基于矩陣分解的慣導(dǎo)安裝誤差矩陣解耦方法

吳華麗, 肖支才, 周大旺, 王玲玲

(海軍航空工程學(xué)院控制工程系, 山東 煙臺 264001)

0 引 言

慣性儀表誤差是捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(strapdown inertial navigation system，SINS)的重要誤差源,對導(dǎo)航精度有重要影響。因此,對慣性儀表誤差參數(shù)的精度具有很高的要求[1-4]。然而,慣導(dǎo)系統(tǒng)由于自身及外界等多種原因影響,使用一段時間后需要對慣性儀表的誤差參數(shù)重新標(biāo)定[1,3]。慣導(dǎo)的標(biāo)定方法常分為分立標(biāo)定和系統(tǒng)級標(biāo)定,而對于慣導(dǎo)的定期標(biāo)定一般使用系統(tǒng)級標(biāo)定方法[1,5-6]。系統(tǒng)級標(biāo)定指的是利用導(dǎo)航輸出誤差對慣性儀表參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定的方法,這是一種能有效減小標(biāo)定對轉(zhuǎn)臺依賴的方法,適合外場標(biāo)定使用[3,7]。然而與分立標(biāo)定方法相比,其對安裝誤差矩陣不能有效辨識,根本原因是慣性儀表的12個安裝誤差參數(shù)存在3組耦合關(guān)系[8-13]。這種耦合關(guān)系存在,不但影響傳統(tǒng)慣性儀表的標(biāo)定工作,還對不斷發(fā)展的微電子機(jī)械系統(tǒng)慣性測量單元(micro electronical mechnical system inertial measurement unit,MEMS IMU)的標(biāo)定產(chǎn)生重大影響[14-18]。因此,如何解決這種耦合關(guān)系成為一個重要待解決問題。

針對這個問題,傳統(tǒng)方法是直接將陀螺儀表組安裝誤差矩陣的上三角定義為0(下文稱這種解耦方法為傳統(tǒng)方法)[8,11-12],而文獻(xiàn)[10]則通過引入加速度計的脈沖輸出加入限制條件?？偨Y(jié)這些傳統(tǒng)解耦方法發(fā)現(xiàn)其沒有深入分析耦合原因。比如:文獻(xiàn)[10]雖從可辨識性出發(fā)指出了耦合現(xiàn)象,但是并沒有分析耦合引起的原因,其利用加速度計脈沖輸出引入的限制條件雖然可以求解待標(biāo)參數(shù),但是該方法只適合轉(zhuǎn)臺標(biāo)定;文獻(xiàn)[8]雖然通過導(dǎo)航方程指出這種參數(shù)耦合原因是導(dǎo)航系表示的觀測量對載體坐標(biāo)系b系缺乏約束引起,但是沒有進(jìn)一步分析其使用傳統(tǒng)方法的依據(jù)是什么,也無法給出該方法是否為最佳方法。

針對上述問題,本文利用矩陣分解的方法深入分析耦合生成原因,提出使陀螺斜對稱誤差矩陣為零的最佳解耦方法。首先推導(dǎo)了分解后的誤差矩陣對姿態(tài)和速度方程的影響;接著深入分析引起安裝誤差矩陣耦合的原因,從更深層次揭露了這種耦合關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上提出最佳解耦方法;然后將本文方法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對比分析;最后利用兩種方法進(jìn)行標(biāo)定仿真,并對標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行原位導(dǎo)航,仿真結(jié)果驗證本文所提方法是有效的。

1 問題描述

慣性儀表誤差模型(待標(biāo)參數(shù)模型)[10]為

(1)

(2)

假設(shè)待標(biāo)參數(shù)誤差為常值誤差,隨機(jī)噪聲為零均值不相關(guān)白噪聲,則

(3)

為了論述方便,記δKω和δLa構(gòu)成的各個元素分別為

(5)

式中,δKii和δLii(i=X,Y,Z)表示慣性傳感器的刻度系數(shù);δKij和δLij(i≠ji,j=X,Y,Z)表示慣性傳感器的安裝誤差系數(shù)。

(6)

2 基于矩陣分解的解耦方法

2.1 安裝誤差矩陣分解

下面首先給出矩陣分解原理。

引理1矩陣分解原理[20],任何矩陣A可分解成對稱矩陣和斜對稱矩陣之和,即

(7)

式中,矩陣F為斜對稱矩陣(FT=-F);G為對稱矩陣(GT=G)。

根據(jù)引理1可以將刻度系數(shù)/安裝誤差矩陣分解成兩部分:斜對稱誤差矩陣和對稱誤差矩陣,用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為

