基于滑模解耦的EPS用PMSM魯棒預測電流控制

郭艷玲，許李尚，奚文龍，劉方悅

(東北林業(yè)大學，哈爾濱 150040)

0 引 言

電動助力轉向(以下簡稱EPS)系統(tǒng)作為現(xiàn)在已經被廣泛應用在汽車上的最主要的轉向系統(tǒng)之一，備受關注。其中永磁同步電機憑借其功率密度高、體積小、轉動慣量小、齒槽扭矩小和可靠性高的優(yōu)點，成為國內外EPS研究的熱門課題之一[1-2]。

目前永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)的控制有矢量控制、直接轉矩控制等。EPS系統(tǒng)一般只需要搭建電機的控制電流環(huán)，因而對于EPS系統(tǒng)用PMSM，工程實際中最常使用的電流控制策略是基于矢量控制的同步坐標系下的PI控制。然而，傳統(tǒng)PI控制很難滿足高性能EPS系統(tǒng)對目標電流高響應與小超調量的要求，且矢量控制下的PI控制只實現(xiàn)了d，q軸的靜態(tài)解耦，無法消除動態(tài)過程中的交叉耦合，導致電流的動態(tài)跟蹤性能進一步的降低。

預測控制是基于無差拍控制原理下的一種電流控制算法，是當下PMSM電流控制中十分有效的控制策略。但基本的電流預測控制過于依賴精確的電機模型，且穩(wěn)定性還受控制延時的影響，因此在使用時需要對其進行改進。針對減緩延時的影響，文獻[3-4]討論了模型中的延時對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并提出消除延時的方法。關于參數(shù)攝動的問題，文獻[5-7]提出采用魯棒電流預測來消除電感參數(shù)對模型穩(wěn)定性的影響，同時在魯棒預測的基礎上，增加擾動觀測器提高系統(tǒng)的魯棒性。但上述方法都是在理想解耦的前提下推導出來的，使用的是傳統(tǒng)解耦方式，忽略了參數(shù)對動態(tài)解耦的影響。而自適應解耦和智能解耦[8-11]能夠有效地減弱動態(tài)解耦對電機參數(shù)的依賴性。

本文在同步坐標系下，根據(jù)PMSM的數(shù)學模型和無差拍控制的思想，先假設通過反饋解耦使系統(tǒng)處于理想解耦狀態(tài)，而后建立對系統(tǒng)延時和電機參數(shù)有強魯棒性的魯棒預測電流的無差拍控制算法。在保證原有系統(tǒng)的電流跟蹤精度和穩(wěn)態(tài)性能不變的前提下，分析這種動態(tài)解耦算法下的系統(tǒng)控制精度隨電機參數(shù)攝動的變化，提出了一種自適應滑模電流解耦算法。最終建立了一個由無差拍控制器、電流觀測器和滑模解耦補償器構成的自適應滑模解耦的魯棒預測電流的無差拍控制算法。而后對這種控制器的電流跟隨性能和跟蹤精度進行仿真分析，驗證了這種控制算法能夠顯著地提高電流的跟蹤速度和控制精度的結論。

1 PMSM及其數(shù)學模型

1.1 EPS用PMSM簡介及其基本模型

EPS用PMSM一般是額定電壓為12 V或24 V的小型三相電機。在轉子永磁體的安裝方面，由于EPS用PMSM不需要工作在超高速狀態(tài)下，所以通常采用表貼式永磁體結構，同時使用塑料粘接進一步固定，防止其在轉動中發(fā)生磁極移位或脫落。表貼式PMSM擁有直交軸(d，q軸)電感近似相等的特點，這一特點能夠簡化電機的數(shù)學模型，降低其控制難度。

忽略磁路飽和、磁滯和渦流影響，同時假設永磁體在氣隙中的磁通密度按正弦規(guī)律分布，則在同步d-q軸坐標系下，表貼式PMSM的電壓方程：

(1)

式中：L為d軸線圈或q軸線圈的總電感；ψf為永磁體產生的磁鏈；vd和vq分別是d軸線圈和q軸線圈的端電壓；R為線圈內阻；id和iq分別是流過d軸線圈和q軸線圈的電流；p為微分算子；ωr為電氣角速度。

