錐面共形陣列非圓信號2D-DOA估計(jì)

張 羚, 郭 英, 鄒 峰, 齊子森

(1. 空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院, 陜西 西安 710077; 2. 中國人民解放軍駐西飛公司軍事代表室,陜西 西安 710089; 3.中國人民解放軍94826部隊(duì), 上海 200433)

0 引 言

“智巧蒙皮”的共形陣列天線在天線需求領(lǐng)域中有著廣闊的市場,如航空航天、彈載雷達(dá)、聲吶設(shè)備、移動(dòng)通信等。近些年,就共形陣列天線的波束成形,測向以及優(yōu)化布陣問題的研究已成為熱點(diǎn)[1-6]。其中,極化參數(shù)與波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)耦合,是共形陣列天線DOA估計(jì)與經(jīng)典線陣、面陣DOA估計(jì)的主要區(qū)別與關(guān)鍵難點(diǎn)。

針對共形陣列的DOA估計(jì)問題,國內(nèi)外學(xué)者已展開大量研究,相關(guān)成果主要集中在共形陣列快拍數(shù)據(jù)建模,盲極化DOA估計(jì)[1-3]以及信源方位與極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)[4-5]。其中,未利用非圓信號橢圓協(xié)方差非零特性的共形陣列天線的DOA盲極化算法[1-3]方面的研究已經(jīng)相對成熟,算法通過對共形載體上陣元的優(yōu)化布設(shè)并結(jié)合旋轉(zhuǎn)不變子空間思想,劃分可構(gòu)成幾何關(guān)系的幾個(gè)距離矢量子陣對,在不需要或者獲取不了極化參數(shù)參數(shù)的情況下得到角度參數(shù)的解析解。然而此類算法的空間譜估計(jì)能力的提升是以增加信噪比、獲取更多采樣數(shù)、增加陣元數(shù)為代價(jià)獲得的,實(shí)際環(huán)境下較難實(shí)現(xiàn)。針對經(jīng)典線陣、面陣,充分利用某些復(fù)隨機(jī)信號如二進(jìn)制相移鍵控(binary phase shift keying,BPSK)、幅移鍵控(amplitude shift keying,ASK)、振幅調(diào)制(amplitude modulation,AM)等調(diào)制信號的“非圓”性質(zhì)來提高空間譜估計(jì)精度的研究已取得豐碩成果[7-12]。利用非圓信號[8]特性,將陣列虛擬擴(kuò)展的思想從普通形式陣列引入到共形陣列,在同等條件下,比未利用非圓信號特性的算法估計(jì)效果要好,但該算法僅適用于柱面共形載體,存在著很大的局限性[6]。在實(shí)際應(yīng)用中,如彈載導(dǎo)引頭、機(jī)載首部等錐面結(jié)構(gòu),是更加常見的共形載體結(jié)構(gòu),然而已有算法并不適用于錐面共形陣列。所以,利用信號統(tǒng)計(jì)特性,提升共形陣列DOA估計(jì)效果的研究并不充分。

本文針對錐面共形陣列天線的DOA估計(jì)問題,利用非圓信號橢圓協(xié)方差矩陣不為零特性,對陣列進(jìn)行虛擬擴(kuò)展,并建立陣列天線的數(shù)據(jù)模型。通過全局以及局部坐標(biāo)系的建立,合理的陣元布局,實(shí)現(xiàn)極化參數(shù)、陣元方向圖與角度參數(shù)“去耦合”。在對獨(dú)立信源進(jìn)行二維角度估計(jì)過程中,創(chuàng)新性地將非圓-旋轉(zhuǎn)不變子空間(non-circular estimation of signal parameters via rotation invariant technique, NC-ESPRIT)算法“移植”到具有多極化特性的共形陣列算法;在估計(jì)相干信源時(shí),分別對真實(shí)陣元和虛擬陣元進(jìn)行空間平滑預(yù)處理,擴(kuò)展了算法的適用范圍。最后通過計(jì)算機(jī)蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證錐面共形陣列非圓信號二維DOA(two dimensional-DOA,2D-DOA)算法的可行性和優(yōu)越性。

