對旋轉(zhuǎn)棱鏡法和旋轉(zhuǎn)齒輪法測光速的討論

李忠相 胡馨月 李思衡 張倫銘

(重慶市第一中學(xué)校，重慶 400030)

真空中的光速是物理學(xué)基本常數(shù)之一．1973年確定的國際標(biāo)準(zhǔn)值為c=299 792 458 m/s,1983年第17屆國際計(jì)量大會決定,將光在真空中1/299 792 458s內(nèi)運(yùn)行路程的長度作為“m”的新定義．1986年,國際科技數(shù)據(jù)委員會又規(guī)定1973年的光速國際標(biāo)準(zhǔn)值為精確值．

光速的測定在物理學(xué)史上有非常特殊而重要的意義，它不僅推動了光學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)展,打破了光速無限的傳統(tǒng)觀念,也為粒子說和波動說的爭論提供了判定的依據(jù),而且最終推動了愛因斯坦相對論理論的發(fā)展．歷史上,光速的測定花費(fèi)了好幾代物理學(xué)家的心血,方法不斷改進(jìn),測量結(jié)果越來越精確,這些巧妙的實(shí)驗(yàn)中蘊(yùn)含了十分豐富的教學(xué)價(jià)值,但大多數(shù)教材都只是一帶而過．近日,在面向九年級資優(yōu)學(xué)生的講座中對旋轉(zhuǎn)棱鏡法和旋轉(zhuǎn)齒輪法測光速進(jìn)行了嘗試性挖掘,取得了較好的效果．于是我們把幾個(gè)相關(guān)問題及其討論整理成此文,與大家分享．

題目.圖1給出了歷史上測量光速的兩種經(jīng)典裝置簡圖．其中甲圖為旋轉(zhuǎn)棱鏡法,乙圖為旋轉(zhuǎn)齒輪法．請據(jù)此完成以下問題:

(1) 闡述兩種測量方案的測量原理和測量步驟;

(2) 兩種測量方案需要分別記錄哪些物理量,并給出計(jì)算光速的相應(yīng)表達(dá)式;

(3) 結(jié)合實(shí)際情況,對兩種方案的優(yōu)劣進(jìn)行對比;

(4) 查閱相關(guān)史實(shí),了解光速測定的歷程,體會光速測定的艱辛和成就．

通過學(xué)生獨(dú)立思考、相互討論和教師引導(dǎo),當(dāng)堂完成了前3個(gè)問題．第(4)問留作課后作業(yè),一周之后作了交流討論．通過討論,對這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)有了更深入的認(rèn)識．

甲 旋轉(zhuǎn)棱鏡法

乙 旋轉(zhuǎn)齒輪法

1 測量原理和步驟

1.1 旋轉(zhuǎn)棱鏡法

圖2 旋轉(zhuǎn)棱鏡法原理

測量原理:如圖2所示,棱鏡不轉(zhuǎn)動時(shí),只有八棱鏡的某一面(如圖中的1號面)恰好與入射光線成45°角時(shí),光線能被反射至遠(yuǎn)方的反射裝置,反射回來的光線經(jīng)3號面反射進(jìn)入觀察者眼睛,觀察者能看到光源的像．棱鏡以較小的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動時(shí),光線經(jīng)1號面和反射裝置反射后到達(dá)棱鏡時(shí),3號面已經(jīng)不再與光線成45度角,光線無法進(jìn)入觀察者眼睛,觀察不到光源的像．若緩慢提高棱鏡轉(zhuǎn)速,當(dāng)光線反射回棱鏡時(shí),棱鏡剛好轉(zhuǎn)過1/8轉(zhuǎn),即2號面轉(zhuǎn)至原3號面所在位置,則光線又可以進(jìn)入觀察者眼睛,重新看到光源的像．

測量步驟:先在棱鏡不轉(zhuǎn)動的情況下,調(diào)節(jié)棱鏡和反射裝置,使觀察者能看到光源的像．緩慢提高棱鏡轉(zhuǎn)速,當(dāng)再次看到光源的像時(shí),即達(dá)到目標(biāo)轉(zhuǎn)速．在目標(biāo)轉(zhuǎn)速下,理論上看到的應(yīng)該是不斷閃爍的像,但閃爍間隔通常非常小,由于視覺暫留,實(shí)際看到的是光源“持續(xù)”的像．

