“母題”的拓展應用
——以“豎直平面內(nèi)的圓周運動”為例

趙軍年

（甘肅省武威第六中學）

隨著逐年、各地高考對學生能力要求的變化，由高考衍生出的新穎題目越來越多，就像物理概念中的“熵”一樣一直在增加，而對于高中階段同時具有多門學習任務的學生來說，確實是應接不暇，尤其是高三的學生真的難以應對，那么如何讓學生從題海中跳出來，讓學生既能輕松應對高考，又能很好地掌握知識提升能力呢？掌握母題解法規(guī)律，研究母題拓展，可瘦身高考題典，使學生舉一反三，觸類旁通，讓學生快樂學習，輕松備考，事半功倍。掌握了母題就掌握了所有題目的骨架，如果學會了母體拓展就具備了駕馭高考試題的能力。下面以“豎直平面內(nèi)的圓周運動”為例來探討母題的拓展應用。

例題 如圖1所示，一根長為L的輕質(zhì)細線（不可伸長）一端固在O點，另一端系一個質(zhì)量為m的小球（可看成質(zhì)點），現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，重力加速度為g。

圖1

（1）v0是多少時，小球在豎直平面內(nèi)恰好做完整的圓周運動？

（2）若讓小球在豎直平面內(nèi)運動而讓輕繩一直不松弛，應滿足什么樣的條件？

解析

圖2

（1）若想讓小球在豎直平面內(nèi)恰好做完整的圓周運動，則要求小球既不能做近心運動也不能做離心運動，題目中未要求輕繩的最大拉力，所以不考慮離心運動。當小球通過圓心所在水平面以上高度時，如圖2以D點為例，對小球受力分析，由向心力公式得，由機械能守恒知，小球越往上走速度越小，隨著θ減小，cosθ在增大，mgcosθ就越大，繩子的拉力就越小，小球剛好脫離軌道時繩子的拉力為零，當給小球提供的向心力大于需要的向心力時，即時，小球會做近心運動而讓輕繩松弛脫離軌道，小球越往上走越容易使得 F提供的向心力>F需要的向心力，當小球運動到最頂端C時，速度最小，重力的分力最大，所以要想讓小球在豎直平面內(nèi)恰好做完整的圓周運動，就一定得過最高點C。

設小球通過最高點C的最小速度為vmin，此時輕繩拉力恰好為零，由圓周運動的向心力得

小球從A到C的過程應用動能定理得：

可知要使小球在豎直平面內(nèi)恰好做完整的圓周運動，小球應滿足

圖3

設小球恰能運動到圖3中的B點（速度為零），在A到B的過程中應用動能定理得：

綜上所述，若讓小球在豎直平面內(nèi)運動而讓輕繩一直不松弛，有以下兩種情況：

拓展應用一：

若將上題中的輕繩去掉，改為豎直光滑圓弧軌道，讓小球在其內(nèi)測運動而不脫離軌道，則小球在最低點的速度v0應滿足什么條件？

思維啟迪：小球為研究對象受力分析，發(fā)現(xiàn)小球所受圓軌道的支持力和（2）問中的輕繩的拉力作用效果是相同的，所以上面（2）問中的結論也是小球在豎直光滑圓軌道上運動而不脫離軌道的條件，即或者

結論：輕繩拉小球模型和小球在光滑圓弧軌道的內(nèi)側運動遵循相同的規(guī)律。

拓展應用二：

思維啟迪：因為輕繩拉小球模型和小球在光滑圓弧軌道的內(nèi)側運動遵循相同的規(guī)律。題目所給小球速度大于如圖4所示，小球能越過圓心所在水平面的B點，而v0小于小球不能到達圓弧最高點，小球在BC之間某一位置會脫離圓弧軌道，設脫離位置為F點，速度為VF，小球在脫離圓弧軌道時，軌道對小球的彈力N為零，脫離軌道后小球?qū)⒆鲂鄙蠏佭\動，由斜上拋規(guī)律知小球在最高點的速度是vFcosθ。

圖4

在圖4中的F點對小球受力分析（軌道對小球的彈力N為零），由圓周運動的向心力得

小球從A點運動到F點應用動能定理得

拓展應用三：

若將輕繩改為輕桿后，其他條件不變，讓小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動，v0應滿足什么樣的條件？

思維啟迪：若改為輕桿，小球在輕桿的約束下不可能做近心或離心運動，小球在沿著圓弧向上運動過程中，速度越來越小，如上圖4所示，只要過最高點C，小球就能做完整的圓周運動。

如圖4所示，假設小球恰能運動到最高點C（此時小球速度為零），對小球從A點到C點的過程，應用動能定理得：

拓展應用四：

如圖5所示，一半徑為R的光滑球體固定在水平地面上，一小球（可看成質(zhì)點）受輕微擾動從球面的頂端無初速滑下，小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g，問：小球在球面上何位置脫離？

圖5

思維啟迪：小球在沿球面下滑過程中做圓周運動，由機械能守恒得小球的速度越來越大，需要的向心力也越來越大，而重力的分力mgcosθ和球面的支持力的合力提供向心力，即（mgcosθ-N）提供向心力，小球下滑過程中θ在增大，cosθ在減小，而提供的向心力卻要求增大（因提供的向心力等于需要的向心力），這樣球面的支持力就越來越小，直到為零（此時刻小球剛好要脫離球面）。

設小球恰好在位置脫離球面，脫離時的速度是v，在點受力分析并由向心力公式得：

從O點到點應用動能定理得

結論：輕桿模型和小球在弧形軌道的外側運動也遵循相同的規(guī)律。

參考文獻：

［1］董海燕.什么地方容易脫軌［J］.中學物理，2008（7）：57-58.

［2］楊榕楠.更高更妙的物理［M］.杭州：浙江大學出版社，2015:77-81.