吊鏈脫離速度的二次研究

陸少華

(安徽省碭山中學,安徽 宿州 235300)

1 問題及背景

圖1

題目.一個長為L的鏈條,放在光滑的桌面上,其中一端下垂,長度為a,如圖1所示.假定開始時鏈條靜止,求鏈條剛剛離開桌邊時的速度.

在觀摩課上,授課教師在解題方法指導時指出:隨著鏈條下垂長度的增加,鏈條系統(tǒng)的合力和加速度均發(fā)生變化,所以不能使用牛頓動力學方法和動能定理的方法來解此題.因此應用系統(tǒng)機械能守恒便成為唯一解題途徑.

常規(guī)解法： 鏈條在下垂過程中由于只有重力做功,故系統(tǒng)機械能守恒.設鏈條單位長度質量為λkg/m，取桌面為零勢能面,鏈條系統(tǒng)初機械能為

鏈條系統(tǒng)剛脫離桌面機械能為

其中v為鏈條系統(tǒng)剛脫離桌面時的速度.

根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒,有E1=E2，解得

2 二次研究

2.1 應用牛頓運動定律

設鏈條單位長度質量為λkg/m,某時刻下垂部分長度為y,其受重力G=λyg.

以整個鏈條為研究對象,根據(jù)牛頓運動定律,有F=ma.即

對上式積分有

2.2 應用動能定理

設鏈條單位長度質量為λkg/m,某時刻下垂部分長度為y,其受重力G=λyg,這是個變力.下落過程中,重力做功為

根據(jù)動能定理W=ΔEk，解得

2.3 拓展

圖2

題目.若考慮桌面與鏈條之間有摩擦,設滑動摩擦因數(shù)為μ.試求鏈條離開桌面時的速度.

解析:設下垂長度為b時,鏈條剛好下滑.下垂部分的鏈條重力為G=λbg,桌面部分受摩擦力為f=μλ(L-b)g.鏈條下滑條件為G≥f解得

根據(jù)動能定理W=ΔEk，解得

從上面結論我們可以分析得出,若μ=0時,

此項分析檢驗出桌面粗糙變光滑,鏈條具有相同下垂長度時,它們具有相同的脫離速度.

4 結語

對鏈條脫離過程應用系統(tǒng)機械能守恒的處理方法是學生在高中階段的慣用方法也是經(jīng)典的做法.隨數(shù)學新課程改革的實施,現(xiàn)在高中生已經(jīng)初步掌握了微積分的知識，將微積分引入高中物理課堂解決實際問題是一個趨勢，也是一個創(chuàng)舉.借此開闊學生眼界、拓展學生思維、讓學生透視數(shù)學與物理的緊密聯(lián)系.