基于組合積分系統(tǒng)的濾波

李娜，陳亮，任正云

（東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海201620）

在信號采集過程中，由于外界干擾常常會在采集的數(shù)據(jù)中引入噪聲，有時甚至?xí)剐盘柊l(fā)生失真，因此對于采集的大量數(shù)據(jù)往往需要進行濾波，去除干擾[1]。數(shù)字濾波器在語音信號處理、信號頻譜分析、信號去噪及圖像信號等各種信號處理中都有廣泛的應(yīng)用，無線脈沖響應(yīng)（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器與有限脈沖響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)FR）濾波器[2]相比，具有相位結(jié)構(gòu)簡單、運算量小、經(jīng)濟高效的特點，并且可以用較少的階數(shù)獲得很高的選擇性。

組合積分系統(tǒng)作為新型控制系統(tǒng)，廣泛存在于工業(yè)生產(chǎn)中，組合積分環(huán)節(jié)本質(zhì)上是一個均值濾波器，具有一定抑制噪聲的能力。

本文在IIR數(shù)字濾波器算法基礎(chǔ)上，設(shè)計基于組合積分系統(tǒng)的濾波算法，仿真實例表明：應(yīng)用組合積分系統(tǒng)進行濾波，濾波參數(shù)固定、隨機可調(diào)，與常用濾波方法相比具有明顯優(yōu)點。

1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計原理與方法

IIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)的標準表達式（1）及對應(yīng)的差分方程（2）為：

設(shè)計遞歸濾波器就是確定濾波器的系數(shù)ak、bk，使它滿足濾波器的技術(shù)指標。

IIR濾波器的實現(xiàn)有多種結(jié)構(gòu)，直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型及格型結(jié)構(gòu)等。其中級聯(lián)型較為容易實現(xiàn)且易于實現(xiàn)高階濾波器，且任何高階IIR濾波器都能表示成一階和二階的級聯(lián)。

設(shè)計思路：根據(jù)任務(wù)確定數(shù)字濾波器的技術(shù)要求指標后，設(shè)計出與此性能相似的模擬濾波器，求出傳遞函數(shù)Ha（s），然后將Ha（s）按一定的方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。主要實現(xiàn)方法包括沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。由于沖激響應(yīng)不變法容易產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，故多采用雙線性變換法。

1.1 IIR數(shù)字濾波器的MATLAB實現(xiàn)

MATLAB信號處理工具箱實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計，流程圖如圖1所示。

文中采用巴特沃斯濾波器設(shè)計，MATLAB提供了估算濾波器階數(shù)的函數(shù)，格式：[n，wn]=buttord（wp，ws，ap，as，‘s’），給定濾波器性能參數(shù)情況下，選擇濾波器的最小階數(shù)n。其中wp是通帶頻率，ws是阻帶頻率，ap是通帶最大衰減系數(shù)，as是阻帶最小衰減系數(shù)，“s”代表模擬濾波器。數(shù)字濾波器階數(shù)估計時，wp和ws是歸一化值，只能在[0，1]上取值。IIR數(shù)字濾波器的完全設(shè)計函數(shù)有Butter、cheby1、cheby2、ellip。這些工具函數(shù)既可用于設(shè)計模擬濾波器，也可適用于設(shè)計數(shù)字濾波器

圖1 MATLAB實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計流程圖Fig.1 MATLAB realization of IIR digital filter design flow

2 組合積分系統(tǒng)

在過程控制領(lǐng)域，存在很多帶有時滯的積分系統(tǒng)，而一些帶有大慣性環(huán)節(jié)的一階過程也可以看成是積分過程[4-5]。在現(xiàn)代流程工業(yè)中，有許多過程是由多個不同的積分時滯項組成，但目前尚未引起人們的關(guān)注。蒸餾塔的底層過程具有傳遞函數(shù)k/s（1-2e-τ1s）e-τ2s，其是一個非最小相位時滯過程[6]。組合積分系統(tǒng)是一類新型的積分時滯過程系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由兩個或多個積分時滯對象組成并可表示為如下形式：

Gi（s）是不含積分環(huán)節(jié)的穩(wěn)定多項式，式k/s（1-e-τs）是包含在組合積分系統(tǒng)中的穩(wěn)定的系統(tǒng)，時間延遲τ1i，τ2i必須滿足等式：τ2i=τ2(i-1)+τ1(i-1)，1＜i＜n保證了過程的連續(xù)性。

2.1 組合積分環(huán)節(jié)本質(zhì)

假設(shè)指數(shù)有界信號f（t），其變換為F（s），將其乘以組合積分環(huán)節(jié)g（s）:

得傳輸函數(shù)：

對式（4）求反變換可得：

式（6）右部可解釋為對信號f（t）在長度為τ時間段[t-τ，t]上進行積分，對所得積分除以時間長度進行τ平均，相當于對信號f（t）在長度為τ時間段[t-τ，t]上進行的均值濾波算法。故式（4）所定義的組合積分環(huán)節(jié)等同于一個均值濾波器，與均值濾波器具有相同作用。均值濾波器是低通濾波器的一種特例，由此推出此組合積分環(huán)節(jié)為一個均值濾波器。

低通濾波器是數(shù)字濾波器的基礎(chǔ)，高通及帶通濾波器都可由低通濾波器轉(zhuǎn)換實現(xiàn)。在設(shè)計基于組合積分系統(tǒng)濾波時可人為改變延遲時間的大小，便可控制參與均值濾波的項數(shù)。濾波器項數(shù)越大，低通濾波效果越好，濾去的高頻分量越多。

