一級倒立擺的μ分析和μ綜合研究

張義辰

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 200093)

0 引 言

單級倒立擺是倒立擺系統(tǒng)中形式最簡單的一種模型，具有非線性性、不穩(wěn)定性等特性，常被作為研究非線性控制、魯棒控制、最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制等問題的經(jīng)典模型。魯棒控制問題作為先進(jìn)控制問題的典型代表，其中的H∞控制理論、H2控制理論、滑?？刂评碚摰榷际墙鉀Q這類問題的經(jīng)典理論，近年來成為控制領(lǐng)域研究的熱點。

關(guān)于控制算法保守性問題的分析與處理，學(xué)術(shù)界做了相當(dāng)多的研究。李煒等[1]在新模型中引入時延下界，并且在證明過程中略去了模型轉(zhuǎn)換和交叉項放大等環(huán)境，引入了適當(dāng)?shù)淖杂蓹?quán)矩陣，解決了魯棒控制結(jié)果的保守性，并與傳統(tǒng)的LMIs算法相比較，揭示了傳統(tǒng)方法的保守性；馬靜等[2-3]重點從原理分析與公式推導(dǎo)方面說明了由于尋求公共Lyapunov矩陣而帶來的魯棒控制的保守性，并分別基于積分滑?？刂坪投嗝骟w不確定性區(qū)間震蕩控制方法改進(jìn)了魯棒H2/H∞控制的保守性；楊忠[4]從模糊時滯系統(tǒng)出發(fā)，重點研究了如何在穩(wěn)定條件下降低保守性的問題，提出了保成本控制條件、針對時變時滯模糊系統(tǒng)的保守性減小方法和區(qū)間變時滯模糊系統(tǒng)H∞控制的保守性減小方法；林慶強[5]則研究了不確定線性時滯系統(tǒng)H∞控制的保守性減小修正方法；PFIFERH等[6]則使用積分二次型約束進(jìn)行了線性時變系統(tǒng)低保守性魯棒性能分析，從實驗結(jié)果上證實了保守性的降低。這些方法的共同之處在于都是通過一種新的方法或理論來規(guī)避原方法的保守性，力求通過其他算法的優(yōu)勢來彌補這一劣勢，但是都沒有真正從傳統(tǒng)算法本身來修正該算法，降低保守性。然而，從老方法入手解決保守性問題，使得修正方法的可操作性明顯增強，省去了新理論的理解和復(fù)雜公式的推導(dǎo)，降低了難度，提高了效率。因此，研究控制方法本身的保守性修正問題很有必要。

本文將提出應(yīng)用結(jié)構(gòu)奇異值的理論來解決H∞控制的保守性問題，即對一級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行μ分析和μ綜合(對文獻(xiàn)[7-8]總結(jié)出的倒立擺模型作適當(dāng)處理)。

1 系統(tǒng)描述

一級倒立擺系統(tǒng)的示意圖如圖1所示。

圖1 一級倒立擺系統(tǒng)

該系統(tǒng)的的輸入信號u包含倒立擺期望角位移和臺車期望水平位移兩部分；干擾w主要包含摩擦、振動、沖擊等；輸出信號y包含倒立擺的實際角位移、臺車的水平實際位移；驅(qū)動元件主要是臺車的驅(qū)動電機；力位轉(zhuǎn)換器主要負(fù)責(zé)將輸入的位移信號轉(zhuǎn)換成力或者力矩信號；反饋控制器為負(fù)反饋控制器，由具體的控制算法求得。整個系統(tǒng)實際為軌跡跟蹤系統(tǒng)，跟蹤性是它的重要性能指標(biāo)。

簡化模型可以寫成如下的形式：

(1)

(2)

u=u(t),w=w(t)

(3)

時變系數(shù)矩陣A和B主要受極點摩擦系數(shù)c和倒立擺擺桿質(zhì)心位置l的影響，這兩個不確定參數(shù)的攝動是有界的、隨機性的，按照不確定參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式可表達(dá)為：

c=c0+kcd,kc=cmax-cmin

(4)

l=l0+kld,kl=lmax-lmin

(5)

