基于質(zhì)點(diǎn)彈簧模型的實(shí)時(shí)布料模擬

余方姝，楊欣

（1.四川大學(xué)視覺合成圖形圖像技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，成都 610065；2.四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都 610065）

0 引言

在虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)日益發(fā)展的過程中，布料模擬已逐漸成為一個(gè)研究熱點(diǎn)，模擬出的布料在電子游戲、影視動(dòng)漫、服裝設(shè)計(jì)等各方面展現(xiàn)了越來越多的應(yīng)用[1]。布料是日常生活中隨處可見的物品，它具有高度的形變特性、延展性、整體性，且具備分布均勻的質(zhì)量。如何在計(jì)算機(jī)中正確模擬出布料的這些物理特性，一直以來都是科學(xué)家們研究的重點(diǎn)。本文將布料模擬過程分成建模和計(jì)算兩個(gè)方面來介紹。

1 布料建模

目前，常用的布料模型構(gòu)造方法有以下幾種：

基于幾何的建模方法：幾何方法不考慮布料根據(jù)動(dòng)力學(xué)表現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)特性，采用幾何方程來表現(xiàn)布料褶皺、折疊等幾何效果。該方法計(jì)算開銷小，但無法反映布料彈性，不夠逼真。

基于物理的建模方法：根據(jù)布料的物理規(guī)律，使用質(zhì)點(diǎn)來對(duì)布料進(jìn)行模擬，將布料的質(zhì)量分散到質(zhì)點(diǎn)上，同時(shí)，使用質(zhì)點(diǎn)間的相互作用來模擬布料的物理性質(zhì)，有粒子系統(tǒng)和彈簧質(zhì)點(diǎn)模型等方法。

基于混合特性的建模方法：這種方法結(jié)合了將幾何建模和物理建模結(jié)合，使用幾何方法模擬布料輪廓，然后用物理方法模擬細(xì)節(jié)，產(chǎn)生快速而精確的效果，但在真實(shí)性上還是低于物理方法。

綜合效率和真實(shí)性的考慮，本文采用彈簧質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行建模。

1.1 彈簧質(zhì)點(diǎn)模型

1995年X Provot建立了經(jīng)典的彈簧質(zhì)點(diǎn)模型[2]。模型將一塊布料劃分成m×n的均勻矩形網(wǎng)格，如圖1所示。每個(gè)網(wǎng)格頂點(diǎn)都是一個(gè)虛擬質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)有相同質(zhì)量，用來模擬質(zhì)量均勻的布料。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)與其周圍質(zhì)點(diǎn)通過無質(zhì)量彈簧相連接。一共有三種性質(zhì)的彈簧：

連接左右相鄰 [i，j]與[i+1，j]、上下相鄰[i，j]與[i，j+1]的彈簧叫結(jié)構(gòu)彈簧，用來模擬布料橫縱向的力，阻止布料在這兩個(gè)方向過度拉伸形變。

連接對(duì)角線方向[i，j]與[i+1，j+1]的彈簧叫剪切彈簧，用來模擬布料內(nèi)傾斜方向的力，阻止布料斜方向的過度形變，模擬布料的延展性。

連接水平豎直方向間隔[i，j]和[i+2，j]、[i，j]和[i，j+2]質(zhì)點(diǎn)的彈簧叫彎曲彈簧，用來模擬布料在被彎曲和折疊時(shí)，抵抗彎曲的力。

圖1 彈簧質(zhì)點(diǎn)模型

1.2 彈簧質(zhì)點(diǎn)模型受力分析

在彈簧質(zhì)點(diǎn)模型中，任意質(zhì)點(diǎn)[I，j]在t時(shí)刻的位置是Pi,j(t)，力學(xué)方程由其在當(dāng)前位置受到的合力Fi,j(t)決定。根據(jù)牛頓第二定律：

其中，m(Pi,j)表示當(dāng)前質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，a(Pi,j)表示當(dāng)前質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的加速度。而質(zhì)點(diǎn)所受到的合力Fi,j()t是由質(zhì)點(diǎn)受到的彈簧質(zhì)點(diǎn)模型內(nèi)部的力和外部作用力組成的：