根據(jù)式(1)可知，d軸和q軸電流分別在q軸和d軸方向產生了耦合反電動勢。假設采用反饋解耦，則由式(1)得：

(2)

(3)

式中：I=[id,iq]T；U=[vd0,vq0]T。

求解式(3)得：

(4)

為了獲得電機電流的離散遞推方程，假設電流采樣周期和控制周期時間均為T，則令t0=kT，同時假定系統(tǒng)輸入電壓在此期間恒定，則式(4)可離散化：

I(k+1)=aI(k)+bU(k)

(5)

1.2 考慮電流采樣和逆變器延遲的電機模型

圖1為電流采樣和控制時序圖。由圖1可知，由于計算延時的原因，使(k-1)T時刻的采樣電流，作為kT時刻PWM占空比的計算依據(jù)，出現(xiàn)了第一個延時。同時由于逆變器零階保持的特性，使系統(tǒng)引入了第二個延時。系統(tǒng)的總延時為2倍的電流采樣周期，也就是2T[6]。

圖1 電流采樣和控制時序

考慮電流采樣延時td=T，令I′(k)≡I(t-T)，t0=(k-1)T，t=(k+1)T，則代入式(4)并離散化后得：

I′(k+1)=aI′(k)+bU(k-1)

(6)

2 電流預測控制算法的設計和分析

2.1 無差拍控制與基本電流預測算法

無差拍控制是在轉子參考坐標系下的一種高性能的電流控制器，能在最少采樣周期內使電流誤差減小到零，是基于離散的PMSM數(shù)學模型建立的。根據(jù)式(6)可知，系統(tǒng)存在兩倍采樣周期延時，根據(jù)無差拍控制的特點令目標電流I*(k)=I′(k+2)，可得出無差拍控制的輸入表達式：

(7)

把式(6)向后延遲一個電流采樣周期，預測PWM更新點處的電流值：

(8)

將式(7)的實際電流替換成式(8)的預測電流，則得：

(9)

(10)

按照式(5)和式(10)所搭建的控制框圖如圖2所示。

圖2 基于電流預測的無差拍控制結構框圖

2.2 魯棒電流預測下的無差拍控制

在電流預測中增加全階狀態(tài)觀測器是一種合理的選擇。按照全階狀態(tài)觀測器的基本模型對式(8)進行修改，得到：

(11)

式中：Ke為狀態(tài)觀測增益。

(12)

按照式(5)和式(12)所搭建的控制框圖如圖3所示。

圖3 基于魯棒電流預測的無差拍控制結構框圖

在不考慮動態(tài)解耦部分的情況下，根據(jù)圖3，可得到系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

(13)

(14)

3 自適應離散滑模電流解耦算法的設計及分析

3.1 反饋解耦算法

圖3的基于魯棒預測電流的無差拍控制算法是在不考慮動態(tài)解耦的前提下進行推導的，所以不論是否進行動態(tài)解耦，系統(tǒng)在上文所討論的參數(shù)范圍內都將保持穩(wěn)定。但不考慮動態(tài)解耦，將導致目標電流的動態(tài)跟隨效果變差，隨之導致EPS系統(tǒng)的助力跟蹤性降低，這是高性能EPS系統(tǒng)所無法接受的。所以在基本電流控制算法上增加解耦算法就成為了必然。

PMSM常用的簡單解耦方法有前饋解耦、反饋解耦，本文選用反饋解耦作為系統(tǒng)的基本的解耦算法。由式(2)可知，反饋解耦的輸出公式：

(15)

對式(15)進行離散化后，與式(12)相結合，同時考慮到采樣電流的滯后，使用預測電流替代滯后電流，得到系統(tǒng)的最終輸出：

(16)

按照式(16)建立反饋解耦的控制框圖如圖4所示。

圖4 反饋解耦的結構框圖

3.2 自適應離散滑模電流解耦算法的建立

反饋解耦與基本的電流預測下的無差拍控制一樣存在對模型過度依賴的問題，如果不能有效地解決這個問題，解耦效果將會減弱。考慮到解耦部分受系統(tǒng)參數(shù)攝動、外部干擾的影響等因素，在式(1)中增加兩個動態(tài)解耦干擾項：

