基于相關(guān)性選擇的高維多目標(biāo)優(yōu)化算法?

潘曉英 李昂儒 陳雪靜 趙 倩

（西安郵電大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 西安 710121）

1 引言

在現(xiàn)實(shí)生活的許多領(lǐng)域，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題較多地涉及到四個(gè)以上目標(biāo)對(duì)應(yīng)的高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題［1］（many objective optimization problems MAPs），如設(shè)計(jì)的控制器、制造半導(dǎo)體、優(yōu)化設(shè)計(jì)等，其共同點(diǎn)在于，它們包含多個(gè)目標(biāo)且之間有沖突。作為經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化方法（Multi-objective evolutionary algorithm，MOEA），NSGA2，SPEA2等已成功解決相關(guān)問(wèn)題，但低維優(yōu)化效果好的算法未能很好解決高維問(wèn)題，目前研究熱點(diǎn)有：1）基于松散Pareto支配關(guān)系［4］來(lái)提高Pareto非支配排序方法的選擇能力，從而提高算法的收斂性能；2）目標(biāo)降維［2～3］法，通過(guò)結(jié)合數(shù)學(xué)方法將目標(biāo)維數(shù)縮減，刪除優(yōu)化問(wèn)題中的冗余目標(biāo)，將高維轉(zhuǎn)化為低維問(wèn)題；3）采用聚合或分解的方法將高維優(yōu)化問(wèn)題整合為低維多目標(biāo)問(wèn)題求解［5～6］；4）采用不同評(píng)價(jià)指標(biāo)的高維多目標(biāo)優(yōu)化 算 法（Indicator-based Evolutionary Algorithm，IBEA）［7］的思想是利用評(píng)價(jià)非支配解優(yōu)劣的某些指標(biāo)來(lái)衡量個(gè)體的優(yōu)劣程度并進(jìn)行相應(yīng)的適應(yīng)度賦值。其中基于分解思想求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的MOEA/D［5］算法已經(jīng)很成功地解決了兩個(gè)或三個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，它結(jié)合數(shù)學(xué)規(guī)劃和進(jìn)化算法，將一個(gè)復(fù)雜多目標(biāo)問(wèn)題分解成若干個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化子問(wèn)題，然后用進(jìn)化算法同時(shí)求解這些子問(wèn)題的最優(yōu)解作為多目標(biāo)問(wèn)題的最終解。在這類(lèi)方法中，擁有顯著效果的還有：AMS算法［8］、PPD-MOEA［9］以及 NS?GA3［10］算法。通過(guò)對(duì)上述算法的研究可知，分解方法對(duì)解決高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題較好。

在上述基礎(chǔ)上，本文提出一種基于相關(guān)性選擇的多目標(biāo)優(yōu)化算法（Correlative selection mecha?nism-based evolutionary algorithm for many-objec?tive optimization，CSEAM）。在CSEAM算法中，首先在平面上產(chǎn)生一組分布較均勻的參考點(diǎn)，一個(gè)參考點(diǎn)決定一條理想點(diǎn)的參考線；如果目標(biāo)空間中的某個(gè)個(gè)體離某條參考線的距離比其他參考線都近，那么該參考線對(duì)應(yīng)的參考點(diǎn)就是該個(gè)體的相關(guān)參考點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的個(gè)體是該參考線的相關(guān)個(gè)體。本文算法主要通過(guò)給每個(gè)參考點(diǎn)至少找到一個(gè)相關(guān)個(gè)體，來(lái)保證種群多樣性；另外我們會(huì)剔除同一參考點(diǎn)下的標(biāo)量子函數(shù)最大的個(gè)體，保證種群向理想帕累托前沿方向進(jìn)行。最后由于CSEAM算法未采用非支配擁擠度排序等龐大的計(jì)算方法，在很大程度上可以削減算法的計(jì)算復(fù)雜度。

