體驗(yàn)數(shù)據(jù)隨機(jī)性，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念

斯瑤

【摘 要】在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念，幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。教師需要著眼解決問(wèn)題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)思想產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程。通過(guò)實(shí)驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)，體驗(yàn)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。以歸納推理的形式，分析數(shù)據(jù)，推斷整體，幫助學(xué)生感受數(shù)據(jù)的魅力，建立數(shù)據(jù)分析觀念，滲透統(tǒng)計(jì)思想。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；隨機(jī)性；數(shù)據(jù)分析觀念

隨著對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的探索與教學(xué)，我們意識(shí)到教學(xué)絕非停留在繪制統(tǒng)計(jì)圖、求平均數(shù)等知識(shí)技能的傳授上，數(shù)據(jù)分析觀念的建立，更符合學(xué)生發(fā)展的需求?！皵?shù)據(jù)分析觀念”成為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》所提出的十大核心概念之一，也是“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的核心。史寧中教授對(duì)“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵進(jìn)行了闡述，認(rèn)為“體驗(yàn)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性”是數(shù)據(jù)分析觀念的一部分，它有兩個(gè)層次的含義：一是對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)是不同的，二是只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中如何體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析觀念，如何讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性？本文將以人教版五年級(jí)上冊(cè)“擲一擲”一課為例，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劰P者的想法。

一、著眼解決問(wèn)題，體會(huì)收集數(shù)據(jù)的必要性

數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)需要基于學(xué)生感興趣的事物，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生了解要解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題往往需要經(jīng)歷調(diào)查、數(shù)據(jù)收集、分析的過(guò)程，并根據(jù)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息進(jìn)行推斷。創(chuàng)設(shè)解決問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)背景，能有效溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與具體問(wèn)題間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與探究活動(dòng)的積極性。因此在了解了擲兩枚骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)和可能是2～12這11種可能之后，創(chuàng)設(shè)了古代小商販擺賭局的情境。玩家擲一次付給商販10文錢，如果擲出的點(diǎn)數(shù)和是2，3，4，9，10，11，12這7個(gè)數(shù)，則商販付給玩家20文錢，反之則10文錢歸商販。點(diǎn)數(shù)和7∶4的分組設(shè)計(jì)區(qū)別于教材中6∶5的分組設(shè)計(jì)（2，3，4，10，11，12為一組，5，6，7，8，9為一組），其原因在下文中會(huì)談到。

學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前，已經(jīng)在“可能性”單元通過(guò)簡(jiǎn)單試驗(yàn)體會(huì)可能性是有大小的，并與數(shù)量的多少有關(guān)。表決統(tǒng)計(jì)也顯示，全班44人，有40位同學(xué)表示玩家贏的可能性大，理由是數(shù)量點(diǎn)數(shù)和多。3位同學(xué)表示玩家贏的可能性小，理由分別是：商販以營(yíng)利為目的，不會(huì)輸；每個(gè)點(diǎn)數(shù)和的組合不同，只有擲出1和1才能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和2。有1位同學(xué)表示可能性一樣大，綜合了兩方的想法。此時(shí)，即便是覺(jué)得玩家輸?shù)目赡苄源蟮?位同學(xué)也是出于一種感覺(jué)。當(dāng)即教師提出問(wèn)題：怎樣才能知道玩家究竟是贏的可能性大還是輸?shù)目赡苄源?。學(xué)生立即反應(yīng)，做實(shí)驗(yàn)，并不斷有學(xué)生補(bǔ)充，需要大量做實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果還需要進(jìn)行記錄統(tǒng)計(jì)以發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念，首先就要讓學(xué)生經(jīng)歷產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)思想的過(guò)程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)在解決問(wèn)題中的必要性。實(shí)驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在教師的引導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)生逐步構(gòu)建數(shù)據(jù)分析的過(guò)程，數(shù)據(jù)分析觀念也慢慢在學(xué)生腦中形成。

二、實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)，體驗(yàn)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性

對(duì)于同樣的事件，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)不同，而大量收集數(shù)據(jù)后有可能會(huì)形成某種規(guī)律。這就是數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。從部分推斷整體是統(tǒng)計(jì)的一個(gè)基本思想，既然是由部分來(lái)推斷，我們就不能保證推斷是準(zhǔn)確無(wú)誤的。這也是產(chǎn)生數(shù)據(jù)隨機(jī)性的原因之一。