(8)

式中,δKScal/sym,δLScal/sym表示δKω,δLa中的對稱誤差矩陣;δKSksym,δLSksym表示δKω,δLa中的斜對稱誤差矩陣。

由于δKSksym,δLSksym具有斜對稱性,還可以寫成向量叉積形式，即

(9)

由于對稱誤差矩陣δKScal/sym,δLScal/sym包含了刻度系數(shù)誤差和安裝誤差的對稱性誤差,將其分開表示,則可分解為

(10)

式中,δKScal表示刻度系數(shù)誤差,是一個對角陣;δKSym表示安裝誤差的對稱性誤差。

因此,式(8)可以表示為

(11)

根據(jù)矩陣分解原理,矩陣分解后的誤差矩陣物理含義為:斜對稱誤差矩陣δKSksym和δLSksym表示安裝誤差陣的不對準(zhǔn)特性,指慣性儀表組相對參考軸的不對準(zhǔn);對稱性誤差矩陣δKSym和δLSym表示安裝誤差陣的非正交特性,指慣性儀表組輸出軸之間是非正交的;對角矩陣δKScal和δLScal表示刻度系數(shù)誤差。

根據(jù)對稱誤差矩陣和斜對稱誤差矩陣性質(zhì),可以得到

(12)

(13)

(14)

(15)

式(15)說明了可以通過刻度系數(shù)/安裝誤差矩陣來求解對稱誤差矩陣和斜對稱誤差矩陣,為實際應(yīng)用提供方便。

為了理解斜對稱誤差矩陣和對稱誤差矩陣物理意義,以二維平面為例進(jìn)行解釋。

圖1 安裝誤差矩陣的分解Fig.1 Decomposition of installation error matrix

從二維平面可以看出,安裝誤差矩陣分解就是將這兩類誤差分開,其中斜對稱誤差矩陣是因坐標(biāo)系失準(zhǔn)導(dǎo)致的,對稱誤差矩陣是非正交特性導(dǎo)致的。

對陀螺儀表組安裝誤差矩陣分解是對二維平面物理意義分析,該過程同樣適用于加速度計的安裝誤差分解陣的解釋。

2.2 兩類誤差對捷聯(lián)慣導(dǎo)姿態(tài)和速度方程的影響

(16)

將式(10)和式(11)代入式(16),可得

(17)

δfb=δLScalfb+δlSksym×fb+δLSymfb

(18)

2.2.1 兩類誤差對姿態(tài)誤差方程的影響

(19)

(20)

對式(20)兩邊微分可以得到

(21)

將式(17)的誤差方程代入式(21)得

(22)

(23)

從式(23)可以看出,斜對稱誤差不影響陀螺儀誤差的增長,即不對姿態(tài)誤差增長有影響。

接著分析斜對稱誤差對姿態(tài)方向影響，這種影響可以通過將該部分影響代入式(19)進(jìn)行分析，得

(24)

對式(24)進(jìn)行積分可得

(25)

式(25)說明斜對稱誤差對姿態(tài)誤差影響等價于加入一個從t=0開始的從b系到i系的姿態(tài)誤差。

2.2.2 兩類誤差對速度誤差方程影響

從捷聯(lián)慣導(dǎo)解算可以發(fā)現(xiàn),安裝誤差是通過比力fn對系統(tǒng)速度產(chǎn)生影響,而比力fn將通過被積分得到系統(tǒng)速度。因此若分析了安裝誤差對fn的影響就可以知道安裝誤差對系統(tǒng)速度的影響過程。因此僅對比力進(jìn)行分析。

對慣導(dǎo)速度微分方程中的比力變換項進(jìn)行變形得

(26)

為了分析斜對稱誤差的影響,對式(26)進(jìn)行微分展開,得

(27)

式中,Others項表示不受安裝誤差影響。

(28)

(29)

(30)

積分式(30)得到

(31)

將式(18)和式(31)代入式(27)可得

(32)

式(32)中相關(guān)項存在關(guān)系為

(33)

(34)

(35)

將式(33)～式(35)代入式(32)得到

(36)

2.3 安裝誤差矩陣解耦方法

首先明確兩個問題,第一是系統(tǒng)級標(biāo)定的待標(biāo)參數(shù)是在什么坐標(biāo)系定義的,第二是誤差方程在什么坐標(biāo)系下解算的。由式(1)和式(2)可知,24個待標(biāo)參數(shù)是針對體坐標(biāo)系b系定義的,而從方程式(6)可以得知誤差方程是在導(dǎo)航系n系中解算的。