2 相關(guān)理論背景

2.1 參考點(diǎn)的選擇

多目標(biāo)分解進(jìn)化算法一般在單位平面上產(chǎn)生一組均勻分布的參考點(diǎn)，一般采用Das和Dennis的方案［11］，該方案在M-1維的單位超平面上均勻產(chǎn)生一組參考點(diǎn)，令M表示優(yōu)化目標(biāo)個(gè)數(shù)，參考點(diǎn)的總數(shù)目H是由參數(shù)D控制，參數(shù)D代表每個(gè)目標(biāo)上劃分的份數(shù)。用符號(hào)組r1，r2，…，rH表示所有參考點(diǎn)，參考點(diǎn)ri（i=1，…，H）中的每一維元素都在中取值，所以ri（i=1，…，H）中的所有元素之和為1。參考點(diǎn)的總數(shù)目H和參數(shù)D會(huì)滿(mǎn)足以下式（1）。

以3個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題為例（M=3），則參考點(diǎn)將會(huì)分布在（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）為三個(gè)頂點(diǎn)的三角平面上，如果D參數(shù)被設(shè)定為3，參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)H就為10。如圖1，展示了這10個(gè)參考點(diǎn)的具體分布情況。但是當(dāng)目標(biāo)數(shù)M為8時(shí)，即使參數(shù)P設(shè)置為8，那么參考點(diǎn)的總數(shù)目H也將會(huì)達(dá)到5040，這樣種群的規(guī)模變得非常大或者冗余。為解決參考點(diǎn)總數(shù)目H隨著M和D急劇上升的問(wèn)題，在這章中必須應(yīng)用更加高級(jí)的方案，當(dāng)目標(biāo)數(shù)比較大時(shí)，我們采用兩層產(chǎn)生參考點(diǎn)的方案。例如對(duì)于目標(biāo)數(shù)M為8時(shí)，我們?cè)诘谝粚釉O(shè)置參數(shù)D=3，根據(jù)式（1），則產(chǎn)生120個(gè)參考點(diǎn)；在第二層上，我們?cè)O(shè)置參數(shù)D=2，再據(jù)式（1），產(chǎn)生36個(gè)參考點(diǎn)。故總共產(chǎn)生120+36=156個(gè)參考點(diǎn)，遠(yuǎn)小于原來(lái)的個(gè)數(shù)。

圖1 單層參考點(diǎn)分布

圖2展示了針對(duì)3個(gè)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題應(yīng)用兩層方案產(chǎn)生參考點(diǎn)。對(duì)于更多目標(biāo)數(shù)目的優(yōu)化問(wèn)題，同樣可采用此二層產(chǎn)生方案。

圖2 雙層參考點(diǎn)分布情況

下面給出兩層方案的算法流程，M為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)；D1表示在第一層中沿每個(gè)目標(biāo)方向劃分的份數(shù)；D2表示在第二層中沿每個(gè)目標(biāo)方向劃分的份數(shù)；R1為參考集。如圖3。

上述算法中用到的子函數(shù)Recursion如圖4所示，其中R為參考集（初始化為空集）；r'表示一個(gè)M 維的向量，（初始化為0向量）；k代表函數(shù)本身的遞歸次數(shù)（初始化為0）；M 為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)；D表示沿每個(gè)目標(biāo)方向劃分的分?jǐn)?shù)；total為參考點(diǎn)r'的前k維元素之和。

圖3 兩層參考點(diǎn)產(chǎn)生算法流程

圖4 Recursion子函數(shù)流程

2.2 個(gè)體與參考點(diǎn)之間的相關(guān)性

圖5給出了相關(guān)性概念，圖中z*和r分別表示理想點(diǎn)和一個(gè)參考點(diǎn)。在實(shí)際問(wèn)題中，理想點(diǎn)一般都是未知的，所以一般使用當(dāng)前出現(xiàn)過(guò)的每個(gè)目標(biāo)的最好值作為理想值，即，其中，P表示當(dāng)前出現(xiàn)過(guò)的所有個(gè)體解集合；λ=r-z*代表通過(guò)理想點(diǎn)z和參考點(diǎn)r的參考線；圖中的距離d1表示F（x）在參考線λ上的投影；距離d2表示F（x）到參考線λ的垂直距離。這里的距離 d1、距離 d2分別可以通過(guò)式（2）和式（3）計(jì)算得來(lái)［12］。