式(4～5)中：c—極點摩擦系數(shù)；c0—極點摩擦系數(shù)基準(zhǔn)值；l—擺桿質(zhì)心位置，m；l0—擺桿質(zhì)心位置基準(zhǔn)值，m；kc，kl—權(quán)重系數(shù),kc、kl∈R;δ—不確定函數(shù)，δ∈[-1,1]。

為了進(jìn)一步簡化模型，降低研究的復(fù)雜程度，特將參數(shù)l確定為基準(zhǔn)值l0，參數(shù)c不變，那么原模型就變成了只含有一個攝動參數(shù)c的系統(tǒng)模型，矩陣A的變化和參數(shù)l無關(guān)，而矩陣B1和B2變?yōu)槌?shù)矩陣，具體的形式如下：

(6)

(7)

式中：m—擺桿質(zhì)量，kg；M—臺車質(zhì)量，kg；g—重力加速度，取9.8 m/s2；Ra—電樞電阻，Ω；KT—電機力矩系數(shù)，Nm/A；KE—反向電勢系數(shù)，Vs/rad；r—臺車驅(qū)動輪半徑，m；Kg—齒輪比；J—轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2。

人為定義不確定參數(shù)c的范圍為[-0.6,0],基準(zhǔn)值為-0.3,將此基準(zhǔn)值代入式(6)中，并結(jié)合文獻(xiàn)[11]第4部分的已知參數(shù)，矩陣A的標(biāo)稱矩陣A0、干擾輸入矩陣B1、輸入矩陣B2的具體形式為：

進(jìn)一步可得到系統(tǒng)的標(biāo)稱形式為：

(8)

2 無擾狀態(tài)下的標(biāo)準(zhǔn)H∞控制

H∞控制是通過控制系統(tǒng)在最壞情況下的最大幅值來增強不確定系統(tǒng)魯棒性的方法，這種方法的性能指標(biāo)是不確定系統(tǒng)的最大奇異值，即系統(tǒng)的H∞范數(shù)。實際應(yīng)用表明，幾乎所有的H∞控制問題都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題[9]，并可遵照下述結(jié)構(gòu)圖求解，模型如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)的魯棒分析基本模型

標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題如圖2(a)所示。圖2(a)中的G和K為已知的控制系統(tǒng)和待求的控制器；w,u,z,y分別代表有限維的外部輸入、控制輸入、被調(diào)輸出和測量輸出。標(biāo)準(zhǔn)H∞問題就是要尋找一個控制器K，使得閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，并且讓被調(diào)輸出z和外部輸入w間的傳遞函數(shù)Tzw的H∞范數(shù)取得最小值，總的來說就是求解問題，即：

(9)

求解這一問題，具體可以通過求解代數(shù)黎卡提方程或者求解線性矩陣不等式組來完成。求解標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題，從另一個角度來考慮，主要是運用了小增益定理，即保證：

‖G(jω)K(jω)‖∞<1

(10)

本例中采用LMI方法求解這一問題，無擾狀態(tài)下控制器的具體求解過程可參見文獻(xiàn)[10],這里給出求解結(jié)果：

K0=[539.939 7,126.341 2,143.245 1,61.453 7]

(11)

需要指出的是，小增益定理(10)是使系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性和魯棒特性的最低條件，這一條件實際上可以等效地表示成：

(12)

即系統(tǒng)的最大奇異值不超過1，這就使得算出的標(biāo)準(zhǔn)H∞控制器不一定是最優(yōu)控制器，從而使結(jié)果產(chǎn)生一定的保守性，這種保守性會讓優(yōu)化后的系統(tǒng)不能真正達(dá)到性能指標(biāo)的最優(yōu)值，影響最終的控制效果。因此就需要一種方法來直觀地描述這種保守性，同時需要另一種方法來降低或者消除這種保守性。

