濕陷性黃土地基沉降預(yù)測(cè)模型及其精度分析

摘 要：本文介紹了Logistic曲線、Gompertz曲線和Poisson曲線等三種沉降預(yù)測(cè)模型及其預(yù)測(cè)參數(shù)的計(jì)算途徑，基于沉降實(shí)測(cè)資料對(duì)各模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，Gompertz曲線的擬合精度最高，適用于濕陷性黃土地基沉降的預(yù)測(cè)。

關(guān)鍵詞：Logistic曲線；Gompertz曲線；Poisson曲線；擬合精度

中圖分類號(hào)：U416.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2018）01-0118-03

Settlement Prediction Model of Collapsible Loess Foundation

and Its Precision Analysis

TIAN Zhenghua LI Yanmin WEI Yao

（Department of Surveying and Mapping，Shanxi Railway Institute，Weinan Shanxi 714000）

Abstract： This paper introduced the way of calculating the Logistic curve， Gompertz curve and Poisson curve of three kinds of settlement prediction model and prediction parameters， prediction accuracy of each model based on settlement data measured in field were analyzed. The results showed that the Gompertz curve fitting of the highest accuracy， suitable for prediction of collapsible loess foundation settlement.

Keywords： Logistic curve；Gompertz curve；Poisson curve；fitting accuracy

地基或建筑物沉降是工程建設(shè)中的常見問(wèn)題，濕陷性黃土地區(qū)的建筑物沉降危害更為突出。為了避免沉降帶來(lái)的工程災(zāi)害，必須定期進(jìn)行建筑物沉降觀測(cè)，以掌握沉降變化的規(guī)律。而利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)沉降發(fā)展的趨勢(shì)，在工程上具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文選擇Logistic曲線、Gompertz曲線及Poisson曲線等三種數(shù)學(xué)模型，對(duì)濕陷性黃土區(qū)地基沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)和擬合精度分析，以選擇適用于該類地基沉降特征的預(yù)測(cè)模型。

1 三種常規(guī)沉降預(yù)測(cè)模型

1.1 Logistic曲線模型

Logistic曲線（簡(jiǎn)稱L曲線）是比利時(shí)數(shù)學(xué)家維哈爾斯特發(fā)現(xiàn)的一種特殊曲線，它屬于增長(zhǎng)型曲線，其初始階段發(fā)展緩慢，接著是急劇增長(zhǎng)階段，然后是一個(gè)平穩(wěn)的發(fā)展時(shí)期，最后達(dá)到飽和狀態(tài)。該曲線實(shí)質(zhì)上是一個(gè)累積增長(zhǎng)或生長(zhǎng)的曲線，適合地面沉降有界增長(zhǎng)的趨勢(shì)[1]，被廣泛用于沉降預(yù)測(cè)。L曲線可描述為：

[y（t）=1a+bct] （1）

式（1）中，[y（t）]表示第[t]期的沉降預(yù)測(cè)值；[t]表示時(shí)間；a，b，c表示待定參數(shù)，且a>0，b>0，0

1.2 Gompertz曲線模型

Gompertz曲線（簡(jiǎn)稱G曲線）是英國(guó)數(shù)學(xué)家龔伯次提出的技術(shù)發(fā)展模型，又稱為雙指數(shù)曲線模型，也屬于增長(zhǎng)曲線，適用于擬合“S”型增長(zhǎng)的沉降曲線[2]，其可描述為：

[yt=abct] （2）

式（2）中，[yt]表示第t期的沉降預(yù)測(cè)值；t表示時(shí)間；a，b，c表示待定參數(shù)，且a>0，b>0，0

1.3 Poisson曲線模型

Poisson曲線（簡(jiǎn)稱P曲線）是一種精度較高的沉降預(yù)測(cè)模型，也稱為飽和曲線[3]。在時(shí)間序列預(yù)測(cè)中，P曲線模型可描述為：

[yt=c1+ae-bt] （3）

式（3）中，[yt]為第t期的沉降預(yù)測(cè)值；t為時(shí)間；a、b和c為待定參數(shù)。

2 模型參數(shù)的求解途徑

將式（1）的L曲線方程取倒數(shù)，令[SL=1/y（t）]，則式（1）轉(zhuǎn)換為：

[SL=a+bct] （4）

將式（2）G曲線方程取對(duì)數(shù)，[lnyt=lna+ctlnb]，令[SG=lny（t）]，[a′=lna]，[b′=lnb]，則式（2）轉(zhuǎn)換為

