關(guān)注核心概念，悟《解三角形》中求參數(shù)范圍之道

陳 斌

（福建省晉江市第一中學(xué)）

解三角形時(shí)往往會(huì)遇到求邊、角或代數(shù)式的取值范圍（或最值）問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)是自然的，只要關(guān)注核心概念，就能悟出求解此類(lèi)問(wèn)題之道。

本部分的核心概念當(dāng)屬“三角形”，它的內(nèi)涵包含邊邊、角角和邊角關(guān)系，重要定理是內(nèi)角和定理、正弦定理和余弦定理。它的外延已經(jīng)豐富到了任意三角形?！叭切巍钡母拍顚?duì)本部分起著統(tǒng)領(lǐng)和主導(dǎo)作用。

分析：本題只要關(guān)注到核心概念之邊角關(guān)系，若根據(jù)正弦定理，則把關(guān)于邊的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，從而利用三角函數(shù)求最值即可；若根據(jù)余弦定理，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了直線與曲線的關(guān)系問(wèn)題，相切時(shí)取最值。

簡(jiǎn)解二：設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，由余弦定理的推論所以a2+c2-ac=b2=3，設(shè)c+2a=m，代入上式并整理得7a2-5am+m2-3=0，Δ=84-3m2≥0故

例 2．在銳角△ABC 中，a，b，c分別是角 A，B，C 的對(duì)邊，且 B=2A，求的取值范圍．

分析：本題的核心概念仍然是三角形的邊角關(guān)系，解題思路還是根據(jù)正弦定理，把關(guān)于邊的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，從而求三角函數(shù)的值域；但是，本題的另一個(gè)核心概念是“銳角三角形”，只有關(guān)注到它，才能正確確定出函數(shù)的定義域。

例 3．在△ABC 中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有兩解，求 x的取值范圍．

分析：本題的核心概念是“三角形有兩個(gè)解”，由此確定出函數(shù)的定義域即可．

因?yàn)锳有兩個(gè)值，所以a>b，故A＞45°

∵A+C=135° ∴45°＜A＜135°

例4．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，設(shè)f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2，若f（2）=0，求角C的取值范圍。

分析：本題的核心概念仍然是邊角關(guān)系，但轉(zhuǎn)化的方向是由邊到角，具體方法是由余弦定理和均值不等式可得cosC的范圍，再通過(guò)解三角不等式得角C的取值范圍。

簡(jiǎn)解：因?yàn)閒（2）=0，所以4a2-2（a2-b2）-4c2=0，即a2+b2-2c2=0

例5．已知鈍角三角形的三邊分別是a，a+1，a+2，其最大內(nèi)角不超過(guò)120°，求a的取值范圍．

分析：本題易錯(cuò)，原因是容易忽視核心概念三角形之邊邊關(guān)系。事實(shí)上，若三角形的三邊長(zhǎng)均含有參數(shù)，一定要考慮構(gòu)成三角形的邊邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊．

簡(jiǎn)解：因?yàn)殁g角三角形的三邊分別是a，a+1，a+2，且其最大內(nèi)角不超過(guò)120°

例 6．在平行四邊形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，求AB的取值范圍．

分析：本題給出的條件是四邊形，但核心概念仍然是三角形及其邊角關(guān)系，考慮到AD是可以變化的，作出圖形，平移AD，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合于點(diǎn)E時(shí)，AB最長(zhǎng)，當(dāng)AD與CF重合時(shí)AB最短，再利用正弦定理求出兩種極限位置時(shí)AB的長(zhǎng)，即可求出AB的范圍。

簡(jiǎn)解：如圖所示，

∠A=∠B=∠C=75°，所以∠D=135°，又 BC=2，所以當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，由正弦定理可得，解得