精英遺傳改進的非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子與軍費開支多目標組合預測應用

張 侃, 劉寶平, 黃 棟

(海軍工程大學裝備經(jīng)濟管理系, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

軍費是軍隊建設資源的總分配器,是軍隊保障力、戰(zhàn)斗力得以生成和維系的源泉[1]。當前,軍費開支預測成為炙手可熱的研究領域,得到了各國學者的廣泛關(guān)注。軍費開支作為國家財政收入的一項主要的非生產(chǎn)性支出[2],屬于宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)范疇,與國家經(jīng)濟發(fā)展水平密切相關(guān)。按照現(xiàn)代計量經(jīng)濟學理論,將復雜經(jīng)濟系統(tǒng)中具有時序性特點的軍費開支作為國防經(jīng)濟研究領域的重要經(jīng)濟變量,容易受到環(huán)境噪聲的隨機擾動而呈現(xiàn)出非平穩(wěn)非線性的數(shù)據(jù)信息特征,使得古典假設條件失效,并引發(fā)數(shù)據(jù)觀測失真和預測誤差放大等負面效應。為有效消除這些負面效應,通常需要結(jié)合協(xié)整檢驗、參數(shù)診斷與波動模型[3]等理論工具進行經(jīng)濟數(shù)據(jù)動態(tài)特征追蹤與描述。

對軍費開支預測而言,由于各種計量模型的建模機理不同,某個計量模型只能夠從某特定角度來對軍費開支數(shù)據(jù)信息進行呈現(xiàn)和歸集,其預測結(jié)論的有效性有待加強。而組合預測的出現(xiàn),鑒于其在綜合性信息的科學選擇與統(tǒng)籌使用中的突出優(yōu)勢,則為更好地提高軍費開支預測精度,避免預測失靈提供了新的思路。一般研究認為,提高組合預測模型精度需要從兩個方面入手:一是需要對組合結(jié)構(gòu)中的基礎模型進行理論深化,利用殘差數(shù)據(jù)[4-7]來挖掘原始模型中遺漏的有用信息,進而提高基礎模型的預測適應能力;二是需要進一步優(yōu)化組合預測模型算法[8-11],減少預測的總體不確定性,提高組合預測目標值的整體預測精度。當前,國內(nèi)外學者在傳統(tǒng)組合預測模型的基礎上,通過基礎模型優(yōu)化、組合算法改進等多種手段,拓展和演化出新的組合預測模型與方法,取得了廣泛的研究成果[12-14]。本文選擇軍費開支預測作為研究切入點,將精英遺傳算法(elitist genetic algorithm,EGA)與組合預測理論相結(jié)合,引入非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子,對具有隨機波動特征的基礎預測模型時序樣本殘差進行信息提取和分析,提高整體預測精度。與此同時,本文還考慮軍費開支組合預測目標的多樣化問題,擬通過探討多種預測目標下的預測結(jié)論并對比傳統(tǒng)建模預測方法,結(jié)合實證分析證明本文所建模型的優(yōu)越性。

1 預備知識

灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子由灰色理論[15]與人工神經(jīng)網(wǎng)絡理論交叉結(jié)合產(chǎn)生,其常用形式為灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(grey model back propagation neural network,GM-BP)算子。該算子旨在通過GM(1,1)或GM(1,N)方法弱化時間序列數(shù)據(jù)隨機性來組織建模過程[16-20],而BP神經(jīng)網(wǎng)絡[21-22]作為多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡的經(jīng)典代表,蘊含了神經(jīng)網(wǎng)絡最精華、最完美的核心內(nèi)容,能夠利用非線性映射處理不規(guī)則、混沌特征的數(shù)據(jù)序列,但存在解決單純GM模型建模過程中數(shù)據(jù)自適應能力偏弱,自主學習能力較低的問題。兩者算法結(jié)合優(yōu)勢互補,能夠解決諸多實際問題。盡管如此,算子中GM部分在形式上仍為線性模型,利用該算子對非平穩(wěn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的殘差非線性特征進行描述,在高精度條件下是無法滿足要求的。因此,本文采用一種適應性更強的非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子,該算子能夠有效描述S型非線性序列特征,即G-Verhulst-BP(grey Verhulst BP neural network)算子。