(17)

式中：ΔLq，ΔLd，Δψf分別是Lq,Ld和ψf的變動量；εd和εq為動態(tài)解耦時的各種外部擾動和未建模部分的等效。

(18)

本文采用滑模變結構控制的思想來實現(xiàn)這部分控制率[12]。由于不需要通過滑?？刂茖崿F(xiàn)整個控制率，所以需要對通用滑模面進行改造。改造后的d軸電流的滑模面[10]：

(19)

由于魯棒預測電流的無差拍控制是建立在離散系統(tǒng)模型之上的，解耦補償部分的滑?？刂颇Ｐ途托枰蛇B續(xù)系統(tǒng)模型轉變?yōu)殡x散系統(tǒng)模型，也就是把連續(xù)系統(tǒng)模型的滑動模態(tài)變成離散系統(tǒng)模型的準滑動模態(tài)。對式(19)進行離散化得：

(20)

式中：-Δ

同樣對連續(xù)滑?？刂浦械闹笖?shù)趨近律進行離散化，得：

sd(k+1)-sd(k)=-qdTsd(k)-μdTsgn [sd(k)]

(21)

式中：μd>0，qd>0，1-qdT>0；sgn()為符號函數(shù)。

把式(20)代入式(21)，得：

-qdTsd(k)-μdTsgn[sd(k)]

(22)

(23)

在式(16)給定d軸的電流控制率的基礎上，增加對干擾項部分的控制率，可得：

(24)

對式(21)進行變換得：

(25)

由式(25)可知，當|pd|=1時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。由于pd<1總成立，所以pd=-1為系統(tǒng)唯一臨界點。為了使|sd(k)|處于遞減狀態(tài)，需要滿足：

(26)

由式(21)和式(26)可知，系統(tǒng)對參數(shù)μd的需求呈現(xiàn)出一種矛盾的狀態(tài)，趨近過程需要取其大，而準滑模狀態(tài)時需要取其小。為了解決這種矛盾，令：

(27)

結合式(24)和式(27)，得到d軸的自適應離散滑模電流動態(tài)解耦下的補償控制率：

(28)

仿照d軸的實現(xiàn)過程,定義q軸的電流準滑模帶：

(29)

式中：-Δ

同理可知，q軸的自適應離散滑模電流動態(tài)解耦下的補償控制率：

(30)

為了抑制滑模顫抖的問題，采用飽和函數(shù)式(31)代替式(28)和式(30)中的符號函數(shù)：

(31)

按照式(28),式(30)，同時使用預測電流替代滯后電流，所建立的自適應離散滑模電流解耦算法的結構框圖如圖5所示。

圖5 自適應離散滑模電流解耦的結構框圖

3.3 自適應離散滑模電流解耦算法的存在和到達性證明

選取李亞普諾夫函數(shù)：

(32)

則離散滑模存在和到達性條件可表示：

(33)

由于基于指數(shù)的離散趨近率式(21)滿足：

[sd(k+1)-sd(k)]sgn [sd(k)]={-qdsd(k)-

0.5|sd(k)|sgn[sd(k)]}Tsgn[sd(k)]=-

(qd+0.5)T|sd(k)|<0

(34)

同時，當滿足2-(qd+0.5)T>0時，則有：

[sd(k+1)+sd(k)sgn[sd(k)]={(2-qdT)sd(k)-

0.5T|sd(k)|sgn[sd(k)]}sgn[sd(k)]=

[2-(qd+0.5)T]|sd(k)|>0

(35)

同理可證q軸的自適應準滑模系統(tǒng)也滿足上述關系。綜上所述，設計的自適應離散滑模滿足離散滑模的存在和到達性條件。

4 仿真分析與比較

對于提出的自適應離散滑模電流解耦的魯棒預測電流算法的性能進行仿真驗證。為了更好的體現(xiàn)真實的工作情況，仿真中采用如圖6所示的助力轉向電機的參數(shù)：額定功率640 W，額定電流120 A，額定轉速1 200 r/min，額定轉矩5.1 N·m，定子電感54.06 μH，定子電阻12 mΩ，極對數(shù)為3。采用SVPWM調制方法，電流的采樣周期和控制周期均為125 μs。由于是面向EPS系統(tǒng)的，所以采用d軸電流為0的控制策略。

