基于Bloch-Floquet理論的周期性排樁在軌道交通隔振中的應(yīng)用研究

姜博龍， 劉維寧， 馬 蒙， 孫曉靜， 李明航(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044)

隨著城市軌道交通的蓬勃發(fā)展，線網(wǎng)日益加密，列車運(yùn)行引起的環(huán)境振動對沿線居民的日常工作及生活、精密儀器的正常使用、古建筑和文物完整性的保護(hù)都造成一定的影響，因而引發(fā)廣泛關(guān)注[1-2]。當(dāng)線路臨近敏感建筑，而軌道結(jié)構(gòu)減振無法滿足要求的情況下，采用傳播路徑隔振十分必要。

傳播路徑屏障隔振結(jié)構(gòu)分為連續(xù)屏障和非連續(xù)屏障結(jié)構(gòu)。連續(xù)屏障對短波具有較好的阻隔性能，而對于長波其適用性較差[3]。因此，諸多學(xué)者將研究目光投向一種具有周期性的非連續(xù)波屏障隔振結(jié)構(gòu)，如排樁、孔列、加勁梁板、蜂窩結(jié)構(gòu)、柵格結(jié)構(gòu)等。Woods等[4]對排樁(孔)展開研究，輔以全息照相技術(shù)，發(fā)現(xiàn)圓柱樁(孔)徑大于1/6入射波波長，且樁(孔)間凈距小于1/4入射波波長的非連續(xù)排樁(孔)具有較好的隔振效果；Avlies等[5]按照多次散射與衍射的方法，研究了單排樁(孔)對縱波、橫波以及瑞利波的多次散射問題；Takemiya[6]提出了改造波阻塊(WIB)，稱為蜂窩狀波屏障，這種WIB利用散射原理，可以將入射波調(diào)制為短波，可獲得較好的隔振效果；瑞典With C等[7]研究了哥德堡附近平行鐵路的粉煤灰隔振排樁減振效果，發(fā)現(xiàn)在60 m范圍內(nèi)可降低41%～67%的速度峰值。在國內(nèi)，高廣運(yùn)[3]突破Woods關(guān)于圓柱樁孔徑大于1/6入射波波長的結(jié)論，提高了排樁的工程適用性；李志毅等[8]以瑞利波散射的積分方程為基礎(chǔ)，對多排樁屏障的遠(yuǎn)場被動隔振效果進(jìn)行三維分析，討論了影響排樁隔振效果的各項因素。近年來，受到光子晶體和聲子晶體的帶隙特征啟發(fā)，部分學(xué)者將周期結(jié)構(gòu)應(yīng)用于工程隔振(震)。程志寶[9]和黃建坤[10]等通過對周期性隔震基礎(chǔ)和周期性排樁的衰減域計算，提出了土木工程領(lǐng)域隔震(振)的新型波屏障。然而利用衰減域特性、針對于軌道交通為振源引起的環(huán)境振動的周期性波屏障隔振研究還不充分。為此，本文利用基于Bloch-Floquet理論[11]的平面波展開法求解周期結(jié)構(gòu)帶隙(又稱衰減域，衰減域范圍內(nèi)的振動無法透過周期結(jié)構(gòu)繼續(xù)傳播)，提出具有低頻、寬帶特點(diǎn)的優(yōu)勢結(jié)構(gòu)，并建立車-軌-隧道-地層-周期性波屏障耦合的三維有限元模型，驗證衰減域的正確性，綜合評價周期結(jié)構(gòu)的隔振效果。

1 衰減域計算的平面波展開法

平面波展開法(PWE)[12-13]由波動方程出發(fā)，根據(jù)Bloch-Floquet理論將方程中的位移、彈性參數(shù)、密度等物理量在倒格矢空間以平面波疊加的形式展開，從而將波動方程轉(zhuǎn)化為本征方程，所求得的本征值即為彈性波的本征頻率。本文將圍繞典型的二維周期性結(jié)構(gòu)(結(jié)構(gòu)的基本單元沿x、y兩個方向周期排列)展開，彈性波在xoy平面內(nèi)傳播，平面內(nèi)與平面外解耦，介質(zhì)中的位移只與x、y坐標(biāo)有關(guān)，而與z坐標(biāo)無關(guān)，這樣彈性波基本方程中所有對z求偏導(dǎo)的項全部為0。故可簡化得到XY模式的矢量方程為

( 1 )

( 2 )

Z模式的標(biāo)量方程為

( 3 )

式中：ρ為密度；λ、μ為Lame常數(shù)；u為質(zhì)點(diǎn)位移。

周期結(jié)構(gòu)中密度ρ、λ、μ等參數(shù)都是空間位置矢量r的周期函數(shù)，根據(jù)Bloch-Floquet理論可將上述物理量在倒格矢空間展開為

( 4 )

式中：G1為倒格矢；r=[xyz]T。

同樣根據(jù)Bloch-Floquet理論，波動方程的解可寫為

( 5 )

