基于小波變換圖像放大原理與實現(xiàn)

季祥 劉哲 高超 王浩鑫 武凱璇

一、圖像小波分解的原理

小波變換是一個強(qiáng)有力的圖像處理工具，令f（x1， x2）

∈L2（R2）表示一個二維信號，x1、x2分別是橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，Ψ（x1， x2）表示二維基本小波，二維連續(xù)小波定義：

令Ψa，b1，b2（x1， x2）表示Ψ（x1， x2）的尺度伸縮和二維位移，那么：

（1.1）

則二維連續(xù)小波變換為：

（1.2）

式中因子

是為了保證小波伸縮前后其能量不變而引入的歸一因子。

對二維正交小波變換有其快速算法——Mallat算法，它把小波變換的計算問題轉(zhuǎn)化為小波變換后系數(shù)的計算問題：在實際操作中，給出M+1層上的離散采樣值{fM+1（m，n）}數(shù)據(jù)，要計算M層上的小波變換系數(shù)，即分解算法的問題，設(shè)H={hn}，G={gn}分別對應(yīng)分解時的小波低通以及高通濾波器，小波計算分解系數(shù)的過程為：

其中，cM（m，n）為M層時的小波系數(shù)，當(dāng)M=0時，f（m，n）也是原始圖像數(shù)據(jù)，而LLM+1（m，n）是M+1層的圖像數(shù)據(jù)，是M層的圖像數(shù)據(jù)cM（m，n）進(jìn)行小波分解后的低頻分量數(shù)據(jù)，{LLM+1（m，n）}是{cM（m，n）}的概況，是{cM（m，n）}的縮略表示，與{cM（m，n）}在輪廓上是相似的，而{LHM+1（m，n）}為{cM（m，n）}進(jìn)行小波分解后在x方向的概貌和在y方向的高頻細(xì)節(jié)信息，{HLM+1（m，n）}為{cM（m，n）}進(jìn)行小波分解后在y方向的概貌和在x方向的高頻細(xì)節(jié)信息，{HHM+1（m，n）}為{cM（m，n）}進(jìn)行小波分解后在x方向和y方向的高頻細(xì)節(jié)信息，它表明沿對角線方向的細(xì)節(jié)信號。

二、圖像小波重構(gòu)的原理

圖像經(jīng)過小波分解以后，得到它的低頻以及高頻分量，得到了每個方向上的系數(shù)，根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和和經(jīng)過修改的從第1層到第N層的各層高頻系數(shù)，來計算二維信號的小波重構(gòu)。

Hr和Hc分別代表低通濾波器對系數(shù)矩陣cM行和列作用的算子，Gr和Gc分別代表高通濾波器對系數(shù)矩陣cM行和列作用的算子，則重構(gòu)算法為：

（1.5）

其中Hr*是Hr的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。

三、圖像小波變換放大的原理

小波變換：它是一種新的變換分析的方法，它不僅繼承短時傅里葉變換局部的思想，還對其進(jìn)行了發(fā)展，與此同時它又克服了窗口大小不隨頻率變化等不足，提供了一個能夠隨頻率改變而改變的窗口。它的主要特點就是能夠通過變換來突出問題在某些方面的特征，能夠完成對時間頻率的局部化分析，通過一系列的伸縮以及平移運(yùn)算，它能夠完成對信號逐步實現(xiàn)多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任何細(xì)節(jié)。例如圖像信號，其核心就是對圖像對應(yīng)的像素值或者叫做圖像位置的系數(shù)進(jìn)行均值和差異的細(xì)節(jié)操作，產(chǎn)生新的像素值的平均值和細(xì)節(jié)系數(shù)表示的圖像，這些不同的圖像部分分別表示圖像分解后的低頻分量和高頻分量，如圖3.1所示，對圖像進(jìn)行一維二進(jìn)制小波分解得到四個分量，LL1是它的低頻分量，HL1、LH1、HH1是它的水平、垂直、對角高頻分量。也可以對LL1分量進(jìn)行進(jìn)一步的分解。由于一個圖像的細(xì)節(jié)信息主要集中在高頻分量中，常規(guī)的實現(xiàn)小波放大的思想就是將分解得到的低頻分量用原圖像替換，得到的三個高頻分量用插值法實現(xiàn)放大[17]將他們的大小放大到和原圖像一樣，然后對四個新的分量進(jìn)行小波重構(gòu)。這樣就可以得到一個長和寬都放大四倍的圖像，除此之外我們也可以對原圖像先進(jìn)行插值法放大然后進(jìn)行小波分解，將分解得到的高頻分量與原圖像進(jìn)行小波重構(gòu)。

四、基于小波變換圖像放大算法設(shè)計

1、常規(guī)的實現(xiàn)小波放大的方法

（1）選擇小波函數(shù)采用dwt2函數(shù)對原圖像進(jìn)行二進(jìn)制小波分解，得到它的低頻分量以及三個高頻分量即水平、垂直、對角分量。

（2）將分解后的低頻分量用原圖像進(jìn)行替換，原圖像經(jīng)過二進(jìn)制小波分解以后，得到的低頻分量只有原始圖像的四分之一，所以對得到的三個高頻分量用雙線性插值法將圖像的長和寬各放大兩倍，這樣三個高頻分量的大小與原圖像的大小就是一致的。

（3）將這四個分量采用idwt2函數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，那么得到的將是長和寬都放大四倍的圖像。

2、本文涉及的實現(xiàn)小波放大的方法

由于本課題研究的主要是插值法以及基于小波變換的方法來實現(xiàn)圖像的放大，因此希望能夠?qū)⑦@兩項方法結(jié)合起來進(jìn)行實現(xiàn)，常規(guī)的實現(xiàn)方法是先進(jìn)行小波分解。然后原圖像替換低頻分量，其他高頻分量放大到與原圖像同樣尺寸后進(jìn)行重構(gòu)，先用小波分解然后對高頻分量插值，那么也可以先對圖像進(jìn)行插值放大，放大得到的圖像進(jìn)行小波分解后得到的高頻分量的大小與原圖像的大小就是一樣的，此時用原圖替換低頻分量，高頻分量不變，然后再進(jìn)行重構(gòu)。（1）使用插值法將原圖像的長和寬各放大兩倍。（2）對放大后的圖像采用dwt2函數(shù)進(jìn)行二進(jìn)制小波分解，得到它的低頻以及高頻分量。（3）由于第一步已經(jīng)經(jīng)過放大，小波分解得到的高頻分量與原圖像的大小是一樣的，將三個高頻分量與原圖像（作為低頻分量）采用idwt2函數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，得到放大后的圖像。

五、基于小波變換圖像放大算法仿真分析

在進(jìn)行仿真實驗時，選取的是分辨率較低的圖片，這樣放大得到的結(jié)果與原圖像對比差異會更加明顯，在進(jìn)行比較時。主觀上還是主要觀察圖像的清晰度，放大圖像和原圖像相比它的細(xì)節(jié)保留程度。因為常規(guī)的實現(xiàn)方法圖像放大后是原圖像的四倍，所以在本次實驗中實現(xiàn)的方法是先采用雙線性插值法將行和列各放大兩倍，這樣得到的兩幅比較的圖片的大小就是一樣大的。