[SG=a+bct] （5）

式（4）和式（5）都是修正指數(shù)方程[yt=a+bct]的形式，對(duì)該方程的三個(gè)參數(shù)可采用Bryant法求解[4]，其計(jì)算式如下：

[c=（N-1）t=1N-1y（t）y（t+1）-t=1N-1y（t）t=1N-1y（t+1）（N-1）t=1N-1y（t）2-（t-1N-1y（t））2] （6）

[b=Nt=1Ncty（t）-t=1Nctt=1Ny（t）Nt=1Nc2t-（t=1Nct）2] （7）

[a=1N（t=1Ny（t）-bt=1Nct）] （8）

上式中，N為觀測(cè)的總期數(shù)，其他參數(shù)與式（1）和式（2）相同。

對(duì)于P曲線方程式（3），可利用三段計(jì)算法求取各個(gè)參數(shù)。設(shè)[S1]、[S2]、[S3]分別為3段內(nèi)各項(xiàng)數(shù)值的倒數(shù)和，則有：

[S1=t=1r1yt] （9）

[S2=t=r+12r1yt] （10）

[S3=t=2r+13r1yt] （11）

其參數(shù)為：

[b=ln（s1-s2）（s2-s3）/r] （12）

[c=r/s1-（s1-s2）2（s1-s2）-（s2-s3）] （13）

[a=（s1-s2）2（1-e-b）c（s1-s2）-（s2-s3）e-b（1-e-rb）] （14）

上式中，其時(shí)間序列中的數(shù)據(jù)項(xiàng)數(shù)或時(shí)間的期數(shù)n是3的倍數(shù)，并把總項(xiàng)數(shù)分為3段，每段含[n/3=r]項(xiàng)。第1段為[t=1，2，3，L，r]；第2段為[t=r+1，r+2，r+3，L，2r]；第3段為[t=2r+1，2r+2，2r+3，L，3r]。若已有觀測(cè)數(shù)據(jù)的期數(shù)不是3的倍數(shù)，則可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行取舍，即取前m（m是3的倍數(shù)）個(gè)數(shù)，將另外m-n個(gè)數(shù)舍棄。

自變量t的時(shí)間間隔相等或時(shí)間長(zhǎng)短相等，前后連續(xù)，期數(shù)t由1開始順編，即取[t=1，2，3，L，n]。按此要求，則時(shí)間序列中各項(xiàng)數(shù)分別為：[y1，y2，y3，L，yn]。

3 預(yù)測(cè)模型的擬合精度評(píng)價(jià)

預(yù)測(cè)模型的有效性是指平均的、全面的或者是典型的精確性[5]。本文以MAPE（平均絕對(duì)百分誤差）作為預(yù)測(cè)模型精度評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)。平均絕對(duì)百分誤差的計(jì)算式為：

[MAPE=1Nt=1Nε（t）y（t）×100] （15）

其中，[y（t）]是第[t]個(gè)觀測(cè)值，也就是某個(gè)點(diǎn)在第[t]期高程值；[ε（t）]是指預(yù)測(cè)的誤差，即真值與預(yù)測(cè)值的差值，[ε（t）=y（t）-y（t）]。其中，[y（t）]為通過(guò)模型計(jì)算的預(yù)測(cè)值。Lewis依據(jù)MAPE值的大小將預(yù)測(cè)模型有效分為四個(gè)等級(jí)（見表1）。

表1 MAPE等級(jí)劃分表

[MAPE擬合等級(jí)<10高精度10～20良好20～50合格>50不合格]

4 濕陷性黃土區(qū)建筑物沉降預(yù)測(cè)實(shí)例

陜西地區(qū)廣泛分布著濕陷性黃土層，其地基具有遇水沉陷的特性，在建筑物荷載作用下發(fā)生的沉降量往往大于其他地區(qū)，其沉降變化特征也較為復(fù)雜。本文對(duì)西安南郊濕陷性黃土區(qū)某建筑物進(jìn)行等時(shí)距的沉降觀測(cè)，得到一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)

[ty（t）/mm11.2622.9034.5745.1855.5065.8175.9986.05]

