河川年徑流量時間序列預(yù)測數(shù)量概率量化研究

（河北省承德水文水資源勘測局，河北 承德 067000）

水資源合理高效的利用離不開水資源的有效配置，對于河川徑流量而言，其對水資源的高效配置、調(diào)度、防洪等都具有重要的參考意義，因此，做好河川徑流量的預(yù)測工作則可為水利工程提前準備，但由于河川徑流量具有非平穩(wěn)與非線性的特定，且其樣本量一般較少，所以預(yù)測難度較大。

近年來，河川年徑流量的預(yù)測工作越來越得到眾多學(xué)者的重視，如李建林［1］從中長期預(yù)測的角度出發(fā)，基于GM（1，2）-Markov模型對河流年徑流量進行了預(yù)測；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對來水量進行了預(yù)測，李寶玲［2］運用R/S灰色方法預(yù)測徑流量，柴燕麗［3］基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測了淮河流域的年徑流量，鄭世武［4］以改進灰色系統(tǒng)理論進行徑流量的預(yù)測工作，杜發(fā)興［5］將物元模型運用在了流域年徑流量預(yù)測中，雷曉云［6］以塔城地區(qū)烏拉斯臺河為例，以MATLAB工具箱的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對年徑流量進行了預(yù)測，周軼成［7］基于最小二乘支持向量機對馬營河中長期徑流進行了預(yù)測研究，陳曉虎［8］對日徑流預(yù)測方法進行了研究，張麗霞［9］基于時間序列分解模型進行了烏拉斯臺河年徑流量的預(yù)測，取得了較好的預(yù)測效果。時間序列方法只考慮時間變量，且時間樣本綜合了各種錯綜復(fù)雜因素的影響，因此在預(yù)測年徑流量方面具有較大優(yōu)勢，但是時間序列涉及模型的選擇，這會引起較大的誤差，基于此，該文引進概率分析以數(shù)據(jù)量為原則進行年徑流量的預(yù)測。

1 時間序列及不確定性

1.1 時間序列原理

時間序列是一種基于歷史時間數(shù)據(jù)的預(yù)測方法，其在數(shù)學(xué)預(yù)測領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，可以實現(xiàn)對未來未知數(shù)據(jù)的有效預(yù)測，實際上是一種基于歷史數(shù)據(jù)數(shù)理統(tǒng)計的一種預(yù)測方法，其顯著的優(yōu)勢在于可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)定量的預(yù)測，而不是定性的預(yù)測。

時間序列方法以歷史數(shù)據(jù)為預(yù)測的樣本庫，基于對歷史樣本庫數(shù)據(jù)的數(shù)理分析，可以找出歷史樣本庫中的樣本點與時刻之間的特定函數(shù)規(guī)律，這種函數(shù)規(guī)律可通過一定的映射函數(shù)表示出來，而其表示的方法便是預(yù)測手段，通過這種與時刻為自變量的預(yù)測函數(shù)的表示方法，便可通過現(xiàn)有的歷史數(shù)據(jù)去推斷未來時刻的數(shù)據(jù)，以此，便可完成未來時刻的目標的預(yù)測工作，如式（1）、式（2）。

其中，f（tn）是tn時刻的樣本值， f（t1），f（t2），f（t3）…f（tn）等眾多樣本值符合某種以時間為自變量的函數(shù)F（t），F(xiàn)（t）便是預(yù)測函數(shù)，基于該預(yù)測函數(shù)，便可通過映射關(guān)系對待預(yù)測數(shù)據(jù)f（tn+1）進行預(yù)測，而將tn+1時刻代入函數(shù)F（t）便可得出預(yù)測數(shù)據(jù)f（tn+1）的值，即為F（tn+1）。

這種時間序列預(yù)測方法的優(yōu)勢在于其只考慮時間相關(guān)性，可以將各種各樣的影響預(yù)測目標的因素全部歸一到時間因素里，這樣就可避免預(yù)測的復(fù)雜等問題，而年徑流量的預(yù)測影響因素較多，因此，時間序列方法在水利領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。

1.2 時間序列的分段函數(shù)與不確定性

時間序列作為一種只考慮時間自變量的預(yù)測方法，是一種簡單高效的預(yù)測方法，但其問題在于映射函數(shù)的選取，在給定一段時間序列數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，需要對其符合函數(shù)進行分析，其可以是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，但往往一段時間序列數(shù)據(jù)不可能全符合某一特定的函數(shù)模型，而函數(shù)模型在預(yù)測上具有至關(guān)重要的作用，其關(guān)系到預(yù)測的精確程度，因此預(yù)測函數(shù)模型的不確定性便是時間序列預(yù)測誤差的重要來源。