圖5 個(gè)體與參考點(diǎn)之間相關(guān)性說(shuō)明

若點(diǎn)F（x）與參考線λ的垂直距離d2比到其他參考線的垂直距離都要小，這時(shí)則可定義個(gè)體x與參考線λ對(duì)應(yīng)的參考點(diǎn)r成相關(guān)性關(guān)系，并稱(chēng)個(gè)體x是參考點(diǎn)r的相關(guān)個(gè)體，參考點(diǎn)r是個(gè)體x的相關(guān)參考點(diǎn)。根據(jù)上面定義可以得到每一個(gè)個(gè)體必須有一個(gè)且只能有一個(gè)相關(guān)參考點(diǎn)，而一個(gè)參考點(diǎn)卻可以沒(méi)有或者1個(gè)、2個(gè)甚至更多的相關(guān)個(gè)體。

3 基于相關(guān)性選擇的高維多目標(biāo)優(yōu)化算法

3.1 基于相關(guān)性的差分進(jìn)化及多項(xiàng)式變異選擇

本節(jié)將基于相關(guān)性的差分進(jìn)化及多項(xiàng)式變異選擇機(jī)制和基于相關(guān)性的種群替換機(jī)制引入。在詳細(xì)介紹這兩種機(jī)制前，先給出每個(gè)個(gè)體和參考點(diǎn)的相關(guān)屬性定義。

對(duì)于每個(gè)個(gè)體x，存在3個(gè)屬性：1）相關(guān)參考點(diǎn)rx；2）目標(biāo)函數(shù)F(x)與相關(guān)參考點(diǎn)rx對(duì)應(yīng)的參考線之間的垂直距離記為d1x（即圖5中的d2）；3）目標(biāo)函數(shù)F(x)與相關(guān)參考點(diǎn)rx對(duì)應(yīng)的參考線之間的懲罰距離為d2x=d1+θd2，這里的d1和d2即如圖5中的d1和d2，θ為懲罰參數(shù)，在實(shí)驗(yàn)設(shè)置中設(shè)置為5，與對(duì)比算法MOEA/D中的建議值相同。

對(duì)于每個(gè)參考點(diǎn)，同樣存在3個(gè)屬性：1）在父代解種群中，參考點(diǎn)r的所有相關(guān)個(gè)體集合記為Ur；2）在父代解種群中，參考點(diǎn)r的所有相關(guān)個(gè)體的數(shù)目為nr；3）對(duì)于參考點(diǎn)r，在所有參考點(diǎn)集中，參考點(diǎn)r最近的T個(gè)參考點(diǎn)集Vr，T是固定的參數(shù)，在實(shí)驗(yàn)中設(shè)置為8。

在進(jìn)行基于相關(guān)性的差分進(jìn)化及多項(xiàng)式變異選擇之前，所有個(gè)體和參考點(diǎn)的3個(gè)屬性都會(huì)提前被計(jì)算好，值得注意的是，每個(gè)個(gè)體的參考點(diǎn)的屬性都是針對(duì)當(dāng)前解種群而言的。圖6給出了基于相關(guān)性的差分進(jìn)化及多項(xiàng)式變異選擇方法的具體操作過(guò)程。

直至得到的后代個(gè)體個(gè)數(shù)滿(mǎn)足popsize，則停止算法。因?yàn)樘岢龅乃惴ㄖ校瑐€(gè)體總數(shù)是成雙數(shù)的，所以種群規(guī)模也取為偶數(shù)。而在基于分解的進(jìn)化算法中，種群規(guī)模一般和參考點(diǎn)的數(shù)目相等，若參考點(diǎn)數(shù)目呈奇數(shù)，則種群數(shù)目就為參考點(diǎn)數(shù)目加1；若參考點(diǎn)數(shù)目為偶數(shù)，則種群數(shù)目就為參考點(diǎn)數(shù)目。

圖6 基于相關(guān)性的差分進(jìn)化及多項(xiàng)式變異選擇方法

3.2 基于相關(guān)性的種群更新選擇

基于相關(guān)性的種群更新選擇方法，是利用基于相關(guān)性的差分進(jìn)化及多項(xiàng)式變異選擇算法所得的子代種群，來(lái)更新父代種群的。如圖7詳細(xì)算法流程如下，對(duì)于每個(gè)子代種群Qt中的第k個(gè)個(gè)體xk，計(jì)算該個(gè)體的3個(gè)屬性，且記為rk、d1xk和d2xk，并且確定其參考點(diǎn)rk的3個(gè)屬性，分別被記為Urk、nrk和Vrk。

