪軌相互作用力已等效計(jì)入系統(tǒng)能量位移變分后的動(dòng)力矩陣之中，無(wú)需顯式計(jì)算。

無(wú)論采用何種動(dòng)力計(jì)算模型，輪軌接觸幾何關(guān)系均無(wú)法回避。根據(jù)文獻(xiàn)[13-14]，在本文計(jì)算模型中考慮車(chē)輪爬軌和跳軌，將輪軌位移銜接條件(輪軌位移=鋼軌位移+軌道不平順+輪軌相對(duì)位移)作為輪軌接觸幾何關(guān)系的基本條件。在計(jì)算中，輪軌相對(duì)位移通過(guò)能量變分導(dǎo)入系統(tǒng)動(dòng)力矩陣之中，無(wú)需計(jì)算。

采用文獻(xiàn)[15]的車(chē)輛模型，但考慮輪對(duì)的搖頭振動(dòng)。采用文獻(xiàn)[16]的板式軌道結(jié)構(gòu)模型。用Wilson-θ法求解式(13)，積分步長(zhǎng)為0.005 s。

3.2 模型驗(yàn)證

本文將動(dòng)力計(jì)算模型的驗(yàn)證分成兩個(gè)部分：

(1)與車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型[1]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

(2)基于列車(chē)脫軌能量隨機(jī)分析理論[17]，計(jì)算車(chē)輛-板式軌道系統(tǒng)的極限抗力做功值，與文獻(xiàn)[16]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3.2.1 驗(yàn)證一

采用相同的計(jì)算條件，以高速無(wú)砟軌道譜90百分位數(shù)譜為車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型[1]的激勵(lì)輸入，計(jì)算此系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)(包括構(gòu)架蛇形波)。將構(gòu)架蛇形波及軌道隨機(jī)不平順輸入本文模型，再次計(jì)算此系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，表1為計(jì)算響應(yīng)最大值的對(duì)比。

表1 計(jì)算響應(yīng)最大值對(duì)比

由表1可知，對(duì)于各項(xiàng)動(dòng)力指標(biāo)的計(jì)算最大響應(yīng)，本文所構(gòu)建的動(dòng)力計(jì)算模型與車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果基本接近，從而驗(yàn)證了本文計(jì)算模型的可靠性，也側(cè)面驗(yàn)證了不同激振源在不同動(dòng)力模型中相互轉(zhuǎn)換計(jì)算的可行性。

3.2.2 驗(yàn)證二

根據(jù)列車(chē)脫軌能量隨機(jī)分析方法[16]，取車(chē)輪抬升量27 mm為脫軌幾何限值。采用試算法，計(jì)算出此系統(tǒng)時(shí)速350 km的脫軌極限抗力做功σc=6.12 m/s2，略高于文獻(xiàn)[16]的計(jì)算結(jié)果，因?yàn)楸疚乃〉能?chē)輪抬升量限值大于文獻(xiàn)[16]的25 mm。圖8為部分指標(biāo)的脫軌計(jì)算時(shí)程。

由圖8可知，輪對(duì)爬軌一般伴隨較強(qiáng)烈的車(chē)輪減載現(xiàn)象(圖8(c))，由此車(chē)輛系統(tǒng)橫向搖擺劇烈、車(chē)輛系統(tǒng)側(cè)向傾覆所致；同時(shí)，車(chē)輪脫軌必然伴隨輪緣撞擊鋼軌，引發(fā)輪軌撞擊，對(duì)于不同側(cè)輪軌，此輪緣撞擊力方向相反；在輪軌反復(fù)撞擊過(guò)程中，單側(cè)輪對(duì)的脫軌系數(shù)一般呈現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)性(圖8(d))。

(a)車(chē)體橫向加速度

(b)第四輪對(duì)左輪抬升量

(c)第四輪對(duì)左輪輪重減載率

(d)第四輪對(duì)左輪脫軌系數(shù)圖8 車(chē)輛脫軌動(dòng)力指標(biāo)計(jì)算時(shí)程曲線(xiàn)

4 激振源的對(duì)比驗(yàn)證

本文開(kāi)展激振源的時(shí)-空隨機(jī)分析工作，重新審視將構(gòu)架蛇形波作為系統(tǒng)激振源的合理性，目的在于細(xì)化激振源的隨機(jī)振動(dòng)分析，對(duì)不同激振源在動(dòng)力分析中的作用展開(kāi)細(xì)致研究。在以上工作基礎(chǔ)上，可以通過(guò)兩種激勵(lì)源下的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)概率極值分布進(jìn)行兩種激振源可行性對(duì)比驗(yàn)證。計(jì)算流程如下：