式中：G2為倒格矢;K為格矢。

將式( 5 )帶入波動方程式( 1 )、式( 2 )，將結(jié)果寫成簡化的矩陣形式為

( 6 )

式中：G3=G2+G1；

[λG3-G2(K+G2)l(K+G3)j+

μG3-G2[(K+G2)j(K+G3)l]}

( 7 )

在局域共振型周期結(jié)構(gòu)[14]中，密度和彈性常數(shù)的傅里葉展開系數(shù)定義為

( 8 )

式中：積分域為基本單元；S為基本單元面積；G為倒格矢。

對于附有填充材料的結(jié)構(gòu)，fG形式為

( 9 )

由晶體結(jié)構(gòu)的平移周期性和對稱性可知，令波矢掃略對應(yīng)基本晶格的第一簡約布里淵區(qū)，可得到整個結(jié)構(gòu)的頻散曲線和衰減域特性。

2 算例分析

二維三組元局域共振型周期性排樁布置見圖 1(a)，為三排套筒圓柱樁，樁(軸心)間距即周期常數(shù)為a=4 m，樁內(nèi)半徑R2=1.2 m填充材料厚度為R1-R2=0.4 m。

以樁為散射體，內(nèi)芯所使用材料為混凝土，填充材料為鑄鐵，土為基體，材料參數(shù)見表 1。按照1節(jié)中的方法分別計算XY模式(平面內(nèi))和Z模式(平面外)衰減域。根據(jù)固體物理中的晶格理論[15]，此布置形式為六角晶格，見圖 1(b)，陰影部分為其第一簡約布里淵區(qū)，M、Г、X為區(qū)域頂點(diǎn)。將波矢掃略整個六角晶格的第一簡約布里淵區(qū)即可獲得其衰減域。衰減域計算結(jié)果見圖2～圖4。

表1 材料參數(shù)

圖2～圖4為三種樁-土局域共振型周期結(jié)構(gòu)的衰減域，其灰色部分為完全衰減域AZ(Attenuation Zone)，說明此頻率范圍內(nèi)的彈性波沒有與之對應(yīng)的波矢，即該頻段的彈性波在此周期性波屏障中任何波矢方向無法傳播。由圖2～圖4可見，各周期結(jié)構(gòu)衰減域的起始頻率LBF(Lower Bound Frequency)、截止頻率UBF(Upper Bound Frequency)和衰減域?qū)挾萕AZ(Width of Attenuation Zone)。分析表明，上述結(jié)構(gòu)具有良好的低頻、寬帶隔振效果；覆土、粉質(zhì)黏土和卵石砂礫與套筒樁構(gòu)成的三種周期波屏障無論是在平面內(nèi)還是平面外，其第一完全衰減域的LBF逐步增大，帶寬也逐步增加，這主要受散射體(土體)的彈性模量影響，降低散射體彈性模量可有效降低周期結(jié)構(gòu)第一衰減域起始值，但同時縮小衰減域?qū)挾?，見?；對于軌道交通引起的環(huán)境振動，影響范圍主要在200 Hz以內(nèi)，顯著頻率在20～80 Hz[16]，因此，20～80 Hz范圍內(nèi)的衰減域是被重點(diǎn)關(guān)注的，由表 2可以知道三種土-樁周期結(jié)構(gòu)衰減域在20～80 Hz范圍內(nèi)的分布情況，覆土和粉質(zhì)黏土與樁構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)在該頻段內(nèi)具有較好的隔振表現(xiàn)，卵石砂礫-樁結(jié)構(gòu)衰減域落在此范圍內(nèi)寬度較小，因此在設(shè)計樁長時可考慮僅設(shè)置到粉質(zhì)黏土埋置深度，由于覆土-樁周期波屏障具有更低頻的隔振效果，可以考慮將其用于臨近對低頻振動較為敏感的建筑物周圍的遠(yuǎn)場隔振，其平面外衰減域起始頻率為16.04 Hz，可以考慮嵌于基礎(chǔ)之下隔振。

表2 三種周期結(jié)構(gòu)在20～80 Hz第一衰減域的分布情況 Hz

3 有限元模型驗證

3.1 模型概況

為驗證衰減域計算結(jié)果的正確性，分析周期排樁隔振效果，選取某地鐵線路旁經(jīng)科研院所樓宇作為案例研究背景，分別進(jìn)行有限元建模計算和現(xiàn)場測試，場地測試數(shù)據(jù)用以校核數(shù)值模型。其線路走行與建筑物相對位置關(guān)系見圖 5。