其次分析安裝誤差矩陣產(chǎn)生耦合的原因。第2.2節(jié)內(nèi)容已經(jīng)推導(dǎo)并簡要分析了分解后的斜對稱和對稱性誤差對在n系上解算的誤差方程的影響過程,可以看出參數(shù)耦合的問題。陀螺斜對稱誤差矩陣δKSksym對姿態(tài)誤差增長無影響,對姿態(tài)誤差微分項的影響是與初始姿態(tài)誤差融合在一起共同影響的。因此,無法從姿態(tài)誤差中分離出陀螺斜對稱誤差矩陣δKSksym。由式(36)可以知道加速度計組斜對稱誤差δLSksym對速度誤差的影響是通過(δLSksym-δKSksym)項完成的,即δLSksym與δKSksym是耦合的?？梢?通過捷聯(lián)慣導(dǎo)的誤差方程,無論采用什么機(jī)動方式,都無法同時分離出δKSksym和δLSksym待標(biāo)參數(shù),這里的6個參數(shù)必然存在3組耦合關(guān)系。這就是耦合產(chǎn)生的根源。

接著分析解耦的途徑。通過分析,如果δKSksym或者δLSksym項為0,那么待標(biāo)參數(shù)的3組耦合關(guān)系可以消除,從而完成解耦。但是,由于δKSksym影響不僅涉及姿態(tài)誤差方程,還涉及速度誤差方程,而δLSksym僅出現(xiàn)在速度誤差方程中,因此,從二階舍項誤差最小角度分析,理論上最佳的解耦方式是使δKSksym為0。然而,是否能做到使δKSksym為0還需要進(jìn)一步分析。與δKSksym為0相關(guān)聯(lián)問題是δKSksym是怎么定義的。本節(jié)一開始便首先明確了δKSksym是在b系下定義的。使δKSksym=0意味著b系與I+δKSksym所確定的坐標(biāo)系重合。可見,能否根據(jù)所提方式解耦的前提條件是b坐標(biāo)系是否可以自由選擇。然而,體坐標(biāo)系定義是先決條件,只有定義了體坐標(biāo)系才可以列寫飛行力學(xué)方程、安裝載體上的各種設(shè)備(各種設(shè)備是以這個體系為基準(zhǔn)進(jìn)行安裝)等,慣性導(dǎo)航設(shè)備就是以這個基準(zhǔn)安裝在載體上[1,3]?？梢婓w坐標(biāo)系的確定不是任意的。國外文獻(xiàn)一般定義體坐標(biāo)系為:x軸沿著載體縱軸指向前,y軸沿著載體橫軸指向右,z軸與x,y軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系[1]。國內(nèi)教科書更多使用x軸沿著載體橫軸指向右,y軸沿著載體縱軸指向前,z軸與x,y軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系的定義方法[3-4]。

最后提出解耦方法。從安裝誤差產(chǎn)生的節(jié)點考慮問題。慣性儀表組先是集中安裝在IMU上,然后再安裝到載體上。存在兩次安裝過程,相應(yīng)有兩次安裝誤差。第1次的安裝誤差可以按照所提的矩陣分解法分為斜對稱誤差和對稱誤差,而第2次的安裝誤差只有斜對稱性誤差,也即只有失準(zhǔn)誤差。第1次的安裝誤差參數(shù)可以在高精度轉(zhuǎn)臺上進(jìn)行標(biāo)定,然而第2次的安裝誤差是無法在轉(zhuǎn)臺上進(jìn)行的。幸運的是，這些誤差都是一個小量,可以假設(shè)體坐標(biāo)系在這微小范圍內(nèi)是可以重新定義的。

因此,最佳解耦方法:定義體坐標(biāo)系b系與I+δKSksym所確定的坐標(biāo)系重合,則式(9)和式(10)中的待標(biāo)參數(shù)變?yōu)?/p>

(40)

可以看出這種解耦方法其實是一種均值分配方法,使各項的安裝誤差進(jìn)行一項平均,這種平均可以使捷聯(lián)慣導(dǎo)計算中的二階舍項誤差影響最小。

3 與傳統(tǒng)方法關(guān)系

分析本文所提解耦方法與傳統(tǒng)方法的關(guān)系。

傳統(tǒng)方法的待標(biāo)參數(shù)為

(42)

式中，上標(biāo)c表示傳統(tǒng)方法。

為了得到傳統(tǒng)方法與本文最佳方法的關(guān)系,需要梳理其各自的定義過程。設(shè)真實的體坐標(biāo)系為b0,傳統(tǒng)方法的體坐標(biāo)系定義為bc,而本文的體坐標(biāo)系為bnew,根據(jù)定義有下面關(guān)系:

轉(zhuǎn)動b0系,使得新坐標(biāo)系的z軸與z向陀螺單位矢量重合,而y向陀螺單位矢量在體坐標(biāo)系的yz平面內(nèi),從而得到bc。

轉(zhuǎn)動b0系,使得陀螺儀表組的安裝誤差失準(zhǔn)角為0,即陀螺儀表組只存在正交性誤差,則得到bnew。

可見本文方法與傳統(tǒng)方法的區(qū)別是體坐標(biāo)系選擇不同,本文的選擇方法是一種均值分配方法,其使各項的安裝誤差進(jìn)行一次平均。下面以二維平面為例對體坐標(biāo)系選擇進(jìn)行說明。

如圖2所示,xgyro,xacce,ygyro,yacce分別表示x,y向陀螺和加速度計的安裝位置,x和y軸是根據(jù)載體定義的b0坐標(biāo)系。xgyro,xacce,ygyro,yacce與x和y軸的誤差角分別為:θx_gyro,θx_acce,θy_gyro,θy_acce。由前面分析可知,bc系是轉(zhuǎn)動b0系,使x軸與xgyro重合,并且使ygyro在xy平面內(nèi),而bnew系是轉(zhuǎn)動b0系,使陀螺不存在失準(zhǔn)角,即圖2中xnew位置。

圖2 二維平面例子展示圖Fig.2 Schematic diagram of two dimensional plane

設(shè)斜對稱誤差角為η,對稱性誤差為μ,則有

(43)

因此有

η=(θx_gyro+θy_gyro)/2

(44)

4 仿真研究

仿真首先針對系統(tǒng)級標(biāo)定設(shè)計濾波器,然后基于該濾波器分別利用本文方法和傳統(tǒng)方法進(jìn)行標(biāo)定,最后分別利用兩種標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行原位導(dǎo)航仿真。

系統(tǒng)級標(biāo)定濾波器設(shè)計:

根據(jù)誤差微分方程,設(shè)計27維Kalman濾波器。濾波器狀態(tài)為

(45)

式中,Xg,Xa表示陀螺和加速度計待標(biāo)參數(shù)向量,分別為

(46)

(47)

式中

(48)

濾波器方程為

(49)

式中

(50)

其中

濾波器觀測方程為

Z=HX+V

(51)

式中,Z=δv；V是觀測噪聲,觀測矩陣為

H=[03×3,I3×3,03×21]

(52)

系統(tǒng)級標(biāo)定中的轉(zhuǎn)動激勵采用Camberlein設(shè)計的編排方式[6],如表1所示。設(shè)轉(zhuǎn)速為10°/s,轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動中心的速度為仿真的速度觀測值(速度為0),仿真中待標(biāo)參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表1 Camberlein設(shè)計的編排方式

表2 待標(biāo)參數(shù)仿真數(shù)值

Kalman濾波仿真結(jié)果如表2所示。其中陀螺儀安裝誤差角的3個參數(shù)分別為相應(yīng)方法的3個待標(biāo)參數(shù)。

利用標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行原位導(dǎo)航仿真,導(dǎo)航結(jié)果如圖3～圖5所示。圖3為三軸姿態(tài)誤差,圖4為速度誤差,圖5為位置誤差,從仿真結(jié)果可以看出本文方法比傳統(tǒng)方法在整體上具有小的偏差,與理論相符。

圖3 姿態(tài)角誤差Fig.3 Simulation results of attitude angle error

圖4 速度誤差Fig.4 Simulation results of velocity error

圖5 位置誤差Fig.5 Simulation results of position error

5 結(jié) 論

本文利用矩陣分解方法研究了慣導(dǎo)安裝誤差矩陣在系統(tǒng)級標(biāo)定中的耦合問題,提出一種最佳解耦方法,得到如下結(jié)論:

(1) 陀螺儀表組的斜對稱誤差矩陣δKSksym對姿態(tài)誤差增長無影響,對姿態(tài)誤差的動態(tài)方程影響等價于一個初始姿態(tài)誤差,而加速度計儀表組的斜對稱誤差δLSksym是與δKSksym通過做差對速度方程產(chǎn)生影響的,從而導(dǎo)致12個安裝誤差矩陣存在3組耦合關(guān)系；

(2) 最佳解耦方式是使陀螺儀表組的斜對稱誤差矩陣為0,即令陀螺儀表組安裝誤差中的失準(zhǔn)誤差為0；

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