定義1設Y=(y(1),y(2),…,y(n))是一個非平穩(wěn)時間序列,記為Y={y(t),t=1,2,…,n},?y(t)∈y?t∈T={1,2,…,n},若存在t*∈T,有y(t*)>y(t),t∈{1,2,…,t*-1}∪{t*+1,t*+2,…,n},則稱Y為以y(t*)為峰點的非平穩(wěn)單峰序列。

η(0)=(η(0)(1),η(0)(2),…,η(0)(n))

(1)

η(1)=(η(1)(1),η(1)(2),…,η(1)(n))

(2)

Z(1)=(z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n))

(3)

稱模型η(0)(t)+az(1)(t)=b(z(1)(t))α為非線性殘差灰色冪模型,記為GM(1,1,α);當α=2時,稱η(0)(t)+az(1)(t)=b(z(1)(t))2為非線性殘差G-Verhulst模型,其中,a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。

定義3將定義2中序列η(0)的前s(1≤s≤n)個數(shù)據(jù)記為(G-Verhulst)s,若要求建立非線性殘差G-Verhulst模型的數(shù)據(jù)下限個數(shù)為m(m≤n),則可建立的模型個數(shù)為n-m+1個,分別記為(G-Verhulst)m,(G-Verhulst)m+1,…,(G-Verhulst)n,其共同構(gòu)成的模型組稱為(G-Verhulst)m～n模型組。

證明由灰色理論知識,仿照GM(1,1)的白化模型與定義型關(guān)系,容易得到非線性殘差G-Verhulst白化模型與定義式的關(guān)系。下面重點證明非線性殘差G-Verhulst模型白化響應式。

左邊按部分分式分解,得

故有

(4)

(5)

取t0=1,t=t′+1, 有

(6)

證畢

證明G-Verhulst模型定義式η(0)(t)+az(1)(t)=b(z(1)(t))2,以t=2,3…,n中的η(0)(t),z(1)(t)代入有

η(0)(2)+az(1)(2)=b(z(1)(2))2

η(0)(3)+az(1)(3)=b(z(1)(3))2

?

η(0)(n)+az(1)(n)=b(z(1)(n))2

整理后有

η*=GP

(7)

(8)

由最小二乘準則得

P=(GTG)-1GTη*

(9)

(10)

(12)

證畢

定理3對于任何在閉區(qū)間內(nèi)一個連續(xù)函數(shù)都可以用單隱層的BP網(wǎng)絡逼近,故一個3層BP網(wǎng)絡可以任意精度逼近任何一個非線性映射(該定理參考文獻[23],證明略)。

2 軍費開支多目標組合預測原理

2.1 問題描述

假設某國軍費開支可由m種不同基礎模型分別進行預測。由定義1知,Y={y(t),t=1,2,…,n}為n維實際觀測值,令fi(t)為由第i種基礎模型預測得到的第t個預測值,σi為第i種基礎模型的權(quán)重,Ei(t)=y(t)-fi(t)為第i種基礎模型預測得到的第t個預測值的殘差。由m種計量模型構(gòu)成的計量組合預測模型為

(13)

式中,E(t)為m種基礎模型組合預測得到的第t個預測值的殘差。

2.2 常用評價準則的多目標組合

(14)

minφ=φ(S1,S2,S3)

1≥σi≥0

i=1,2,…,m

(15)

式中,φ(S1,S2,S3)為目標函數(shù);S1,S2,S3分別代表準則1～準則3。為確保權(quán)系數(shù)具有實際意義,故要求權(quán)系數(shù)σi必須為正數(shù)。

3 總體建模思路與分系統(tǒng)設計

3.1 總體建模思路步驟

利用非線性灰色網(wǎng)絡神經(jīng)算子(G-Verhulst-BP算子)在非線性殘差修正中的優(yōu)勢,構(gòu)建軍費開支多目標組合預測模型,并采用EGA算法提高對組合預測目標函數(shù)的逼近速度和精度,給出具體的分系統(tǒng)設計與總體建模思路,完整過程如圖1所示,大體分為4個步驟:

步驟1明確研究對象。采用計量經(jīng)濟學傳統(tǒng)方法分析已知軍費開支樣本,檢驗其趨勢性、異方差性、記憶性、自相關(guān)性等規(guī)律特點,針對性地進行數(shù)據(jù)平滑處理等準備工作,為進行特征描述與數(shù)學建模奠定基礎。

步驟2基礎模型設計與改進。按照步驟1中表現(xiàn)出的序列多樣性特征,分別建立獨立描述單一特征規(guī)律的多項式分布滯后(polynomial distribution lag,PDL)模型、自回歸條件異方差(autoregressive conclitional heteroskedasticity,ARCH)模型和自回歸積分滑動平均(autoregressive integrated moving average,ARIMA)模型等計量模型作為軍費開支基礎預測模型。利用殘差檢驗對基礎預測模型進行殘差信息收集,引入非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子(G-Verhulst-BP算子)進行殘差修正,運用分系統(tǒng)一改進基礎模型預測精度。分別構(gòu)建非線性殘差特征下的G-Verhulst-BP(PDL)模型、G-Verhulst-BP(ARCH)模型和G-Verhulst-BP(ARIMA)模型,構(gòu)成模型組的基本形式為

(16)

式中,εt_PDL、εt_ARCH、εt_ARIMA為殘差模型。

步驟3組合預測模型建立與優(yōu)化。為建立G-Verhulst-BP計量組合預測模型,可以通過構(gòu)建基于MSE、MAE、MAPE 3種準則的不同偏好映射,設計組合目標函數(shù)進行實現(xiàn)。利用分系統(tǒng)二來提高目標搜索效率與收斂速度,進一步提高軍費開支預測精度。基本形式為

(17)

步驟4建模效果對比與評估。比較不同預測模型的預測精度,研究分系統(tǒng)設計對于提高模型預測精度的影響程度,并與EGA策略下的模型精度進行對比分析,研究收斂速度與精度的差異,說明引入非線性G-Verhulst-BP算子后的模型具有更強的優(yōu)越性。

圖1 軍費開支多目標組合預測完整流程圖Fig.1 Complete flow chart of military expenditure multi-objective combination forecasting

3.2 分系統(tǒng)一: 非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子設計

分系統(tǒng)一的設計思想旨在構(gòu)建一種S型非線性序列特征灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子,即G-Verhulst-BP算子。該算子吸收灰色理論與神經(jīng)網(wǎng)絡的優(yōu)點,進行優(yōu)勢互補,具有自主學習能力強、計算量小、預測精度高、誤差可控等突出特點。G-Verhulst-BP算子實現(xiàn)步驟如下:

步驟1程序初始化。導入原始數(shù)據(jù)序列η(0)=(η(0)(1),η(0)(2),…,η(0)(n)),設定建立G-Verhulst模型所需數(shù)據(jù)下限值m。

3.3 分系統(tǒng)二: EGA算法設計

分系統(tǒng)二主要設計思想是采用EGA[24-25]對目標收斂計算過程進行優(yōu)化。該算法由標準遺傳算法(standard genetic algorithm,SGA)與精英選擇策略有機結(jié)合形成,能夠有效克服SGA在使用過程中經(jīng)常出現(xiàn)的個體早熟,防止掉進局部最優(yōu)陷阱而導致的進化停滯現(xiàn)象,從而無法在全局范圍內(nèi)尋求最優(yōu)的收斂結(jié)果。篇幅所限,關(guān)于分系統(tǒng)二的主要參數(shù)設定及程序?qū)崿F(xiàn)步驟參考文獻[26]。

4 實證研究

4.1 數(shù)據(jù)來源和研究樣本

本文選取自“冷戰(zhàn)”結(jié)束(以1989年柏林墻倒塌為標志)后美國27年間(1990-2016年)的軍費開支作為研究樣本,全部數(shù)據(jù)來源于瑞典斯德哥爾摩國際和平研究所官方年鑒。利用自然對數(shù)進行數(shù)據(jù)平滑處理,得到處理后原始時間序列樣本27個。