其中內(nèi)力FInternal是其內(nèi)部的三種彈簧產(chǎn)生。根據(jù)胡克定律，在非過度拉伸情況下彈簧的應(yīng)力和其形變呈線性關(guān)系，公式如下：

其中Fn表示當(dāng)前彈簧產(chǎn)生的力，k是彈簧的勁度系數(shù)，是一個(gè)常數(shù)，與彈簧的材質(zhì)相關(guān)。X代表彈簧發(fā)生形變的長(zhǎng)度，即形變后的長(zhǎng)度減去原長(zhǎng)。由此可知，質(zhì)點(diǎn)[I，j]受到的內(nèi)力就是連接它的彈簧產(chǎn)生的彈力的合力：

同時(shí)，質(zhì)點(diǎn)還會(huì)受到外部的作用力，如重力、空氣阻力等：

其中，重力 Fgravity=m(Pi,j)g，阻力 Fair=-Kavi,j，Ka為空氣阻力系數(shù)，vi,j為質(zhì)點(diǎn)速度矢量。

在對(duì)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行受力分析后，就進(jìn)入對(duì)布料力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程的計(jì)算了。

2 積分方程

2.1 傳統(tǒng)積分方程簡(jiǎn)介

顯式歐拉積分是最容易實(shí)現(xiàn)數(shù)值積分的方法之一。假設(shè)不了模型中可劃分成m個(gè)質(zhì)點(diǎn)，時(shí)間步長(zhǎng)為h，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量用對(duì)角矩陣M∈R3m×3m表示，質(zhì)點(diǎn)位置用q表示。任選一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在tn時(shí)刻其所在的位置為qn，則 f(qn)為質(zhì)點(diǎn)在tn時(shí)刻受到的力，vn為質(zhì)點(diǎn)在tn時(shí)刻的速度，那么使用顯式積分求解下一刻tn+1的運(yùn)動(dòng)可表示為：

顯式積分計(jì)算簡(jiǎn)單，但用tn時(shí)刻的速度計(jì)算tn+1時(shí)刻的位置帶來一定的誤差，影響其準(zhǔn)確度。

隱式歐拉積分是計(jì)算布料運(yùn)動(dòng)常用的積分，可用公式表示為：

由（8）和（9）兩個(gè)公式可得：

上式中qn和qn-1是已知量，而此時(shí)要qn+1的值，就需要求解 fn+1的值。

為了求解這個(gè)經(jīng)典的非線性方程，我們根據(jù)Baraff和Witkin在1998年提出的線性化力的方法[3]：

假設(shè)用x表示qn+1，然后用y表示2qn-qn-1，x是未知量，而y是已知量，可構(gòu)建出臨界式：

此時(shí)，方程轉(zhuǎn)換成求g(x)最小值的問題。該方法是由Martin在2011年提出的變分法隱式歐拉積分[4]。

2.2 本文方法

本文主要思想是使用塊坐標(biāo)下降法通過重新整理模型的能量E來計(jì)算其力學(xué)方程。在布料模擬中，大部分的能量來源于彈性勢(shì)能，其公式為：

其中，x代表彈簧變化的長(zhǎng)度。此時(shí)，對(duì)布料模型而言，其單個(gè)彈簧的彈性勢(shì)能可表示為：

pi和 pj代表彈簧兩端的質(zhì)點(diǎn)，l是彈簧的原長(zhǎng)。

然后令l=|d|，則：

則，解彈性勢(shì)能方程轉(zhuǎn)變成最小化問題：

考慮到場(chǎng)景中有多個(gè)彈簧，而彈簧和質(zhì)點(diǎn)在實(shí)現(xiàn)過程中，會(huì)采用矩陣表示整個(gè)數(shù)據(jù)，我們將能量方程更新為矩陣形式：

其中，s是彈簧的總數(shù)，pi1和pi2代表當(dāng)前第i根彈簧兩端的質(zhì)點(diǎn)，x是包含全部質(zhì)點(diǎn)的向量，L和J分別代表：