3 一級倒立擺μ分析

3.1 μ分析方法

一級倒立擺的μ分析是以系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值理論為基礎(chǔ)提出的，結(jié)構(gòu)奇異值衡量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不確定性大小的一種值。確切地說，它是對使反饋系統(tǒng)不穩(wěn)定的最小結(jié)構(gòu)不確定性的一種量化處理，也是反饋系統(tǒng)本身穩(wěn)定裕度的倒數(shù)。對于具有如圖2(b)所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)奇異值μΔ[M(s)]的形式為：

(13)

式中：Δ—快對角結(jié)構(gòu)不確定性。

與系統(tǒng)的最大奇異值σmax(M)相比，結(jié)構(gòu)奇異值μΔ(M)介于譜半徑ρ(M)和σmax(M)之間，即：

ρ(M)≤μΔ(M)≤σmax(M)

(14)

用結(jié)構(gòu)奇異值μ來分析系統(tǒng)魯棒性時，常常將系統(tǒng)的各個結(jié)構(gòu)性的不確定量匯總在一起，形式如同圖2(b)中的不確定性Δ，是一個塊對角結(jié)構(gòu)。其中，M通常為已知系統(tǒng)G和已求控制器K的線性分式變換，即：

(15)

式中：M，M11，M12，M21，M22—廣義系統(tǒng)及其子塊；G—已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；K—反饋控制器；Fl(·,·)—下線性分式變換。

該式實際反映了系統(tǒng)本身的魯棒穩(wěn)定性，而系統(tǒng)M與不確定性Δ之間的線性分式變換又實際反映了系統(tǒng)的魯棒性能大小，是魯棒穩(wěn)定性與魯棒特性的統(tǒng)一：

Fu(M,Δ)=M22+M21Δ(I-M11Δ)-1M12

(16)

式中：Fu(·,·)—上線性分式變換；Δ—不確定塊。

此時判斷已知系統(tǒng)是否滿足小增益定理，只需保證：

supμΔ(M)≤1

(17)

該條件要比單純的使用‖G(jω)K(jω)‖∞<1，即系統(tǒng)的最大奇異值σmax≤1要嚴(yán)密的多，故而彌補了一般方法保守性的缺點。

對不確定系統(tǒng)進(jìn)行μ分析，通常是結(jié)合系統(tǒng)的具體形式，繪制出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值μ隨頻率ω變化的曲線，該曲線能直觀地反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不確定性因素的變化范圍，變化趨勢、平均變化水平等信息，對于判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定、分析系統(tǒng)魯棒特性、評價控制方法優(yōu)劣性很有幫助。

3.2 一級倒立擺的μ分析

鑒于μ分析方法在評價控制方法優(yōu)劣性方面的優(yōu)勢，本例嘗試采用該方法來分析倒立擺系統(tǒng)，以便確認(rèn)H∞控制的保守性。本研究先利用Matlab中的frd函數(shù)(頻響函數(shù))將系統(tǒng)改寫成頻響函數(shù)的形式；再使用函數(shù)mussv(計算結(jié)構(gòu)奇異值)計算系統(tǒng)在不同頻率值下的μ值的上界和下界，然后提取上界值，繪制上界值隨頻率ω的變化曲線，即μ分析曲線；最后計算系統(tǒng)的H∞范數(shù)，將其作為常函數(shù)，和μ分析曲線畫在同一坐標(biāo)系內(nèi)。

繪制結(jié)果如圖3所示。

圖3 修正前后系統(tǒng)的μ分析圖帶“□”標(biāo)記的實線—修正后系統(tǒng)的最大奇異值σ0max；“□”標(biāo)記—修正后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值μ0；帶“○”標(biāo)記的實線—修正后系統(tǒng)的最大奇異值σ1max；“○”標(biāo)記—修正后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值μ1