1.2 旋轉(zhuǎn)齒輪法

測量原理:實(shí)驗(yàn)中選用齒寬和齒間縫寬相等的齒輪,當(dāng)齒輪勻速轉(zhuǎn)動時(shí),光線周期性被齒輪遮擋,穿過光線的光強(qiáng)隨時(shí)間變化規(guī)律如圖3中甲所示．這些光線由反射裝置反射回齒輪處時(shí),具有一定的延時(shí),光強(qiáng)隨時(shí)間變化規(guī)律如圖3中乙所示．返回的光線被齒輪部分遮擋,如圖3中陰影部分．若進(jìn)一步提高齒輪轉(zhuǎn)速,則齒輪透光時(shí)間和擋光時(shí)間均減小,反射光線中被遮擋的比例增大(如圖3中丙所示)．當(dāng)其減小到剛好等于光線反射延時(shí)(如圖3中丁所示),反射光線剛好全部被遮擋,觀察者剛好看不到光源的像．

圖3 旋轉(zhuǎn)齒輪法原理

測量步驟:先在齒輪不轉(zhuǎn)動的情況下,調(diào)節(jié)齒輪和反射裝置,使觀察者能看到光源的像．緩慢提高齒輪轉(zhuǎn)速,光源的像逐漸變暗,當(dāng)看到光源的像第一次完全變暗時(shí),即達(dá)到目標(biāo)轉(zhuǎn)速．

2 待測物理量和計(jì)算公式

2.1 旋轉(zhuǎn)棱鏡法

由前述測量原理可知,該實(shí)驗(yàn)需要測量反射裝置到棱鏡的距離L,目標(biāo)轉(zhuǎn)速n(以“r/s”為單位),由于光在距離L上一個(gè)來回的時(shí)間內(nèi)棱鏡剛好轉(zhuǎn)過八分之一圈,有

(1)

得

c=16nL.

(2)

2.2 旋轉(zhuǎn)齒輪法

(3)

得

c=4nNL.

(4)

3 兩種方案的對比

3.1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及精度

旋轉(zhuǎn)棱鏡法中,棱鏡轉(zhuǎn)速只有在目標(biāo)轉(zhuǎn)速附近極小的范圍內(nèi)可以看到光源的像,其他轉(zhuǎn)速下均觀察不到光源的像．雖然理論上目標(biāo)轉(zhuǎn)速的整數(shù)倍處也能看到光源的像,但目標(biāo)轉(zhuǎn)速非常大,其整數(shù)倍幾乎難以實(shí)現(xiàn),故不做考慮．所以,在此實(shí)驗(yàn)中,實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象稍縱即逝,難以被觀察到．而一旦被觀察到,對應(yīng)的轉(zhuǎn)速會比較精確,測量結(jié)果精度較高．

旋轉(zhuǎn)齒輪法中,齒輪轉(zhuǎn)速在接近目標(biāo)轉(zhuǎn)速的過程中,看到光源的像逐漸變暗,轉(zhuǎn)速超過目標(biāo)轉(zhuǎn)速后,像又逐漸變亮．所以,在此實(shí)驗(yàn)中,實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象容易被觀察到．但在目標(biāo)轉(zhuǎn)速附近,像的亮度小到觀察者無法識別時(shí)會和目標(biāo)狀態(tài)混為一體,于是目標(biāo)轉(zhuǎn)速的不確定度便增大了,降低了實(shí)驗(yàn)精度．

3.2 實(shí)驗(yàn)條件

光速難以測量主要是因?yàn)楣馑贁?shù)值太大,由公式(2)和(4)不難發(fā)現(xiàn),實(shí)驗(yàn)需要盡可能大的反射距離L和轉(zhuǎn)速n．考慮到光束的發(fā)散、損耗等因素,距離L不能無限制增加,若兩個(gè)方案使用相同的距離L,增大齒輪齒數(shù)可以顯著降低對轉(zhuǎn)速的要求,但八棱鏡卻受限于加工精度不便于隨意增加鏡面數(shù),所以旋轉(zhuǎn)齒輪法在實(shí)驗(yàn)條件上具有優(yōu)勢．

4 對旋轉(zhuǎn)齒輪法計(jì)算公式的修正

當(dāng)齒輪不轉(zhuǎn)動時(shí),觀察者看到光源的像是連續(xù)存在的,將其亮度記為I0;當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動時(shí),像的亮度降低．若觀察者能識別的最小亮度為αI0(α為小于1的常數(shù)),當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到某一值(記為n1)時(shí)像剛好無法識別,轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大到另一值(記為n2)時(shí)重新觀察到像．那么,目標(biāo)轉(zhuǎn)速n能否由n1和n2確定?