在“擲一擲”一課的教學(xué)中，學(xué)生自主提出通過(guò)實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)探究玩家輸贏的可能性大小。隨即開(kāi)展了四人小組合作的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。教師提供了類似條形統(tǒng)計(jì)圖的表格，擲出的和是多少就在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)和上方涂一格，任意一列涂滿，游戲結(jié)束。

這里就要談到7∶4分組的設(shè)計(jì)意圖。兩枚骰子點(diǎn)數(shù)的組合方式共36種，6∶5的分組設(shè)計(jì)，點(diǎn)數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小分別是[1236]和[2436]。7∶4的分組設(shè)計(jì)，點(diǎn)數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小分別是[1636]和[2036]。細(xì)小的變化，卻讓實(shí)驗(yàn)結(jié)果變得更為有趣。全班共分成11個(gè)小組，下圖為3個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

由于兩組數(shù)出現(xiàn)的概率較接近，學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，兩組數(shù)擲出的次數(shù)也會(huì)相對(duì)較接近。即便如此，全班11個(gè)小組，每個(gè)小組最終擲的次數(shù)都在50次左右，其中10個(gè)小組都得到了玩家贏的可能性小的結(jié)論。通過(guò)觀察統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生都發(fā)現(xiàn)中間的點(diǎn)數(shù)和出現(xiàn)的次數(shù)多一些，兩邊的少一些。這里，也讓學(xué)生些許體會(huì)到統(tǒng)計(jì)與概率的魅力。但在反饋圖1和圖2后，學(xué)生也感受到兩組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的差異，初步體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。在幾次試教中，幾乎每個(gè)班都會(huì)出現(xiàn)有一組是玩家勝利的結(jié)果，如圖3。這就讓課堂變得更為有趣。學(xué)生的回答也非常精彩：我們小組的統(tǒng)計(jì)圖也呈現(xiàn)中間多兩邊少的形狀，但由于9出現(xiàn)的次數(shù)異常多，所以我們組得到的結(jié)論是A組出現(xiàn)次數(shù)少，玩家贏的可能性大。至此，學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性又得到了更深刻的體驗(yàn)。

由部分推斷整體，然而部分?jǐn)?shù)據(jù)存在隨機(jī)性，因而結(jié)論也會(huì)出現(xiàn)偏差。

三、歸納推理，感悟數(shù)據(jù)的規(guī)律性

統(tǒng)計(jì)是用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，其推理方式主要是歸納。而實(shí)際教學(xué)中，教師往往習(xí)慣于先給出定義。以“拋硬幣”為例，一般的教學(xué)步驟是：①面朝上的可能有哪些？（可能是正面朝上，也可能反面，基于概率角度的隨機(jī)性）②它們的可能性大小是多少？（幾乎每個(gè)五年級(jí)的孩子都知道正面或反面朝上的概率是二分之一）③學(xué)生或計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。這就類似于演繹推理的過(guò)程，先得出結(jié)論再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，而學(xué)生對(duì)于數(shù)據(jù)隨機(jī)性的體會(huì)是模糊而不深刻的，更談不上數(shù)據(jù)分析觀念的建立了。

在前文的論述中，已經(jīng)闡述了學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。而數(shù)據(jù)隨機(jī)性中，還包括了一點(diǎn)，只要有足夠的數(shù)據(jù)，就可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在這里筆者將它稱為數(shù)據(jù)的規(guī)律性。

學(xué)生在感知數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，小數(shù)據(jù)更具有偶然性后，開(kāi)始主動(dòng)尋求大數(shù)據(jù)，探究規(guī)律。有學(xué)生想到將全班的數(shù)據(jù)合在一起。課前安排了大組的觀察員，在小組合作實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)了大組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。課堂上將各個(gè)大組的數(shù)據(jù)通過(guò)excel統(tǒng)計(jì)形成統(tǒng)計(jì)圖，在輸入的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)規(guī)律：隨著數(shù)據(jù)的增加，統(tǒng)計(jì)圖“山”一樣的形狀越來(lái)越穩(wěn)定。從而幫助學(xué)生體會(huì)到收集大量的數(shù)據(jù)后就會(huì)形成某種規(guī)律，讓學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性也有了更完整的認(rèn)識(shí)。