由圖3可以看出：經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)H∞控制方法優(yōu)化后的系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)奇異值的峰值和最大奇異值直接存在一定的間距，這表明實際求出的控制器K0并不是問題真正的最優(yōu)解，結(jié)果存在保守性。

4 不確定系統(tǒng)的μ綜合問題

文獻(xiàn)[9]表明：修正原算法以降低或消除保守性這一問題可以轉(zhuǎn)化為不確定系統(tǒng)的綜合問題。

D-K迭代法是解決系統(tǒng)綜合問題的一種有效方法，它的主要思路是運用矩陣對角放縮的方法來計算的上界，同時得到滿足這一上界的最優(yōu)控制器。對于一個滿足式(7)的廣義系統(tǒng)M，首先固定一標(biāo)度矩陣D,求解標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題[11]：

(18)

求取最優(yōu)控制器K，再固定控制器K，求解關(guān)于D的凸優(yōu)化問題：

(19)

獲得新的標(biāo)度矩陣Dk再以此為起點進(jìn)行迭代計算，直至計算前后的兩個標(biāo)度矩陣差距足夠小，便可求出修正的最優(yōu)控制器Kopt。在初次求解時，初始的標(biāo)度矩陣D0可確定為單位矩陣I，求解過程中，需要在每一步迭代計算完畢后對修正系統(tǒng)進(jìn)行分析，檢查結(jié)構(gòu)奇異值是否滿足公式(17)，若條件滿足則繼續(xù)迭代，若條件不滿足，則表明原系統(tǒng)無解。

在Matlab中應(yīng)用D-K迭代算法設(shè)計控制器，主要是LMI工具箱和最優(yōu)化函數(shù)fmincon交替使用，具體步驟如下[12]：(1)設(shè)D0=I,使用LMI工具配合最優(yōu)解函數(shù)mincx求解標(biāo)準(zhǔn)H∞問題，求出最優(yōu)解K0，并使用mussv函數(shù)計算優(yōu)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值μ0；(2)將K0固定，標(biāo)度矩陣Dk定為未知量，使用fmincon函數(shù)計算最優(yōu)解Dopt；(3)檢驗‖Dopt-Dk‖是否小于給定值，比如1e-7,若條件滿足則終止迭代，若不滿足則返回步驟(1)重新計算。

值得注意的是，雖然使用該方法求出的最優(yōu)解K并非全局最優(yōu)解，但它對控制器本身的修正效果以充分的降低了保守性?；谏鲜龇椒ǎ瑢Ρ纠械目刂破鱇0進(jìn)行μ綜合修正，經(jīng)過一次迭代，最終求出修正之后的控制器可行解矩陣：

Kopt=[466.47,93.97,117.96,52.30]

5 驗證分析

修正控制器的驗證主要分3個方面：(1)通過μ分析檢驗標(biāo)準(zhǔn)H∞控制解的保守性是否得到了降低或者消除，評判標(biāo)準(zhǔn)主要是看修正后優(yōu)化系統(tǒng)的μ曲線的峰值與最大奇異值是否重合或者距離在允許范圍內(nèi)；(2)觀察控制器修正前后，優(yōu)化后的倒立擺系統(tǒng)的控制性能有無變化，這主要從擺的鎮(zhèn)定性和擺連接體的位移跟蹤特性兩方面檢驗，若兩種特性無明顯變化，則說明修正方法對系統(tǒng)的控制性能無較大影響；(3)比較控制器修正前后，倒立擺系統(tǒng)的輸出信號的評價指標(biāo)有無變化，若指標(biāo)值變化不大或比修正前小，則說明修正后的控制器對系統(tǒng)控制無影響或有所改善。

5.1 有效性驗證

觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)：修正前系統(tǒng)的最大奇異值和結(jié)構(gòu)奇異值相差0.010 33，修正后這兩值相差0.003 81。以上結(jié)果表明：修正后的控制器，其保守性有明顯的降低，證明修正方法有效。