(1)以本文反演出的軌道不平順時(shí)-空隨機(jī)樣本(第1章)為激勵(lì)輸入，采用車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型[1]計(jì)算動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)在不同累計(jì)概率下的振動(dòng)響應(yīng)極值。

(2)提取不同累計(jì)概率下的構(gòu)架蛇形波百分位數(shù)譜，模擬出對(duì)應(yīng)的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程(第2章)，此為橫向激振源；垂向激勵(lì)則取軌道垂向不平順百分位數(shù)譜。采用本文建立的動(dòng)力模型(第3章)，再次計(jì)算動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)在不同累計(jì)概率下的振動(dòng)響應(yīng)極值。

(3)將(1)和(2)中計(jì)算響應(yīng)的累計(jì)概率-響應(yīng)極值分布對(duì)比驗(yàn)證。

篇幅所限，僅給出車(chē)體橫向加速度、輪軌橫向力及鋼軌橫向位移的極值分布對(duì)比，如圖9～圖11所示。

圖9 車(chē)體橫向加速度累計(jì)概率-響應(yīng)極值分布

圖10 鋼軌橫向位移累計(jì)概率-響應(yīng)極值分布

圖11 輪軌橫向力累計(jì)概率-響應(yīng)極值分布

由圖9～圖11可知，通過(guò)構(gòu)建不同的動(dòng)力計(jì)算模型，發(fā)現(xiàn)在不同的概率水平下，兩種激振源下此系統(tǒng)理論計(jì)算結(jié)果較吻合。此吻合是指此系統(tǒng)響應(yīng)的全概率吻合，該計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：

(1)此系統(tǒng)激振源與其振動(dòng)響應(yīng)之間存在概率轉(zhuǎn)換關(guān)系，例如軌道隨機(jī)不平順與構(gòu)架蛇形響應(yīng)存在的概率轉(zhuǎn)換關(guān)系，此關(guān)系可通過(guò)車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)[1]理論計(jì)算和統(tǒng)計(jì)分析獲得。

(2)將構(gòu)架蛇形波作為橫向激振源計(jì)算系統(tǒng)最大響應(yīng)是可行的，圖9～圖11的計(jì)算結(jié)果證明了這一點(diǎn)。關(guān)鍵是用于動(dòng)力計(jì)算的理論模型是否合理描述了該系統(tǒng)的物理、力學(xué)關(guān)系。

5 結(jié)論

(1)簡(jiǎn)述軌道不平順的時(shí)-空隨機(jī)特性，并給出了相應(yīng)的時(shí)-空隨機(jī)模擬方法。以往的研究多對(duì)線(xiàn)路的單一統(tǒng)計(jì)譜線(xiàn)進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算與分析，未考慮線(xiàn)路譜隨時(shí)間和空間的隨機(jī)波動(dòng)性。隨著鐵路大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)非確定性計(jì)算工作的不斷深入，應(yīng)該深入考察此隨機(jī)性，為時(shí)-空隨機(jī)激振下的車(chē)輛-軌道系統(tǒng)動(dòng)力演化特性分析奠定基礎(chǔ)。

(2)本文較多從理論層面探討軌道隨機(jī)不平順時(shí)-空隨機(jī)樣本的概率計(jì)算及反演方法。大量基礎(chǔ)檢測(cè)數(shù)據(jù)和資料積累、此系統(tǒng)基礎(chǔ)部件性能演化規(guī)律及完善的車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力模型等研究工作的展開(kāi)，是此方法應(yīng)用于工程實(shí)際的關(guān)鍵。

(3)不同計(jì)算理論的對(duì)比證實(shí)了將構(gòu)架蛇形波作為激振源具有合理性。實(shí)際上，若將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的基本思想拓展至車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)之中，即系統(tǒng)內(nèi)部各組成要素的動(dòng)力反應(yīng)不是獨(dú)立的，而是具有互為因果的反饋特性，便不難理解其合理性。若研究者掌握了與此激振源相符的動(dòng)力模型構(gòu)造原理及方法，便能獲得與實(shí)際吻合的計(jì)算結(jié)果。

(4)采用激振源時(shí)-空隨機(jī)分析方法，利用車(chē)輛-軌道動(dòng)力計(jì)算模型，可以計(jì)算出不同動(dòng)力指標(biāo)在不同概率水平下的響應(yīng)，為此系統(tǒng)可靠性計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。

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