非倍測(cè)度空間上分?jǐn)?shù)次Hardy算子的有界性

宋 帆，李 亮

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧 835000)

1 研究背景

Hardy算子作為一類重要的算子，在經(jīng)典歐氏空間上的Fourier分析研究中得到大量的關(guān)注.1920年，Hardy[1]考慮經(jīng)典的一維Hardy算子：

1976年，作為一維情形的推廣，F(xiàn)aris[2]首次給出了n維Hardy算子：

2009年，傅尊偉等[3-5]首次定義了如下n維分?jǐn)?shù)次Hardy算子：

(1.1)

對(duì)偶算子為：

其中，-n<β

最近20余年，非倍測(cè)度函數(shù)空間上的分析在幾何分析方面取得了巨大的突破，特別是在解決著名的Painlevé問題(100年之久)和Vitushkin猜想(近50之久)中起著關(guān)鍵作用，更多的理論可參見文獻(xiàn)[10-11].假定d上的非負(fù)Radon測(cè)度μ滿足下面的增長(zhǎng)性條件，即存在常數(shù)C0>0，使得對(duì)任意的x∈d和r>0，滿足：

μ(B(x,r))≤C0rn.

(1.2)

其中，0

本文主要在非倍測(cè)度下引入分?jǐn)?shù)次Hardy算子的合理定義，并討論算子在Herz空間及Lebesgue空間上的有界性.

2 準(zhǔn)備知識(shí)

本文中，所有方體Q?d均指中心在supp(μ)中且各邊平行于坐標(biāo)軸的閉方體，記其邊長(zhǎng)為l(Q).對(duì)于給定的常數(shù)α>1和β>αn，如果滿足μ(αQ)≤βμ(Q)，稱方體Q是(α,β)-倍方體，其中αQ表示與方體Q同心且邊長(zhǎng)為αl(Q)的方體(Tolsa在文獻(xiàn)[11]中已證明對(duì)于僅滿足增長(zhǎng)性條件(1.2)的Radon測(cè)度，此類倍方體是大量存在的).在下文中，如無特殊說明，所有倍方體均指(2，2d+1)-倍方體.對(duì)于d中任意兩個(gè)方體Q1?Q2，記其中NQ1,Q2是滿足l(2kQ1)≤l(Q2)的最小的正整數(shù)k.

為了書寫方便，簡(jiǎn)記Lp(d,μ)為L(zhǎng)p(μ)，Bk=x∈d:x其中k∈Z.記χk=χCk(k∈Z)為集合Ck的特征函數(shù).

顯然

在非倍測(cè)度μ下，定義分?jǐn)?shù)次Hardy算子如下：

定義2 設(shè)x∈Rn/{0}，則有

(2.1)

注2 當(dāng)測(cè)度μ是歐氏測(cè)度時(shí)，式(2.1)中的算子就是式(1.1)中的經(jīng)典分?jǐn)?shù)次Hardy算子.當(dāng)β=0時(shí)，式(2.1)可視為高維Hardy算子.

3 主要結(jié)論及證明

定理1 假設(shè)1

(3.1)

(3.2)

注4 當(dāng)測(cè)度μ取歐氏測(cè)度時(shí)，本文定義的算子與經(jīng)典的Hardy算子一致，定理1與文獻(xiàn)[8]的有界性結(jié)果一致.

定理1的證明：

于是，得到

上式的估計(jì)用到α<0.

其次，考慮式(3.2)的證明.

其中，

綜上，完成了對(duì)定理1的證明.

當(dāng)α=0時(shí)，考慮1

根據(jù)注1，定理2證明易得，在此省略.

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