4.2 實證分析

將軍費開支樣本數(shù)據(jù)分為擬合樣本與預測樣本兩類,以美國軍費開支1990-2013年的數(shù)據(jù)作為擬合樣本,共24組,用于模型的初始構(gòu)建。同時,以美國軍費開支2014-2016年的數(shù)據(jù)作為預測樣本,共3組,用于檢驗模型預測實際效果。考察序列的趨勢性、記憶性、自相關(guān)性、異方差性等特征,分別建立基礎模型——PDL、ARCH和ARIMA 3種計量經(jīng)濟模型進行軍費開支預測。其中,ARCH模型的參數(shù)形式為GARCH(1,1),屬于廣義自回歸條件異方差模型,適用于存在高階殘差自相關(guān)的情形。各基礎模型參數(shù)特征與有效性檢驗結(jié)果如表1所示。

表1 基礎模型及相關(guān)參數(shù)估計

結(jié)果顯示,基本檢驗指標中赤池信息準則(Akaike information criterion,AIC)和施瓦茨準則(Schwarz criterion,SC)均處于可以接受的理想范圍內(nèi),同時各基礎模型均較好地通過L檢驗,說明模型參數(shù)正確,通過了顯著性檢驗,即模型建立依據(jù)充分合理。對各基礎模型殘差進行線性假設檢驗,建立殘差線性方程,檢驗結(jié)果具體如表2所示。

表2 殘差方程與線性假設檢驗

表3 非線性殘差G-Verhulst模型參數(shù)估計與誤差修正

對24組軍費開支數(shù)據(jù)進行樣本分析(1990-2013年),給出了G-Verhulst-BP算子預測公式的基本參數(shù)。經(jīng)過1 000次訓練迭代后,模型殘值擬合誤差已經(jīng)迅速縮小到到3.969×10-5,其修正后總誤差分別為0.611、0.689和0.599,與相對應的基礎模型預測誤差相比,誤差更小,結(jié)果更理想,說明模型修正后的預測精度得到有效提高。經(jīng)訓練后的殘差估值與原值間擬合效果如圖2和圖3所示。

圖2 非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子訓練效果Fig.2 Training effect of nonlinear gray neural network operator

圖3 非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子殘差擬合效果Fig.3 Residual fit effect of nonlinear gray neural network operator

綜合考察G-Verhulst-BP(PDL)模型、G-Verhulst-BP(ARCH)模型和G-Verhulst-BP(ARIMA)模型,選取1990～2013年數(shù)據(jù)作為訓練樣本,構(gòu)建G-Verhulst-BP計量組合預測模型,并利用EGA算法來優(yōu)化模型計算結(jié)果。以滾動驗證方式,分別將2014-2016年數(shù)據(jù)作為測試樣本,檢驗最終模型預測效果。EGA算法的主要參數(shù)設定如下:種群規(guī)模Q=100,精英庫種群規(guī)模Q*=10,種群進化代數(shù)閾值genmax=200,遺傳概率pr=0.99,交叉概率pc=0.8,變異概率pn=0.2,適應度函數(shù)值偏差閾值為1×10-100;EGA算法運行環(huán)境如下:軟件Matlab R2014a,操作系統(tǒng)Windows7,Intel(R) Core CPU P8700,主頻2.53 GHz,內(nèi)存2.99 G。結(jié)合上述設定,當目標函數(shù)為φ1=S1時,計算可以得到最佳個體值依次為0.303、0.159和0.538,最佳適應度值1.310×10-3。計算過程中最佳適應度迭代及個體距離散點分布情況等如圖4～圖6所示。

圖4 EGA收斂散點圖Fig.4 EGA convergence scatter plot

圖5 同代最佳個體與最差個體適應度值比較Fig.5 Comparison of fitness values of the best and the worst individual in the same generation

圖6 種群個體平均間距散點圖Fig.6 Scatter plot of average spacing of population

可以發(fā)現(xiàn),種群最佳適應度值隨著進化代數(shù)增加而迅速收斂,種群個體間距不斷縮小,說明種群整體基因得到有效改善。大約經(jīng)過20代后收斂效果已非常明顯,40代后得到穩(wěn)定的滿意結(jié)果,算法整體運行時間較短,擬合結(jié)果較為精確。同理按照φ2=S2,φ3=S3,φ4=S1+S2+S3等目標函數(shù)進