如圖4甲所示,當(dāng)齒輪齒數(shù)為N，轉(zhuǎn)速為n1時(shí),透光時(shí)間和擋光時(shí)間均記為ΔT,有

圖4 旋轉(zhuǎn)齒輪法像的亮度

(5)

光線在距離L上一個(gè)來回用時(shí)記為Δt,有

(6)

觀察者觀察到像的亮度αI0與齒輪不轉(zhuǎn)動時(shí)像的亮度I0之比等于一個(gè)周期內(nèi)反射光的透光時(shí)間與周期2ΔT之比,即

(7)

由(5)～(7)式可得

(8)

同理,可得當(dāng)轉(zhuǎn)速為n2時(shí),有

(9)

由(8)、(9)式可得

c=2(n1+n2)NL.

(10)

此即為考慮到觀察者分辨臨界后的光速計(jì)算公式．與(4)式對比可知,目標(biāo)轉(zhuǎn)速n和n1、n2的關(guān)系為

(11)

可見,在亮度減小和增加時(shí)觀察閾值一樣的假設(shè)下,利用(10)式可以提高測量精度．

5 一些相關(guān)史實(shí)

1849年法國人斐索(A.H.Fizeau)用旋轉(zhuǎn)齒輪法(即圖1乙所示)測得光速為3.153×108m/s．成為在地面上用實(shí)驗(yàn)方法測定光速的第一人．旋轉(zhuǎn)齒輪法能率先取得成功但誤差相對較大,和前文對于實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和精度的分析結(jié)論一致．當(dāng)時(shí)采用的距離大約8 km,齒輪齒數(shù)720,所需轉(zhuǎn)速大約13r/s,這在當(dāng)時(shí)通過機(jī)械裝置是可以實(shí)現(xiàn)的．

圖5 傅科用旋轉(zhuǎn)鏡法測光速

1862年法國人傅科(J.L.Foucault)用旋轉(zhuǎn)鏡法測量空氣中光速為2.98×108m/s．旋轉(zhuǎn)鏡法(如圖5所示)是本文所述旋轉(zhuǎn)棱鏡法的前身,實(shí)驗(yàn)難度很大但精度較高．

1874年考爾紐(A.Cornu)改進(jìn)了斐索的旋轉(zhuǎn)齒輪法,取得更精確的結(jié)果,即2.999×108m/s．由改進(jìn)方案,成功地提升了旋轉(zhuǎn)齒輪法的測量精度．

1879年美國物理學(xué)家邁克爾遜(A.A.Michelson)又改進(jìn)了傅科的旋轉(zhuǎn)鏡法,測得光速為(2.999 1 ± 0.000 5)×108m/s．邁克爾遜的實(shí)驗(yàn)非常精湛,他把畢生精力沉浸在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中,以光速精密測量為己任,40多年后,他把方法逐漸發(fā)展為旋轉(zhuǎn)棱鏡法(即圖1甲所示),1926年他用棱鏡的相反兩面發(fā)送和接收信號(如圖6),在相距35km的兩山之間,測得光速的結(jié)果為(2.997 96 ± 0.000 04)×108m/s．這個(gè)實(shí)驗(yàn)免除了旋轉(zhuǎn)鏡法中對角度測量的偏差,進(jìn)一步提高了測量精度．

圖6 邁克爾遜手繪的光速測量示意圖(1926年)

參考文獻(xiàn)：

1 郭奕玲,沈慧君.物理學(xué)史(第2版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005:140-144.

2 弗卡約里.物理學(xué)史[M].桂林:廣西師范大學(xué)出版社,2008:118-122.