1 錐面共形陣列數(shù)據(jù)模型

1.1 錐面共形陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

圖1 陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)Fig.1 Design of array structure

上述陣列布局具有以下幾個(gè)方面的優(yōu)勢:

(1) 由于信號的“非圓”虛擬擴(kuò)展性,真實(shí)陣元和虛擬陣元是鏡像對稱的,所以按上述布局可使虛擬陣元與真實(shí)陣元置于一條母線上,可視為線陣,便于接收模型的建立。

(2) 由于窄帶遠(yuǎn)場信號的假設(shè)前提,在同一母線上的陣元可以忽略其方向圖指向的差異性。同一母線上布設(shè)的陣元響應(yīng)同一來波信號的差別僅來自于相位差,從而可以構(gòu)造適用于經(jīng)典陣列天線非圓旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號參數(shù)算法的子陣對,簡化了整體算法的復(fù)雜度。

(3) 在所構(gòu)造的5個(gè)不同位置矢量的子陣對是利用NC-ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)二維角度參數(shù)估計(jì)的關(guān)鍵,由于對導(dǎo)向矢量模型沒有要求,因而有效克服共形載體的多極化特性。每對子陣對之間的距離矢量只包含信源的二維角參數(shù),而對極化參數(shù)沒有要求。因此基于上述陣元布局結(jié)構(gòu),應(yīng)用NC-ESPRIT算法可實(shí)現(xiàn)對角參數(shù)信息和極化參數(shù)信息的去耦合,從而實(shí)現(xiàn)盲極化DOA估計(jì)。

(4) 在平面陣中[13]已經(jīng)有利用子陣之間距離矢量的特殊性成功實(shí)現(xiàn)二維參數(shù)估計(jì)的案例,并給出了參數(shù)估計(jì)的解析解。盡管本文中子陣對之間的距離矢量并不是特殊值,但是可以利用錐面載體上設(shè)置的5條母線夾角之間的關(guān)系,結(jié)合l1,l2,l3子陣對的數(shù)據(jù),可以獲得二維角參數(shù)估計(jì)的解析解。再利用母線l4,l5子陣對的數(shù)據(jù)對多個(gè)來波信號進(jìn)行參數(shù)配對。

1.2 錐面共形陣列非圓信號數(shù)據(jù)建模

由圖1(c)可知:由于共形陣列天線的全局坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系并不一致,因此陣元方向圖的指向也不同,所以需通過陣元方向圖旋轉(zhuǎn)[14]來完成共形虛擬擴(kuò)展陣列DOA估計(jì)的第一步。m元共形陣列,n個(gè)窄帶、最大非圓率點(diǎn)源以平面波入射(波長為),且在的情況下,以全局坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為參考點(diǎn),共形陣列天線導(dǎo)向矢量:

(1)

u=sinθcosφX+sinθsinφY+cosθZ

(2)

|gi||pl|cosθigk=gi·pl=giθkθ+giφkφ

(3)

式中,u為信源單位矢量于全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)表達(dá)形式;θ為來波俯仰角,表示來波位置矢量與全局坐標(biāo)系中Z軸的夾角;φ為來波方位角,表示DOA矢量在XOY面上的投影與X軸的夾角;ri表示子陣中第i個(gè)陣元響應(yīng)單位信號的表達(dá)式;gi為第i個(gè)陣元的方向圖表示式;giθ,giφ分別為第i個(gè)陣元在信源構(gòu)成的矢量基uθ,uφ上的單位矢量;kθ,kφ表示來波信號的極化狀態(tài);pl為來波信號的電場矢量;θigk為gi與pl之間的夾角;Pm是相對于坐標(biāo)原點(diǎn)陣元位置矢量表達(dá)式。

將式(3)代入式(1)有

a(θi,φi)=aiθ(θi,φi)kiθ+aiφ(θi,φi)kiφ

(4)

當(dāng)有n個(gè)入射信號時(shí),可得流形矩陣為

A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θn,φn)]=AθKθ+AφKφ

(5)