5.2 仿真輸出結(jié)果驗證

本研究利用Matlab/Simulink參照式(1)搭建仿真模型，使用與有關(guān)文獻(xiàn)中相同的輸入信號進(jìn)行仿真，仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 仿真系統(tǒng)和仿真結(jié)果實線—輸入信號；點劃線—修正前系統(tǒng)的控制效果；虛線—修正后系統(tǒng)的控制效果

觀察圖4可以發(fā)現(xiàn)：修正后，擺的鎮(zhèn)定效果和擺連接件的位移調(diào)節(jié)效果略好于修正前，說明了修正后的方法保守性有了改善；這一結(jié)果在如表1所示的仿真實驗數(shù)據(jù)上也能得到體現(xiàn)。

對仿真原始數(shù)據(jù)進(jìn)行抽樣后得到的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 優(yōu)化前后的仿真實驗數(shù)據(jù)對比

由表1可以看出：優(yōu)化后的擺角位移比優(yōu)化前更接近0，擺的鎮(zhèn)定效果略有改善，進(jìn)一步從仿真結(jié)果說明了原方法優(yōu)化后保守性的改善。

計算文獻(xiàn)[7]第5部分提出的擺的鎮(zhèn)定和臺車位置調(diào)節(jié)兩個評價指標(biāo)，當(dāng)使用傳統(tǒng)方法的控制器K0優(yōu)化系統(tǒng)時，擺的鎮(zhèn)定評價值V11=0.418,臺車位置調(diào)節(jié)的評價值V12=2.205 6;使用綜合方法的控制器Kopt優(yōu)化系統(tǒng)時，擺的鎮(zhèn)定評價值V21=0.393 1,臺車位置調(diào)節(jié)的評價值V22=1.971 8。顯然，控制器修正后的輸出評價值略好于修正前，說明了新方法在降低保守性的同時對系統(tǒng)的輸出指標(biāo)略有改善。

5.3 不同H∞算法的μ特性比較

本文研究的是H∞控制的最優(yōu)算法，對該最優(yōu)算法進(jìn)行μ綜合保守性分析，還有一個重要的步驟就是將它們與不同干擾抑制水平γ的次優(yōu)H∞控制算法作比較，重點觀察它們在μ曲線上的變化。為此，分別取γ=3、2、1、0.7設(shè)計倒立擺的H∞次優(yōu)控制器，連入原始系統(tǒng)進(jìn)行4次μ分析，繪制4條μ曲線，與μ綜合算法優(yōu)化前后的兩個最優(yōu)控制系統(tǒng)的μ曲線作比較。不同H∞算法的μ特性如圖5所示。

圖5 不同H∞算法的μ特性

觀察圖5(a)可以發(fā)現(xiàn)：隨著γ值的減小，系統(tǒng)在不同頻率下的μ值也相應(yīng)下降，其中μ值的峰值下降最為明顯；次優(yōu)算法與最優(yōu)算法間更清晰比較可由圖5(b)看出：經(jīng)過優(yōu)化后的最優(yōu)系統(tǒng)其μ值最小，與優(yōu)化前的最優(yōu)控制系統(tǒng)相比，對不確定因素的抑制水平更高，進(jìn)一步揭示了優(yōu)化前最優(yōu)算法的保守性，證明了μ綜合方法對降低這一保守性所發(fā)揮的作用，該優(yōu)化方法合理有效。

6 結(jié)束語

本文將μ分析和μ綜合理論應(yīng)用在倒立擺的H∞控制問題中，從結(jié)構(gòu)奇異值的角度來考慮這一問題，有效地修正了單純利用小增益定理來設(shè)計控制器的缺陷，彌補了傳統(tǒng)H∞最優(yōu)控制方法的不足，降低了保守性，改善了系統(tǒng)的控制性能和輸出質(zhì)量。

同時，在運用D-K迭代法求解μ綜合問題時，本文使用最優(yōu)化函數(shù)fmincon來求解形如式(19)的凸優(yōu)化問題，結(jié)果表明，該方法新穎、效果良好。

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