若存在一個(gè)個(gè)體的參考點(diǎn)rk擁有的相關(guān)個(gè)體數(shù)目為0，則直接將該個(gè)體加入到當(dāng)前父代種群Pt和Urk中，且參考點(diǎn)rk擁有的相關(guān)個(gè)體數(shù)目nrk+1；在找出所有參考點(diǎn)中相關(guān)個(gè)體的數(shù)目最多的參考點(diǎn)rmax；在參考點(diǎn)rmax的所有的相關(guān)個(gè)體中，找出第3個(gè)屬性值最大的個(gè)體，代表該解的相對(duì)收斂性最小，需要將該個(gè)體從當(dāng)前父種群中剔除；最后更新rmax的3個(gè)屬性。

若不存在參考點(diǎn)的相關(guān)個(gè)體數(shù)目為0，則直接將個(gè)體xk加入到當(dāng)前種群Pt和對(duì)應(yīng)的相關(guān)參考點(diǎn)rk的解集Urk中，且相關(guān)個(gè)體數(shù)nrk+1；接著在Urk中，找到第3個(gè)屬性值懲罰距離最大的個(gè)體xmax，并且將它從Pt和Urk中剔除。

通過(guò)上述的內(nèi)容，設(shè)定參考點(diǎn)的總數(shù)目等于所有參考點(diǎn)相關(guān)個(gè)體數(shù)目之和（或相差為1），這樣在搜索時(shí)，會(huì)出現(xiàn)有的參考點(diǎn)相關(guān)個(gè)體總數(shù)多，有的參考點(diǎn)相關(guān)個(gè)體總數(shù)少或者為0的情況，此時(shí)就需要找出相關(guān)個(gè)體數(shù)目最多的參考點(diǎn)，并將該參考點(diǎn)相關(guān)個(gè)體中的第3個(gè)屬性值懲罰距離最大的個(gè)體從當(dāng)前種群中刪除，以此來(lái)保證種群的收斂性。具體算法流程見(jiàn)圖7。

圖7 算法CSEAM的主要流程

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 DTLZ系列標(biāo)準(zhǔn)多目標(biāo)優(yōu)化測(cè)試函數(shù)

本章采用Deb等提出的DTLZ系列多目標(biāo)優(yōu)化測(cè) 試 函 數(shù)［13～14］來(lái) 分 析 CSEAM 的 性 能 ，分 別 為DTLZ1、DTLZ2、DTLZ3和DTLZ4，且這些測(cè)試函數(shù)在多篇文獻(xiàn)中作為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題用以衡量算法性能，函數(shù)詳細(xì)描述如表4所示。

測(cè)試函數(shù)，將參數(shù)k設(shè)置為5，對(duì)于DTLZ2、DTLZ3和DTLZ4測(cè)試函數(shù)，參數(shù)k被設(shè)置為10。

4.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了更好地評(píng)價(jià)算法的收斂性和多樣性，這里采用性能指標(biāo)IGD［15］，在介紹IGD之前，先來(lái)了解下指標(biāo)GD的概念。

GD（Generational Distance）是由V.Veldhuizen和Lamont提出的一種評(píng)價(jià)方法［16］，用來(lái)描述算法所得的非劣解與問(wèn)題的真是Pareto前沿之間的距離：

式（4）中，popsize為所求種群PFknown中解數(shù)量，disti表示在目標(biāo)空間中，每一維向量與Pareto前沿PFtrue中的最近向量之間的歐式距離。

表1 DTLZ系列測(cè)試問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

反代間距離（Inverted generational distance，IGD），表示算法求得的值和理想最優(yōu)解的趨近差值，設(shè)P*為帕累托前沿分布均勻的集合點(diǎn)，P是算法得到的近似Pareto最優(yōu)解集合。P*到P的平均距離IGD定義為d( )

ν，P 是ν與P中所有點(diǎn)的直線距離最小，如果|P*|能達(dá)到一定值，IGD從某種程度上代表P的兩個(gè)性能指標(biāo)。IGD值越小，表示P與P*的PF越接近

4.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

這里將NSGA-III和MOEA/D作為對(duì)比算法，因?yàn)檫@兩種算法均使用了PBI分解方法。我們使用CDEAM、NSGA-III和MOEA/D來(lái)處理表1中的四個(gè)測(cè)試問(wèn)題，每種算法分別獨(dú)立運(yùn)行30次，取均值來(lái)作為算法最終性能，并且比較三者所得結(jié)果來(lái)分析所提出的CDEAM算法的性能。