為了提高時間序列預(yù)測函數(shù)的準確性，可以對時間序列樣本值進行分段，即不同的時間序列段符合不同的預(yù)測函數(shù)，如在某個時間序列范圍內(nèi)，其符合單一次函數(shù)模型，在某個時間序列范圍內(nèi)，其符合二次函數(shù)模型，這種分段便可以極大提高時間序列預(yù)測函數(shù)的準確度，如式（3）。

在不同的時間序列區(qū)間，其符合不同的預(yù)測函數(shù)，在［t1，tn1］區(qū)間內(nèi)，其符合F1（t）函數(shù)，在［tn1+1，tn2］區(qū)間內(nèi)，其符合F2（t）函數(shù)，在［tn（n1-1）+1，tnn］區(qū)間內(nèi)，其符合Fn（t）函數(shù)，而F（t）函數(shù)便由不同區(qū)間的分段函數(shù)模型共同構(gòu)成。

而對于未來時刻的預(yù)測目標，若采用分段的時間序列預(yù)測函數(shù)模型，已經(jīng)確定好不同分段的不同函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，未來時刻預(yù)測目標應(yīng)該選擇哪一分段的模型，會具有更好的預(yù)測效果，是不確定的，而這種對未來預(yù)測時刻預(yù)測目標值的函數(shù)選用的不確定性便構(gòu)成了函數(shù)不確定性的又一重要來源。

2 時間序列預(yù)測的數(shù)量概率量化方法

分段預(yù)測函數(shù)是提高時間序列預(yù)測精度的一個重要方法，而未來預(yù)測時刻預(yù)測目標值的函數(shù)選用的不確定性是制約預(yù)測精度的一個重要因素，為了消除這個因素，必須盡可能高的多考慮不同分段的預(yù)測函數(shù)，這就存在一個問題，預(yù)測目標符合歷史時間序列分段函數(shù)的概率如何，概率值具體為多少，因此，這就需要從概率的角度去揭示某一分段預(yù)測函數(shù)成為預(yù)測目標的所在函數(shù)的概率大小。

鑒于此，提出一種數(shù)量概率量化方法，即基于符合某分段函數(shù)數(shù)據(jù)點的歷史樣本數(shù)據(jù)數(shù)量的多少，去量化對未來預(yù)測目標的概率影響，該方法的原則為：某分段函數(shù)的符合樣本數(shù)多者對預(yù)測目標的影響就較大，所以其概率的量化值就較大，反之，某分段函數(shù)的符合樣本數(shù)量少的對預(yù)測目標的影響就較小，所以其概率的量化值就較小。

將眾多樣本數(shù)據(jù)分成數(shù)段，某段的樣本容量不盡相同，某些分段數(shù)據(jù)數(shù)量較多，而有些數(shù)量數(shù)據(jù)數(shù)量較少，但這些分段所對應(yīng)的映射函數(shù)不同，因此，某分段對應(yīng)的映射函數(shù)對最終的預(yù)測目標影響的程度便可以用數(shù)量概率量化的方法來呈現(xiàn)，樣本數(shù)量多的分段應(yīng)具有較大的比重，而樣本數(shù)量小的分段，比重應(yīng)較小。其數(shù)學(xué)模型如式（4）。

其中，nn+1為需要預(yù)測的未來時刻，而f（nn+1）為未來時刻的期望預(yù)測值，將nn+1時刻分別帶入不同的分段函數(shù)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n中，便可得到該時刻在不同分段函數(shù)模型中的分段函數(shù)值，而這個歷史數(shù)據(jù)分段函數(shù)值對未來時刻的的影響可以概率來表示，即將其分別乘以概率值P1，P2，…，Pn來描述這種影響，依據(jù)數(shù)量概率量化方法，不同分段的概率P值如式（5）。

式（5）是根據(jù)每個分段的具體數(shù)量進行的概率量化，即分段的數(shù)據(jù)數(shù)量除以總的數(shù)據(jù)數(shù)量即為該分段的概率值，實際上是一種古典概型，是數(shù)量概率量化方法的體現(xiàn)，式（4）和式（5）的結(jié)合，便可完成對未來時刻未知目標數(shù)據(jù)的預(yù)測。這種預(yù)測充分考慮了全部時間序列，而且量化了每個分段對未來時刻的影響程度，以此可用來進行水利工程徑流量方面眾多數(shù)據(jù)的預(yù)測。

3 計算案例

3.1 時間序列數(shù)據(jù)

作為新疆地區(qū)較大河流之一的開都河，是一條河長560km的內(nèi)陸河，貫穿博湖、焉耆、和碩、和靜等縣，其大部在蒙古土爾扈特部，在孔雀河的上游。包括巴音布魯克草原，其流域面積為兩萬多平方千米，且落差較大，總落差1750m，多年的平均徑流量為33.62億m3。

表1 開都河年徑流量數(shù)據(jù)