利用ABAQUS建立基底-隧道結(jié)構(gòu)-周期排樁波屏障-地層三維動力有限元模型，見圖 6。輸入激勵采用周期性車輛-軌道耦合解析模型，見圖7，計算得到鋼彈簧浮置板隔振器下的反力，并將該反力時程加載在基底上，拾取地表振動響應(yīng)，預(yù)測并驗證周期性排樁的隔振效果。本案例地鐵隧道為兩個平行的單洞單線盾構(gòu)隧道(圖6中僅示意單側(cè))，埋深為10.5 m，混凝土管片。盾構(gòu)隧道斷面內(nèi)徑為2.7 m，襯砌厚度為0.3 m。兩個區(qū)間盾構(gòu)隧道中線間距13 m。每一環(huán)由6個管片組成，縱向由螺栓連接?；炷烈r砌的彈性模量E=35 000 MPa，泊松比ν=0.25，密度ρ=2 500 kg/m3。隧道仰拱處灌注混凝土道床，基底回填及浮置板動彈性模量E=4.2×1 010 Pa，泊松比ν=0.3，密度ρ=2 500 kg/m3。計算時將土層簡化為填土層、粉質(zhì)黏土層、卵石砂礫層，土動力參數(shù)見表 1。樁為3排，布置形式見圖1(a)，三排樁中距離隧道最近的一排，其軸心距右線隧道中心線距離為16.5 m。采用有限元法模擬空間的振動問題時，截斷邊界上產(chǎn)生反射，使得計算失真，為了避免產(chǎn)生影響，在計算模型邊界處設(shè)置彈簧阻尼吸收邊界。模型范圍為100 m×60 m×24 m。

3.2 列車荷載計算

采用本課題組研制的列車-浮置板軌道動力相互作用仿真程序(STFSTI)[17]計算鋼彈簧作用在基底的反力，并將其作為激勵輸入3.1節(jié)中的有限元模型。該程序運(yùn)用無限-周期結(jié)構(gòu)理論，考慮移動車輛狀態(tài)激勵與軌道結(jié)構(gòu)不平順的耦合方式，以及浮置板分段、隔振器支撐間距與軌道扣件間距不相等的軌道結(jié)構(gòu)形式，給出了車軌耦合在波頻域內(nèi)的解析解，可直接求得浮置板隔振器的動反力，見圖 7。

計算的車輛為B型車，鋼軌和扣件基本計算參數(shù)見表 3，采用加厚設(shè)計的浮置板軌道道床板，行車速度為60 km/h，使用美國軌道譜。

表3 軌道、扣件基本參數(shù)

注：以上軌道參數(shù)均對應(yīng)于兩股鋼軌。

圖8為根據(jù)上述參數(shù)計算得到的基底受力時程與頻譜，將作為輸入3.1節(jié)中有限元模型的振源激勵。

3.3 現(xiàn)場測試及模型校核

對工程背景中科研樓旁地表振動進(jìn)行監(jiān)測，具體測點(diǎn)布置見圖5。用PB4測點(diǎn)處數(shù)據(jù)對有限元模型進(jìn)行校核，確保模型的正確性及預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。測試主要儀器為：INV3060S型24位網(wǎng)絡(luò)分布式同步采集儀，振動加速度采用LanceAS0115系列振動加速度傳感器，量程0.12g，頻率范圍為0.2～600 Hz，靈敏度為35 113 mV/g左右(不同傳感器有微小差別)，傳感器使用前全部由國家權(quán)威檢測部門重新標(biāo)定。

將實際測試得到的地表振動與根據(jù)工程資料建立模型對應(yīng)位置拾振點(diǎn)的振動量值對比，見圖 9。在10～80 Hz范圍內(nèi)模型拾振點(diǎn)處與對應(yīng)位置處實測結(jié)果吻合良好，此頻段也是排樁波屏障振動衰減域所在頻段，可確保預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，更好地驗證周期波屏障衰減域的正確性。10 Hz以下較實測結(jié)果出現(xiàn)較大程度波動，計算值出現(xiàn)峰值，反映了浮置板軌道在7 Hz左右的計算固有頻率，也間接地驗證了模型的正確性。

3.4 結(jié)果分析

4 結(jié)論

利用基于Bloch-Floquet理論的平面波展開法求解周期波屏障(排樁-土系統(tǒng))的衰減域，并將該周期性波屏障應(yīng)用于某工程預(yù)測模型中，驗證其衰減域并預(yù)測其隔振效果。研究發(fā)現(xiàn)：

(1) 通過對衰減域分析，發(fā)現(xiàn)相同排樁布置形式下，降低土體彈性模量可有效降低該周期結(jié)構(gòu)第一衰減域起始值，但同時縮小其衰減域?qū)挾龋?/p>

(2) 覆土和粉質(zhì)黏土與樁構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)在20～80 Hz頻段內(nèi)較卵石砂礫-樁周期結(jié)構(gòu)具有更好的衰減域特性；

(3) 整體看，數(shù)值模型分析獲得的衰減域與計算的帶隙重疊區(qū)吻合良好，水平方向完全吻合，豎直方向受樁長制約，特定頻段(31～37 Hz)波在樁底繞射效應(yīng)明顯；

(4) 首層土(覆土)的帶隙起主要控制作用。

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