其中，Ai是彈簧i的入射向量，Ai,i1=1，Ai,i2=-1，其他值為0；Si代表第i個(gè)彈簧；I是單位矩陣。

然后將其帶入公式（12），可以將上式轉(zhuǎn)換成最優(yōu)化問題：

其中，b是一個(gè)向量，表示外部力合力產(chǎn)生的慣性，是一個(gè)常量。將上式收斂到最小值所得到的x即時(shí)隱式歐拉積分的解。

解最小化方程使用的方法是塊坐標(biāo)下降法：首先用預(yù)估位置初始化x的值，然后使用當(dāng)前x的值計(jì)算d，第二步固定d的值，使用計(jì)算出的d值計(jì)算x，重復(fù)該步驟直到達(dá)到最大迭代次數(shù)，就能得到下一步質(zhì)點(diǎn)的位置。

此外，為了對(duì)算法進(jìn)行加速，采用了預(yù)計(jì)算方法處理算式中與過程無關(guān)的量。算式中M+h2L使用質(zhì)量矩陣，時(shí)間步長(zhǎng)，彈簧勁度系數(shù)矩陣計(jì)算，而這些值都是固定的，同樣J的計(jì)算也是固定的，這樣就可以在初始化階段計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的值，避免在迭代過程中加入大量的矩陣運(yùn)算，減少計(jì)算開銷。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)?zāi)M了固定四角平行放置的矩形布料在被放開右側(cè)兩角后，在空中飄動(dòng)，然后在空氣阻力作用下恢復(fù)靜止?fàn)顟B(tài)的效果。如圖2，展示了布料物理規(guī)律下的運(yùn)動(dòng)過程，布料在被解開兩角后，自然墜落，左右飄動(dòng)，效果真實(shí)。圖3展示了布料模擬的細(xì)節(jié)，圖中可以清晰看到布料產(chǎn)生的褶皺和彎曲現(xiàn)象，與真實(shí)布料效果相似。在滿足真實(shí)感的同時(shí)，布料的幀率為300-400幀，此時(shí)模型的三角面片為1k能達(dá)到能夠達(dá)到實(shí)時(shí)渲染效果。當(dāng)布料三面片個(gè)數(shù)達(dá)到10k時(shí)，如圖4所示，布料細(xì)節(jié)更明顯，更具真實(shí)感的同時(shí)，幀率同樣達(dá)到實(shí)時(shí)渲染要求。

圖2 布料運(yùn)動(dòng)過程

圖3 布料模擬細(xì)節(jié)及幀率

圖4 布料模擬細(xì)節(jié)（三角面片數(shù)10k）

4 結(jié)語

本文的布料模擬方法采用預(yù)計(jì)算處理彈簧質(zhì)點(diǎn)模型數(shù)據(jù)，使用塊坐標(biāo)下降法計(jì)算隱式積分，對(duì)彈簧質(zhì)點(diǎn)模型位置進(jìn)行預(yù)測(cè)，在兼顧真實(shí)感的同時(shí)，對(duì)繪制效率也有較好的提升，能夠被運(yùn)用于電子游戲、影動(dòng)畫產(chǎn)業(yè)中。但同時(shí)，本文未對(duì)布料碰撞進(jìn)行研究，包括布料自碰撞和布料和物體間的碰撞進(jìn)行研究，包括布料自碰撞和布料和物體間的碰撞，需要在接下來的工作中進(jìn)行研究和完善。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳輝，沈毅.關(guān)于織物仿真技術(shù)的綜述[J].絲綢，2005（8）.

[2]Xavier Provot.Deformation Constraints in a Mass-Spring Model to Describe Rigid Clothbehavior[C].In Proceedings of Graphics Interface，Quebec：Canadian Information Processing Society，1995，12（6）：147-154.

[3]D Baraff，A Witkin.Large Steps in Cloth Simulation[J].Conference on Computer Graphics&Interactive Techniques，1998:43-54.

[4]S Martin，B Thomaszewski，E Grinspun，M Gross.Example-Based Elastic Materials[J].In Acm Siggraph，2011，30（4）:1-8.