現(xiàn)以2006～2015年小樣本的徑流數(shù)據(jù)作為數(shù)量概率量化的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，以此來分析模型的準確性，并進行校驗與預(yù)測。其數(shù)據(jù)如表1與圖1。

圖1 開都河徑流量數(shù)據(jù)

現(xiàn)基于該數(shù)據(jù)案例對其未來3年的徑流量進行預(yù)測，這需要進行時間序列的分段、模型的選定、校驗及預(yù)測。

3.2 時間序列分段與函數(shù)選定

根據(jù)圖1的趨勢，數(shù)據(jù)波動較大，若不進行分段，則會帶來較大的誤差，因此，將圖1的時間序列分成3段：

（1）第1段，2006～2009年段，時間序列大致呈現(xiàn)線性趨勢，選定線性模型；

（2）第2段，2009～2012年段，時間序列大致呈開口方向向下的二次拋物線趨勢，選二次模型；

（3）第3段，2012～2015年段，時間序列大致呈開口方向向上的二次拋物線趨勢，選二次模型；以最小二乘法可以擬合出一次函數(shù)與二次函數(shù)的模型系數(shù)，如式（6）～式（8）：

繪出式（6）～式（8）的擬合線，根據(jù)擬合線與數(shù)據(jù)的相符程度可以判斷模型選用效果，如圖2。

圖2 開都河3段數(shù)據(jù)模型擬合線

由圖2可知，數(shù)據(jù)點基本都落在擬合線上，這說明式（6）～式（8）的模型選用的正確性。

3.3 數(shù)量概率量化與對比

依據(jù)（5）式的基本原理，可以依據(jù)該數(shù)量概率量化方法，求出3段的具體量化概率值，如式（9）。

結(jié)合式（6）～式（8），將其帶入式（4），便可以基于數(shù)量概率量化方法對數(shù)據(jù)進行預(yù)測，而在預(yù)測前，先進行內(nèi)部對比預(yù)測，即由兩段數(shù)據(jù)，推演另一段的數(shù)據(jù)。

不采用數(shù)量概率量化的方法為：直接由鄰近的數(shù)據(jù)推演另一段的數(shù)據(jù)，即鄰近的兩段數(shù)據(jù)之間相互推演；而采取了數(shù)量概率量化的方法為：基于式（9）與式（4）的相互結(jié)合，由兩段數(shù)據(jù)對另一段段數(shù)據(jù)進行推演預(yù)測，考慮和不考慮數(shù)量概率量化兩種方法的預(yù)測如圖3。

圖3 考慮和不考慮數(shù)量概率量化方法的擬合對比

由圖3可知，不考慮數(shù)量概率量化方法所得的預(yù)測擬合線與真實數(shù)據(jù)偏離嚴重，而考慮數(shù)量概率方法所得的數(shù)據(jù)預(yù)測擬合線遠遠優(yōu)于不考慮數(shù)量概率量化方法的擬合結(jié)果，這說明了數(shù)量概率量化方法的優(yōu)越性，即其能以總覽全局的方式進行預(yù)測，而可以擯棄局部的誤差。

3.4 數(shù)量概率量化方法的未來預(yù)測

數(shù)量概率量化方法在未來時刻徑流量數(shù)據(jù)的預(yù)測上具有顯著意義，現(xiàn)通過其對未來3年的徑流量數(shù)據(jù)進行預(yù)測，基于數(shù)量概率量化的預(yù)測公式為：

將式（6）～式（8）的數(shù)據(jù)分別代入式（10），可得2018，2019，2020年的徑流量數(shù)據(jù)分別為42.28億，45.76億，54.39億m3。

同時，為了提供更多的參考數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出未采用數(shù)量概率量化方法，所得的未來3年的徑流量數(shù)據(jù)，分別為50.02億，61.23億，77.37億m3，對比可發(fā)現(xiàn)該數(shù)據(jù)明顯高于考慮數(shù)量概率量化方法的數(shù)據(jù)。

所得的未來3年的徑流量數(shù)據(jù)可為該水庫管理者進行參考，知悉未來徑流量的大致數(shù)據(jù)，可以提早對引水工作做準備。

4 結(jié)語

（1）在時間序列的基礎(chǔ)上，提出一種數(shù)量概率量化方法，即基于符合某分段函數(shù)數(shù)據(jù)點的歷史樣本數(shù)據(jù)數(shù)量的多少，去量化對未來預(yù)測目標的概率影響，分段函數(shù)的符合樣本數(shù)多者對預(yù)測目標的影響就較大，所以其概率的量化值就較大，反之亦反。并與不考慮該方法的預(yù)測結(jié)果進行了對比，驗證了該方法在徑流量預(yù)測上的優(yōu)越性。

（2）基于數(shù)量概率量化方法，對開都河未來3年的徑流量進行了預(yù)測，可得2018，2019，2020年的徑流量數(shù)據(jù)分別為42.28億，45.76億，54.39億m3。

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