圖6 EPS用PMSM

在Simulink環(huán)境下的PMSM模型基礎上，根據(jù)實際的控制系統(tǒng)進行仿真，其中電路部分搭建其所需的三相半橋驅動電路、蓄電池供電電路和電流信號采集電路；機械部分則搭建仿真輪胎的彈簧剛度和摩擦負載、扭矩傳感器和系統(tǒng)的等效慣性；算法部分分別搭建了電流的坐標解耦算法、魯棒電流預測算法、無差拍控制算法和自適應離散滑模電流解耦算法。對于算法參數(shù)設定方面，觀測器增益選擇Ke=0.4，滑模參數(shù)選為qd=100。機械參數(shù)方面，減速器的傳動比為21，扭動彈簧剛度為100 π N·m/rad，動摩擦力矩為50 N·m，阻尼系數(shù)為1 N·m/(rad·s-1)。

如圖7所示，在不考慮電機參數(shù)變動的前提下，給出了不加動態(tài)解耦和加動態(tài)解耦的魯棒預測電流的仿真結果。為了使圖形清晰明了，圖中只顯示了加動態(tài)解耦的電機轉速曲線。測試工況：q軸目標電流設為頻率為1 Hz、幅值為100 A的正弦電流信號(工況1)。由圖7可知，隨著轉速的出現(xiàn)，未加動態(tài)解耦的系統(tǒng)誤差隨轉速的增加而越來越大，而添加了動態(tài)解耦的系統(tǒng)誤差基本不隨轉速變化。

(a) 未加動態(tài)解耦

(b) 加動態(tài)解耦

在控制電機的繞組電阻和d軸電感增加到標稱值的2倍，q軸電感減小到標稱值的0.5倍，同時減小觀測器中電機模型的磁鏈為實際電機標稱值的0.5倍的前提下，對只進行反饋解耦的魯棒預測電流模型和增加自適應離散滑模電流解耦算法的模型進行仿真，所得到的仿真結果如圖8所示。其測試工況：q軸目標電流在時間點0.2 s時發(fā)生變化，由0階躍到90 A，后在0.2～0.5 s的期間緩慢變化到80 A，又在0.5 s時階躍到-90 A，而后在0.5～0.8 s的期間緩慢增加到-80 A，最后在0.8 s時恢復到0(工況2)。由圖8可知，參數(shù)的攝動對于只使用反饋解耦的系統(tǒng)影響較大，而對于使用自適應離散滑模解耦算法的系統(tǒng)影響較小，但系統(tǒng)在響應的過程中出現(xiàn)了瞬時的超調。由于沒有增加弱磁控制，在0.6 s左右，電機轉速超過了額定轉速,導致反饋解耦電流發(fā)生畸變。

(a) 滑模解耦

(b) 反饋解耦

在不改變電機參數(shù)變化的前提下，將上述仿真試驗中的工況2改為工況1，得到的仿真結果如圖9所示。由于目標電流沒有發(fā)生階躍變化，所以仿真顯示超調量較小。對比圖8和圖9可知，在沒有過大超調的EPS系統(tǒng)中自適應離散滑模解耦算法下的魯棒預測電流算法有較好的電流跟隨效果和更低的系統(tǒng)誤差。

(a) 滑模解耦

(b) 反饋解耦

5 結 語

在轉子坐標系下的EPS用PMSM的基于魯棒預測電流的無差拍控制中，為了解決其動態(tài)跟隨性能受系統(tǒng)動態(tài)耦合的影響的問題，本文提出了一種自適應離散滑模電流解耦算法，它是在反饋解耦的基礎上對解耦算法的一種補充。仿真結果表明：配合電機魯棒預測電流的無差拍控制，在一定范圍的電機參數(shù)攝動和外部干擾下，能夠實現(xiàn)更高的電流跟蹤精度和更快的電流響應速度，因此更適合高性能的EPS電機電流環(huán)的控制。

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