表2 目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)、參考點(diǎn)數(shù)目和種群規(guī)模參數(shù)設(shè)置

表2給出了目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)、參考點(diǎn)的數(shù)目和種群規(guī)模，表3給出了CDEAM、NSGA-III和MOEA/D的一些其他參數(shù)設(shè)置。

表3 CDEAM、NSGA-III和MOEA/D的其他參數(shù)

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)于DTLZ1測(cè)試函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)個(gè)數(shù)為5和8時(shí)，IGD值都小于NSGA-III和MOEA/D，而當(dāng)在目標(biāo)個(gè)數(shù)為15時(shí)，IGD值大于NSGA-III和MOEA/D，但是IGD值小于MOEA/D。由此可以看出，若目標(biāo)數(shù)小于15維，CSEAM算法的多樣性和收斂性的綜合性能就要優(yōu)于NSGA-III，且對(duì)于5維、8維、15維，CSEAM的綜合效果一直均好于MOEA/D；而對(duì)于DTLZ3測(cè)試函數(shù)的5、8和15維目標(biāo)下，CSEAM的IGD值均小于NSGA-III和MOEA/D，整體效果要比其他兩個(gè)算法效果要好；對(duì)于DTLZ4測(cè)試函數(shù)的8維和15維，CSEAM效果均優(yōu)于NSGA-III和MOEA/D，當(dāng)目標(biāo)維數(shù)為5時(shí)，其效果要差于NSGA-III，但仍?xún)?yōu)于MOEA/D，所以在較高維的DTLZ4問(wèn)題上，CSEAM表現(xiàn)較好；對(duì)于DTLZ2的5維、8維情況下，算法MOEA/D均稍?xún)?yōu)于CSEAM，在15維情況下，CSEAM算法IGD值小于MOEA/D，另外5維情況下，NSGA-III的效果稍?xún)?yōu)于CSEAM，但是對(duì)于8維和15維的DTLZ2，CSEAM均遠(yuǎn)優(yōu)于NSGA-III，所以對(duì)于DTLZ2測(cè)試問(wèn)題，維數(shù)越高，CSEAM算法的優(yōu)勢(shì)越明顯。

表4 三種算法在DTLZ1-4測(cè)試問(wèn)題上獲得的IGD均值和方差

通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真和分析可得出，本文的算法在幾個(gè)測(cè)試問(wèn)題的5維、8維和15維上，綜合性能均是最好的。其中對(duì)于DTLZ1，維數(shù)較低較有效；對(duì)于DTLZ2，維數(shù)較高整體表現(xiàn)較有效；對(duì)于DTLZ3，整體性能表現(xiàn)良好；對(duì)于DTLZ4，維數(shù)越高綜合性能越好。

5 結(jié)語(yǔ)

本章提出了基于相關(guān)性選擇的高維多目標(biāo)優(yōu)化算法（CSEAM算法），新算法由兩部分組成，其中包括基于相關(guān)性的差分進(jìn)化及多項(xiàng)式變異選擇，和基于相關(guān)性的種群更新選擇機(jī)制。首先，為清楚的描述相關(guān)性選擇機(jī)制的原理和操作過(guò)程，本章給出了個(gè)體和參考點(diǎn)相關(guān)性的概念，以及參考點(diǎn)的3個(gè)屬性、個(gè)體的3個(gè)屬性等概念。然后，給出了基于相關(guān)性的差分進(jìn)化及多項(xiàng)式變異選擇以及基于相關(guān)性的種群更新選擇機(jī)制的詳細(xì)算法流程，之后對(duì)所提出的算法CSEAM整體流程做了介紹。最后，將CSEAM算法與NSGA-III算法和MOEA/D算法就解決DTLZ1、DTLZ2、DTLZ3和DTLZ4標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題所得的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。通過(guò)對(duì)所得解集與真實(shí)的Pareto解集之間的距離即IGD指標(biāo)進(jìn)行分析，驗(yàn)證所提出的算法CSEAM在大部分優(yōu)化問(wèn)題上，獲得了更優(yōu)秀的近似解。

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