對(duì)表2數(shù)據(jù)分別用L曲線、G曲線、P曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)計(jì)算，得到的參數(shù)值如表3所示。

表3 各預(yù)測(cè)模型的參數(shù)計(jì)算結(jié)果

[參數(shù)與模型L曲線G曲線P曲線a0.171 648 86.047 20512.498 84b2.223 4010.032 222 971.264 548c0.279 697 30.456 706 75.732 039]

用各模型對(duì)應(yīng)的參數(shù)對(duì)該建筑物的沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)，其結(jié)果如表4所示。

表4 各模型預(yù)測(cè)結(jié)果及其誤差（單位：mm）

[t實(shí)測(cè)值L曲線預(yù)測(cè)值G曲線預(yù)測(cè)值P曲線預(yù)測(cè)值11.261.261.261.2622.902.892.952.8734.574.544.364.4745.185.395.215.3155.505.695.655.6165.815.785.865.6975.995.825.965.7286.055.826.015.73]

根據(jù)實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之差用式（15）算出各模型的平均絕對(duì)百分誤差，如表5所示。

表5 各預(yù)測(cè)模型的精度指標(biāo)值比較

[模型類型MAPEL曲線模型1.97G曲線模型1.47P曲線模型2.46]

考察MAPE值可以看出，G曲線模型的MAPE值最小，擬合精度最高。圖1是三種模型預(yù)測(cè)曲線。觀察這幾條曲線，在拐點(diǎn)前增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，增長(zhǎng)曲線呈下凸形，在拐點(diǎn)后的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，增長(zhǎng)曲線呈上凸形，最終趨于一個(gè)有限值[6]。從圖1可知，在沉降后期，G曲線與實(shí)測(cè)沉降曲線最為吻合。因此，對(duì)于本組沉降數(shù)據(jù)，G曲線最適合用于該項(xiàng)沉降預(yù)測(cè)。P曲線（泊松曲線）在沉降前期擬合精度尚可，但后期偏離漸大，預(yù)測(cè)精度隨之降低。

5 結(jié)語(yǔ)

L曲線、G曲線和P曲線都是“S”型增長(zhǎng)曲線，都能反映出濕陷性黃土區(qū)建筑物沉降量與時(shí)間的關(guān)系。但由于濕陷性黃土地基沉降的發(fā)生機(jī)理和變化趨勢(shì)往往十分復(fù)雜，每種預(yù)測(cè)模型均具有不同的參數(shù)和曲線特征。對(duì)于一組具體的沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)而言，難以直接判別其更適合于哪一種模型，可應(yīng)用多種模型分別進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，根據(jù)MAPE值的大小來(lái)確定模型的預(yù)測(cè)精度，以指導(dǎo)工程實(shí)踐。鑒于濕陷性黃土區(qū)建筑物沉降規(guī)律的復(fù)雜性，單一的預(yù)測(cè)模型總是存在某方面的缺陷，若能把不同的模型預(yù)測(cè)結(jié)果以適當(dāng)加權(quán)的方式組合起來(lái)，將會(huì)大大提高沉降預(yù)測(cè)的精度。

[t][實(shí)測(cè)沉降曲線][L曲線][G曲線][泊松曲線][時(shí)間t][沉降量/mm]

圖1 三種模型預(yù)測(cè)曲線

參考文獻(xiàn)：

[1]徐洪鐘，施斌，李雪紅.全過(guò)程沉降量預(yù)測(cè)的Logistic生長(zhǎng)模型及其適用性研究[J].巖土力學(xué)，2005（3）：387-391.

[2]梅國(guó)雄，宰金珉，殷宗澤，等.沉降-時(shí)間曲線呈“S”型的證明及其應(yīng)用[J].巖土力學(xué)，2005（S1）：21-24.

[3]宰金珉，梅國(guó)雄.泊松曲線的特征及其在沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào)，2001（1）：30-35.

[4]范曉秋，洪寶寧.Logistic和Gompertz曲線及其最優(yōu)組合模型在沉降預(yù)測(cè)中的運(yùn)用[J].防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報(bào)，2007（2）：192-195.

[5]曾勇，李玉東，唐小我.簡(jiǎn)單平均組合預(yù)測(cè)有效性的應(yīng)用分析[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1999（1）：57-61.

[6]朱正元，陳偉侯，陳豐.Logistic曲線與Gompertz曲線的比較研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2003（10）：66-71.