行權(quán)重分配,得到表4中關(guān)于多目標組合預測NP完全問題的一組Pareto最優(yōu)解。此時,不同目標函數(shù)下的各評價準則下的誤差值均較小,各權(quán)重值相對穩(wěn)定,說明G-Verhulst-BP計量組合預測模型已經(jīng)滿足預期要求,模型擬合效果優(yōu)良,具有良好的穩(wěn)定性。

4.3 算法分析評估

圖7和圖8顯示,傳統(tǒng)SGA算法在進化至160代左右才顯著收斂于最優(yōu)值,收斂速度僅為EGA算法的1/4。SGA算法的均方誤差值達到1.437×10-3,大于EGA算法的均方誤差,較EGA算法收斂速度稍慢,精確度較差。這說明相比而言,EGA算法綜合性能更為優(yōu)越。選擇綜合評價效果最好的G-Verhulst-BP計量組合預測模型形式④,比較各預測模型的預測效果。為便于語言敘述,令符號Ⅰ-Ⅶ依次分別代表PDL模型、ARCH模型、ARIMA模型、G-Verhulst-BP(PDL)模型、G-Verhulst-BP(ARCH)模型、G-Verhulst-BP(ARIMA)模型和EGA算法改進的非線性G-Verhulst-BP計量組合預測模型。預測樣本為美國2014-2016年軍費開支(對數(shù)化形式數(shù)據(jù)組),預測結(jié)果如表5所示。

表4 多準則目標決策下的Pareto最優(yōu)解

圖7 SGA算法收斂散點圖Fig.7 SGA convergence scatter plot

圖8 SGA算法同代個體適應度值比較Fig.8 Comparison of fitness values in the same generation by SGA

年份實際數(shù)值Ⅰ估值誤差/%Ⅱ估值誤差/%Ⅲ估值誤差/%Ⅳ估值誤差/%Ⅴ估值誤差/%Ⅵ估值誤差/%Ⅶ估值誤差/%20148.7168.611-1.218.626-1.048.615-1.178.655-0.708.7570.468.669-0.548.678-0.4320158.6938.571-1.428.589-1.218.600-1.088.609-0.978.7540.698.7250.368.690-0.0320168.7188.567-1.768.580-1.608.580-1.608.701-0.198.8651.658.8361.338.7940.86

由表5知,模型Ⅶ的綜合預測誤差最小,因而該模型預測效果最佳。同時,模型Ⅳ、模型Ⅴ、模型Ⅵ考慮殘差影響,利用非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子進行殘差修正,故預測效果優(yōu)于基礎模型Ⅰ～模型Ⅲ,符合殘差修正理論預期。說明經(jīng)過分系統(tǒng)一(非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子)和分系統(tǒng)二(EGA)的二輪修正,能夠有效提高軍費開支模型預測效果。

5 結(jié) 論

本文從軍費開支時序特征分析入手,利用MSE、MAE、MAPE等準則來研究多目標組合下的軍費開支預測問題。為提高預測模型精度,引入G-Verhulst-BP算子和EGA算法進行模型精度改進。采用美國軍費開支進行實證檢驗,對比不同模型擬合與預測結(jié)果,有以下結(jié)論:

(1) 3種G-Verhulst-BP算子預測模型(即G-Verhulst-BP(PDL)模型、G-Verhulst-BP(ARCH)模型、G-Verhulst-BP(ARIMA)模型)的修正后擬合誤差均小于基礎模型,總誤差減少幅度依次為0.154、0.215、0.067,說明非線性灰色神經(jīng)網(wǎng)絡算子能夠有效提高模型精度。

(2) EGA算法較SGA算法收斂精度更高(分別為1.310×10-3和1.437×10-3),收斂時間更短(分別為40代和160代),說明EGA算法在優(yōu)化搜索過程中實際使用效果更好。

(3) 綜合G-Verhulst-BP算子和EGA算法優(yōu)點,本文構(gòu)建的基于EGA算法改進的非線性G-Verhulst-BP計量組合預測模型2014-2016年預測平均誤差為0.44%,小于其他預測模型,說明預測精度更高,預測建模效果更好。

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