式中

Aθ=[aθ(θ1,φ1),aθ(θ2,φ2),…,aθ(θn,φn)]

Aφ=[aφ(θ1,φ1),aφ(θ2,φ2),…,aφ(θn,φn)]

Kφ=diag(k1φ,k2φ,…,knφ)

Kθ=diag(k1θ,k2θ,…,knθ)

疊加噪聲后的非圓虛擬擴(kuò)展快拍數(shù)矩陣可表示[8]為

(6)

由于最大非圓率信號具有關(guān)系[8,15]為

(7)

將式(7)代入式(6),得

AncS+Nnc=X0(nc)+Nnc

(8)

X=AS+N=(AθKθ+AφKφ)S+N

共形陣列天線陣元輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣定義為

(9)

式中,(·)H表示取(·)的共軛轉(zhuǎn)置;RS=E[SSH]為多個(gè)來波信號組成信源矢量的協(xié)方差矩陣;I2m為2m維單位矩陣;σ2為噪聲功率。

然后,進(jìn)行協(xié)方差矩陣Rnc特征值分解,即

(10)

式中,將特征值分解后得到的特征值按從小到大排序,取后n個(gè)值為主對角線元素的對角陣ΣS,并且將對應(yīng)的特征矢量作為矩陣US的列向量;取前2m-n個(gè)值為主對角線元素的對角陣ΣN，并且將對應(yīng)特征矢量作為矩陣UN的列向量；US代表的是協(xié)方差矩陣Rnc的信號子空間;UN則是噪聲子空間。

取有限次快拍數(shù),Rnc一致估計(jì)值為

(11)

2 非圓信號盲極化2D-DOA估計(jì)算法

本節(jié)分別針對獨(dú)立信源、相干信源情況下,理論推導(dǎo)錐面共形陣列天線非圓信號盲極化2D-DOA估計(jì)算法的適用性。在陣列結(jié)構(gòu)以及數(shù)據(jù)模型建立的基礎(chǔ)上,利用各母線陣元非圓旋轉(zhuǎn)不變性原理,建立同一母線上的陣列流形,由于各母線上陣元排布相同,因此可以將流形矩陣的理論推導(dǎo)過程推廣到所設(shè)置的其他幾條母線上。然后,利用非圓信號的虛擬擴(kuò)展性對陣列接收模型進(jìn)行陣元的虛擬加倍。最后根據(jù)解析解公式實(shí)現(xiàn)二維角度參數(shù)的分維估計(jì)。

2.1 基于NC-ESPRIT 錐面共形非圓信號算法

NC-ESPRIT算法[8]利用了旋轉(zhuǎn)不變的信號子空間特性進(jìn)行空間譜估計(jì)。該算法每構(gòu)造一個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同且具有一定距離的子陣對可以估計(jì)一個(gè)參數(shù)。每條母線上的子陣對劃分如圖2所示。陣元1～m-1,m+1～2m-1和陣元2～m,m+2～2m構(gòu)成一對子陣對,并且兩陣列間隔0.5λ。盡管5條母線的距離矢量(陣元1與陣元2之間構(gòu)成的距離矢量)的長度一致,但方向不同,理論上是可以估計(jì)5個(gè)參量,而本章只需要估計(jì)兩個(gè)方位參數(shù),但是由于3條母線之間的夾角不是特殊角,因此需要多增加一對子陣對,從而可以得到二維角參量的解析解。為應(yīng)對多個(gè)來波信號,再增加兩對子陣對用于參數(shù)配對。

圖2 子陣劃分圖Fig.2 Partition of subarray

子陣對1中的子陣1設(shè)為l11, 其接收數(shù)據(jù)為

X11=A11S+N11=(A11θKθ+A11φKφ)S+N11

(12)

子陣對1中的子陣2設(shè)為l12, 其接收數(shù)據(jù)為

X12=A12S+N12=(A11θKθ+A11φKφ)Φ1S+N12

(13)

Φ1=diag[exp(-jw11),exp(-jw12),…,exp(-jw1n)]

(14)

w1i=(2π/λ)dv1·ui=πv1·ui=

π[sinθv1cosφv1sinθicosφi+

sinθv1sinφv1sinθisinφi+cosθv1cosθi]

