由一道復(fù)習(xí)題引發(fā)的思考

袁啟云

中考復(fù)習(xí)階段，在總結(jié)復(fù)習(xí)“等腰三角形的性質(zhì)”時(shí)，一類題目引起了我的注意。歸納匯總了類似題目后，我決定作為專題上一次復(fù)習(xí)課。

原題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是底邊BC的中點(diǎn)，PE⊥AB，垂足是E，PF⊥AC，垂足是F，CD是高。猜想PE+PF與CD的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論。

巡視之后，我發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生都這樣想：在△DBC中，由三角形中位線定理可知，PE=[12]CD；易證△EBP≌△FCP，從而發(fā)現(xiàn)PE+PF=CD。

本題并不復(fù)雜，學(xué)生很容易找到解題思路，但對本題的探討是否僅止步于此呢？我進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生探究：當(dāng)點(diǎn)P是底邊BC上任意一點(diǎn)或底邊BC延長線上任意一點(diǎn)（如圖2），其他條件不變，PE、PF與CD的數(shù)量關(guān)系改變了嗎？若不變請證明；若改變請說明理由。

搜集學(xué)生思路發(fā)現(xiàn)，學(xué)生一般用截長法或補(bǔ)短法解答，鮮有其他思路。當(dāng)在延長線上時(shí)，學(xué)生也能發(fā)現(xiàn)結(jié)論改變?yōu)镻E-PF=CD。

教學(xué)反思：解答本題也可以使用面積法，但學(xué)生鮮有用面積法證明，說明學(xué)生對面積法不熟，思路寬度不夠。

我要求學(xué)生用一句話歸納自己得到的結(jié)論，并用結(jié)論解決下列問題：

練習(xí)1：如圖3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，PF⊥BD于F，PE⊥AC于E，則PE+PF的值為（ ）。

A .[125] B.[135] C.[52] D.2

隨后，我又將題目做了變式處理：將等腰三角形改為等邊三角形，將底邊上一點(diǎn)移到內(nèi)部或外部時(shí)，結(jié)果有沒有變化呢？

練習(xí)2：如圖4，△ABC為正三角形，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，PE⊥AB，垂足是E，PF⊥AC，垂足是F， PD⊥BC，垂足是D， CH是高，猜想PE，PF，PD與CH有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想。

如圖5，當(dāng)這一點(diǎn)在等邊三角形外部時(shí)，這一點(diǎn)到三邊的距離與等邊三角形的一邊上的高有何關(guān)系？并證明你的猜想。

觀察發(fā)現(xiàn)：由于學(xué)生對面積法不熟，思路寬度不夠，所以連結(jié)論都猜不出，不知從何下手，也想不起與例題（等腰三角形）的結(jié)論有何關(guān)系。

教學(xué)反思：因?yàn)榍懊鎸W(xué)生鮮有用面積法證明，故展示的例題功能沒有發(fā)揮出來，無法借鑒思路，此時(shí)，教師需要再補(bǔ)充例題面積法的講解。

練習(xí)3：如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是下底BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，垂足是E，PF⊥CD，垂足是F。求證：PE+PF是一個(gè)定值。

圖6

我啟發(fā)學(xué)生從以下幾方面去思考：①想想此圖與等腰三角形有何聯(lián)系？②四邊形是多邊形，解決多邊形的問題常用什么方法（割、補(bǔ)法）？由等腰梯形如何得到等腰三角形？并追問：當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，其他條件不變，試求│PE-PF│的值。學(xué)生嘗試用面積法解決，大大加快了解題進(jìn)度。

（作者單位：襄陽市南漳縣九集中學(xué)）