已有經(jīng)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的沖突，讓學(xué)生不禁質(zhì)疑：明明占的點(diǎn)數(shù)和少，為什么出現(xiàn)的次數(shù)反而多呢？為什么會(huì)呈現(xiàn)中間多兩邊少的形態(tài)？進(jìn)而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的欲望，引起學(xué)生思考。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，會(huì)有學(xué)生感悟到每個(gè)點(diǎn)數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小不同，這與數(shù)的組成有關(guān)。

從實(shí)驗(yàn)到統(tǒng)計(jì)，從統(tǒng)計(jì)到數(shù)據(jù)分析，揭秘真相，這樣一個(gè)類似于“猜謎”的活動(dòng)，學(xué)生既體會(huì)到了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，又感受到數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息，大數(shù)據(jù)中還可能蘊(yùn)藏規(guī)律，幫助我們作出判斷。這實(shí)際就是一個(gè)歸納推理的過(guò)程。在小學(xué)階段，教材上有讓學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的過(guò)程，但大多都是規(guī)律、公式、定理的推導(dǎo)。像這樣通過(guò)自己創(chuàng)造的數(shù)據(jù)推理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，從部分?jǐn)?shù)據(jù)推斷整體結(jié)果的具有統(tǒng)計(jì)意義的推理，于學(xué)生而言是非常難得的。

四、理論實(shí)踐相結(jié)合，感受數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的魅力

在學(xué)生談到點(diǎn)數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小與數(shù)的組成有關(guān)后，筆者讓學(xué)生在表格中記錄所有點(diǎn)數(shù)和是2～12的算式，如圖4，再次觀察，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

通過(guò)觀察進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和5，6，7，8的可能為20種，所以出現(xiàn)的可能性大，剩余7個(gè)點(diǎn)數(shù)和出現(xiàn)的可能有16種，出現(xiàn)的可能性小。學(xué)生也體會(huì)到，可能性的大小不能由表面的數(shù)量決定，要找到真正影響可能性大小的因素。在這個(gè)游戲中影響可能性大小的因素是數(shù)的組合方式。

從數(shù)據(jù)分析到探究原因，從實(shí)踐操作到理論分析，是學(xué)生自己得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推動(dòng)著進(jìn)一步的思考，是主動(dòng)的探索與發(fā)現(xiàn)。

課堂最后，筆者將通過(guò)實(shí)踐得到的統(tǒng)計(jì)圖（圖5）和通過(guò)數(shù)的組成分析得到的表格（圖4）進(jìn)行對(duì)比，兩幅形似“山”一樣的圖片重合在了一起，讓筆者產(chǎn)生視覺(jué)的沖擊，同時(shí)也讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己的想法。一學(xué)生回答道：實(shí)踐與理論是一致的。學(xué)生都不禁感嘆，兩幅圖驚人的相似。

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，旨在幫助學(xué)生感悟任何不確定事件的背后一定有理可依，偶然中藏著某種必然。這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，它可以在一定程度上幫助我們分析生活中的不確定事件。這同樣也是統(tǒng)計(jì)的魅力所在，通過(guò)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可以幫助我們對(duì)實(shí)物作出判斷。就像我們常說(shuō)的，理論指導(dǎo)實(shí)踐，實(shí)踐檢驗(yàn)真理。

要讓學(xué)生建立起數(shù)據(jù)分析觀念，需要讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，親身經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)思想產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程。在體會(huì)數(shù)據(jù)分析的必要性后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)，感知可以通過(guò)部分推斷整體，即便這個(gè)“部分”存在一定的隨機(jī)性。以歸納推理的形式，展開(kāi)數(shù)據(jù)分析，對(duì)于幫助學(xué)生建立數(shù)據(jù)分析觀念，滲透統(tǒng)計(jì)思想，具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中，張丹，趙迪.“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學(xué)建議[J].課程·教材·教法，2008（6）：40-44.

（浙江省杭師大東城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 310000）