2.2 組合積分環(huán)節(jié)方框圖分析

用于濾波的組合積分系統(tǒng)濾波方框圖如圖2所示。

圖2 組合積分系統(tǒng)濾波框圖Fig.2 Block diagram of combined integral control system

傳遞函數(shù)為：

參數(shù)τ1控制參與均值濾波的項數(shù)，參數(shù)τ1，τ2共同控制高通濾波，參數(shù)K控制最后輸出濾波與實際濾波的誤差。

低通濾波環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：

如式（6）推導(dǎo)知，此環(huán)節(jié)實現(xiàn)信號低通濾波的效果，時滯常數(shù)τ1可控，決定參與均值濾波的項數(shù)。τ1越大，低通濾波效果越好，濾去的高頻分量越多，濾波后的信號越平滑。

高通傳遞函數(shù)為：

原信號通過延時環(huán)節(jié)不會改變原信號的頻率，改變原信號的相位。而信號通過環(huán)節(jié)后只剩低頻信號，即用原信號減去低頻信號等同于高頻濾波作用，故此環(huán)節(jié)實現(xiàn)的是高通濾波的作用。

最終濾波環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)g′（s）為：

g′（s）作用等同于g1（s）將信號的頻譜放大K倍，信號通過濾波環(huán)節(jié)之后會有衰減，放大倍，可減小信號與濾波信號的誤差。高頻濾波后信號通過此低頻濾波環(huán)節(jié)，濾出高頻環(huán)節(jié)后信號中相對的低頻信號，信號達到了帶通濾波的效果。

3 組合積分系統(tǒng)濾波計算機輔助設(shè)計

MATLAB信號處理工具箱的兩個基本組成就是濾波器的設(shè)計和實現(xiàn)及頻譜分析，工具箱提供了豐富而簡單的設(shè)計，使原來繁瑣的程序設(shè)計簡化成函數(shù)的調(diào)用，特別是濾波器的表達方式和濾波器形式之間的相互轉(zhuǎn)換顯得十分簡便，為濾波器的設(shè)計和實現(xiàn)開辟了一片廣闊天地。

IIR濾波器目前最通用的方法是利用已成熟的模擬濾波器的設(shè)計方法來設(shè)計。IIR的設(shè)計都包括以下3個步驟：給出所需要的濾波器的技術(shù)指標；設(shè)計一個使其逼近所需要的技術(shù)指標；實現(xiàn)所設(shè)計的H（z）[6]。

3.1 Simulink仿真

Simulink仿真環(huán)境中建立組合積分系統(tǒng)模型，實現(xiàn)對信號動態(tài)的頻譜分析。支持圖形用戶界面，并提供了許多自帶的模塊庫，使建模過程像是壘積木一樣簡單易行?；诮M合積分系統(tǒng)濾波系統(tǒng)模型圖如圖3所示。該仿真模型中共有5個示波器，示波器用來顯示濾波后的時域響應(yīng)。

濾波結(jié)果分別如圖4～圖7所示，由圖4可以看出，濾波前時域波形比較雜亂，無法識別出信號周期；濾波之后無論是LP、HP、BP信號都特別穩(wěn)定，濾波效果比較好。

圖3 基于組合積分系統(tǒng)濾波仿真模型Fig.3 Combined integrating control system simulation model

圖4 復(fù)合信號時域波形Fig.4 Time-domain waveform before filtering

圖6 高通濾波后信號時域波形Fig.6 Time-domain waveform of the HP filtered signal

圖5 低通濾波信號時域波形Fig.5 Time-domain waveform of the LP filtered signal

圖7 信號對比時域波形Fig.7 Comparison of time domain response

3.2 濾波算法分析

圖4和圖5分別為巴特沃斯低通和高通濾波后信號的時域響應(yīng)。濾波器前信號中有0.03 Hz、0.3 Hz、1 Hz共3個信號頻率，圖4濾波后只剩下0.03 Hz信號頻率，其他高于0.03 Hz的頻率信號已經(jīng)被濾除。圖5濾波后只剩下0.3 Hz和1 Hz共2個信號頻率，其他低于0.3 Hz的頻率信號已經(jīng)被濾除。

采用基于組合積分系統(tǒng)濾波出的信號很穩(wěn)定，只含有一種頻率的信號，噪聲少，信號平滑。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計的巴特沃斯濾波程序，濾波后的信號中噪聲較多，采用組合積分系統(tǒng)濾波效果較好。

圖8 帶通濾波后信號時域波形Fig.8 Time-domain waveform of the BP filtered signal

4 結(jié)論

MATLAB仿真可以非常方便設(shè)計出具有嚴格線性相位要求的濾波器，在應(yīng)用中只需對程序中濾波器的起始頻率、截止頻率、采樣頻率和窗函數(shù)等參數(shù)進行修改就可實現(xiàn)需要的濾波功能，實用性強[7]。

采用組合積分系統(tǒng)濾波是在數(shù)字濾波算法的基礎(chǔ)上提出的一種新的濾波算法，通過構(gòu)建系統(tǒng)模型，根據(jù)需求調(diào)節(jié)延時常數(shù)、、及常數(shù)來實現(xiàn)濾波，簡單易懂，易操作。下一步工作是采用該方法對其它周期信號（方波、三角波）進行有效的設(shè)計，實現(xiàn)濾波效果。

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