(15)

母線l1上,真實(shí)陣元的快拍數(shù)據(jù)為

X1=A1S+N1=(A1θKθ+A1φKφ)S+N1=

[X11;X12(m-1,∶)]

(16)

特別地,NC-ESPRIT利用了非圓信號的特征,虛擬擴(kuò)展陣列的同時(shí),接收數(shù)據(jù)維數(shù)也相應(yīng)加倍,即

(17)

將式(8)代入式(17),可得

(18)

由式(10)和式(11)可得子陣對1輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(19)

子陣對1的流形矩陣張成的子空間與特征值分解處理后得到的信號子空間是相同的,即

span{A1(nc)}=span{US1}

(20)

因此,有且只有一個(gè)非奇異矩陣T1,使得

A1(nc)=US1T1

(21)

由于A1(nc)的ESPRIT特性,因此有

J1(nc)A1(nc)Φ1=J2(nc)A1(nc)

(22)

式中,選擇矩陣[16]J1(nc),J2(nc)為

式中,I(m-1)(m-1)是一個(gè)(m-1)×(m-1)維單位陣,0(m-1)(m-1)是一個(gè)(m-1)×(m-1)維的零矩陣,0(m-1)1是一個(gè)(m-1)×1維的零向量。

根據(jù)式(21)的ESPRIT關(guān)系,式(22)以信號子空間作為表達(dá)方式為

(23)

(24)

(25)

exp(-jwli)=tli

(26)

結(jié)合關(guān)系α1=π-α3,α2∈(α1,α3)解式(27)～ 式(29)有

φi=

(27)

(28)

zji=angle(tli)/(2πd)，j=1,2,3

(29)

式中,θi,φi分別表示第i個(gè)來波信號在全局坐標(biāo)系下的俯仰和方位角;θv b,φv b(b=1,2,3;i=1,2,…,n)分別表示子陣對b的距離矢量在全局坐標(biāo)系中的俯仰角和方位角;angle(·)表示求復(fù)數(shù)(·)的相位角。

exp(-jw5i)=exp(-jw1i)exp(-jw2i)

(30)

exp(-jw4i)=exp(-jw1i)exp(-jw3i)

(31)

借鑒式(15)可知

wli=(2π/λ)ΔPl·ui=

(2π/λ)|ΔPl|(sinθΔPlcosφΔPlsinθicosφi+

sinθΔPlsinφΔPlsinθisinφi+cosθΔPlcosθi)

(32)

min{|t5i-t1jt2k|,i,k=1,2,…,n}

(33)

t1j與滿足式(34)的t3k相對應(yīng),即

min{|t4i-t1jt3k|,i,k=1,2,…,n}

(34)

綜上可以完成滿足當(dāng)入射信號為獨(dú)立信源時(shí),錐面共形虛擬擴(kuò)展陣列算法的理論推導(dǎo),將算法步驟總結(jié)如下:

步驟4根據(jù)式(33), 式(34)實(shí)現(xiàn)參數(shù)的配對;

步驟5結(jié)合式(26)～式(29),求得最終的二維角參數(shù)φi,θi。

2.2 錐面共形陣列非圓信號解相干預(yù)處理

當(dāng)入射信號為相干信源時(shí),信號協(xié)方差矩陣(式(9)中的RS)的秩受到損耗,不再等于信源個(gè)數(shù),且信號子空間維數(shù)降低,不再等于陣列流形矩陣的秩。因此通過特征值分解得到信號子空間與流行矩陣所張成的信號子空間不一致,這導(dǎo)致了特征值分解類DOA算法無法適用于相干信源情況。

就上述情況,擬采用空間平滑算法對入射的相干信號進(jìn)行解相干,具體思路如下:

空間平滑算法主要運(yùn)用于均勻線陣,是因?yàn)槔昧司鶆蚓€陣的平移不變性。方法是將均勻線陣劃分成相互重疊且結(jié)構(gòu)完全相同的L個(gè)子陣,因此每個(gè)子陣陣元數(shù)相同(這里設(shè)為q個(gè))且每個(gè)子陣包含的方位信息也是一致的,將各子陣的自協(xié)方差矩陣進(jìn)行算數(shù)平均得到q階子陣列協(xié)方差矩陣。當(dāng)子陣中所包含的陣元個(gè)數(shù)大于所需探測的信源個(gè)數(shù)時(shí),經(jīng)空間平滑算法處理得到協(xié)方差矩陣分解后得到的信源協(xié)方差矩陣恢復(fù)為滿秩。錐面共形虛擬擴(kuò)展陣列由于同時(shí)受到共形載體曲率以及建立虛擬擴(kuò)展陣列數(shù)據(jù)矩陣特殊性的影響,在“移植”空間平滑算法時(shí)存在一定難度。本節(jié)通過合理的陣元布局,將同一母線上真實(shí)陣元部分以及虛擬陣元部分分別進(jìn)行子陣劃分,又由于同一母線上的陣元對同一來波信號而言陣元方向圖響應(yīng)是近似一致的,可以克服由共形載體曲率所帶來的影響,此時(shí)空間平滑算法將得以適用。

同一條母線上真實(shí)陣元構(gòu)成的子陣接收數(shù)據(jù)矩陣為

XlR=AlRS+NlR

(35)

AlR=[alR(θ1,φ1),alR(θ2,φ2),…,alR(θn,φn)]

(36)

(37)

同樣,同一條母線上虛擬陣元構(gòu)成的子陣接收數(shù)據(jù)矩陣為

XlI=AlIS+NlI

(38)

AlI=[alI(θ1,φ1),alI(θ2,φ2),…,alI(θn,φn)]

(39)

(40)

由于圓錐面上同一條母線的曲率不發(fā)生變化,因此同一母線上陣元方向圖指向一致,所以

rl1=rl2=…=rlm=rlR

(41)

rlm+1=rlm+2=…=rl2m=rlI

(42)

結(jié)合式(37)與式( 41),得到

(43)

所以有

AlR=rlR[alR0(θ1,φ1),alR0(θ2,φ2),…,alR0(θn,φn)]=rlRAlR0

(44)

同理,結(jié)合式(40)與式(42),得到

AlI=rlI[alI0(θ1,φ1),alI0(θ2,φ2),…,alI0(θn,φn)]=rlIAlI0

(45)

式中,AlR0和AlI0可視為均勻線陣的流形矩陣。將同一母線上的真實(shí)陣元和對應(yīng)母線上的虛擬陣元構(gòu)成的陣列分別平滑處理為L個(gè)子陣,每個(gè)子陣的陣元數(shù)為q,第i個(gè)真實(shí)子陣和虛擬子陣接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣分別是

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

將式(44)和式(46)代入式(49),得

(51)

所以有

(52)

同理將式(45)和式(47)代入式(50)后有

(53)

(54)

本節(jié)完成了錐面共形陣列天線非圓信號的空間平滑解相干算法的理論推導(dǎo),將算法步驟總結(jié)如下:

步驟1求同一條母線上真實(shí)陣元構(gòu)成的子陣接收數(shù)據(jù)矩陣Xlr和虛擬陣元構(gòu)成的子陣接收數(shù)據(jù)矩陣XlI；

步驟2根據(jù)同一母線圓錐面載體曲率不變的特點(diǎn),獲得簡化后得流形矩陣矩陣AlR0和AlI0;

步驟5后續(xù)步驟同獨(dú)立信源時(shí)步驟3～步驟 5。

3 仿真驗(yàn)證

本節(jié)就所提算法的有效性,精確度等性能指標(biāo)進(jìn)行蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),并和相同真實(shí)陣元布局的非擴(kuò)展錐面陣列天線DOA估計(jì)算法進(jìn)行對比,驗(yàn)證相關(guān)結(jié)論。這里進(jìn)行對比的算法是基于圖1(a)中真實(shí)陣元部分,即無虛擬擴(kuò)展步驟的算法 (第2.1節(jié)算法的對比算法是文獻(xiàn)[1],除了將文獻(xiàn)[1]中的母線數(shù)目設(shè)置為5條,其他仿真條件皆與所提算法一致,前3條用于參數(shù)估計(jì),額外2條母線用于參數(shù)配對;第2.2節(jié)算法對比算法是文獻(xiàn)[2]),圖3～圖8中無NC標(biāo)注是對比算法,標(biāo)注NC的為本文所提算法。

在本文蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)中,將估計(jì)值與真值的偏差小于2°的情況認(rèn)定為估計(jì)成功。將主要性能指標(biāo)列舉如下:

估計(jì)偏差=abs(估計(jì)均值-真值)

式中,n為成功估計(jì)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)。

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)1

(1)仿真條件

仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。

圖3 獨(dú)立信源成功率分析Fig.3 Success rate analysis of independent signals

圖4 獨(dú)立信源估計(jì)偏差分析Fig.4 Estimation deviation analysis of independent signals

圖5 獨(dú)立信源估計(jì)方差分析Fig.5 Estimation variance analysis of independent signals

(2) 結(jié)果分析

當(dāng)來波信號是獨(dú)立信源時(shí),第2.1節(jié)所提算法中在SNR較低(0～10 dB)的情況下,成功率隨SNR成正比,并趨于100%,在SNR較低(0～15 dB)的情況下,參數(shù)的估計(jì)方差隨SNR呈反比的趨勢,俯仰角的方差從整體上看要小于方位角。在與文獻(xiàn)[1]算法比較中:SNR<10 dB時(shí),所提算法探測來波信號俯仰角和方位角的成功率皆高于文獻(xiàn)[1]算法;所提算法估計(jì)偏差的波動(dòng)幅度要小于文獻(xiàn)[1]算法;非虛擬擴(kuò)展陣列天線(文獻(xiàn)[1])的二維角參數(shù)估計(jì)方差大于虛擬擴(kuò)展陣列天線(本文所提算法)。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)2

(1)仿真條件

來波信號是相干信源,其余條件同實(shí)驗(yàn)1。

仿真結(jié)果如圖6～圖8所示。

圖6 相干信源成功率分析Fig.6 Success rate analysis of coherent signals

圖7 相干信源估計(jì)偏差分析Fig.7 Estimation deviation analysis of coherent signals

圖8 相干信源估計(jì)方差分析Fig.8 Estimation variance analysis of coherent signals

(2) 結(jié)果分析

當(dāng)來波信號是相干信源時(shí),第2.2節(jié)所提算法探測信源方位、俯仰角的成功概率與信噪比呈正比,并且趨向于100%,在SNR較低(0～5 dB)的情況下,二維角參數(shù)的估計(jì)方差隨SNR成反比。其次,在SNR<10 dB時(shí),第2.2節(jié)所提算法對相干信號俯仰角和方位角的探測成功率要高于文獻(xiàn)[2]算法的成功率。第2.2節(jié)算法的估計(jì)偏差的波動(dòng)幅度要小于文獻(xiàn)[2]中的波動(dòng)幅度。非擴(kuò)展陣列天線對相干信源的二維角參數(shù)估計(jì)方差要明顯大于虛擬擴(kuò)展陣列天線。

4 結(jié)束語

錐面共形載體合理的陣元布局,以及利用非圓信號虛擬擴(kuò)展性,成功建立對應(yīng)的數(shù)據(jù)模型,算法基于NC-ESPRIT思想,在無需任何極化參數(shù)和陣元方向圖[18-20]參數(shù)信息的情況下,利用母線陣元具有不同距離矢量的性質(zhì),得出俯仰角和方位角的解析解,實(shí)現(xiàn)角度參數(shù)的分維估計(jì)。針對相干信源而言,增加空間平滑算法步驟,實(shí)現(xiàn)了錐面共形虛擬擴(kuò)展陣列情況下的角度參數(shù)盲估計(jì),擴(kuò)展了本文所提算法的使用范圍。同時(shí),所提算法估計(jì)性能在較低SNR的情況下,較之非擴(kuò)展陣列有很大的提升,算法實(shí)現(xiàn)簡單,硬件開銷小。

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