在“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)中演繹精彩

袁一丹

（浙江省桐廬中學(xué)）

在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行變式教學(xué)能讓學(xué)生從“題?！敝薪夥懦鰜恚怪畯谋粍铀季S轉(zhuǎn)化為積極主動的思維。在使用變式教學(xué)時要緊扣數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵特征，從學(xué)生的現(xiàn)有實際接受能力出發(fā)，根據(jù)平時數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，以提升學(xué)生能力為目的進(jìn)行變式。本文從數(shù)學(xué)變式教學(xué)的價值出發(fā)，談?wù)勅绾螐暮侠碓O(shè)置增強“變式教學(xué)”的趣味性、主體性、正遷移及綜合性出發(fā)，以題帶面嘗試在變式教學(xué)中的具體操作。

一、“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)的價值

“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生科學(xué)地掌握數(shù)學(xué)概念的一種數(shù)學(xué)教學(xué)方式。本文認(rèn)定的“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)是：在數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中，可以在數(shù)學(xué)問題原有的狀態(tài)下改變它的呈現(xiàn)形式，如將條件或結(jié)論適當(dāng)變化等，使數(shù)學(xué)問題的內(nèi)容和形式在表面上發(fā)生了變化，但解決此數(shù)學(xué)問題所用的知識與方法不變的教學(xué)方式。所謂的“數(shù)學(xué)變式”就是保持?jǐn)?shù)學(xué)問題的原有性質(zhì)，不斷地改變它的展示狀態(tài)。即教師通過不斷改變數(shù)學(xué)問題原有性質(zhì)的非本質(zhì)特征，如在原有的狀態(tài)下改變數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論，從表面的形式上改變數(shù)學(xué)問題的內(nèi)容和形式，但仍然保存了原來數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性。

“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)能提高學(xué)生對問題進(jìn)行遷移和創(chuàng)新的能力，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要方法。在教學(xué)中具體來說如對典型的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有針對性的、不同角度、多種層次的演變，比如改變數(shù)學(xué)命題的條件和結(jié)論，變換數(shù)字、呈現(xiàn)形式，或組合狀態(tài)等。變式的過程就是思維遷移和深化的過程。通過變式數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)，可以使學(xué)生多角度、多層次地去審視與思考數(shù)學(xué)問題，這會讓學(xué)生形成不受限于固定的思維模式，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性與創(chuàng)造性是富有成效的。

二、“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)的嘗試

中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是靈活和多方向的，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該提供給學(xué)生的教育是：充分調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，全方位地拓展學(xué)生的思維空間，最大限度地開發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能。而實現(xiàn)這一目標(biāo)的有效途徑之一就是“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)的靈活應(yīng)用。通過改變數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生對滿足同類但不同條件的情況做出準(zhǔn)確的分析與判斷；或者通過學(xué)生解題后的反思提煉出同一類問題的解決操作過程與方法；通過改變結(jié)論（擴展使用范圍）等方式培養(yǎng)學(xué)生合情推理、深入探索的思維能力，有效地突破原有的思維定勢，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更具有靈活性和創(chuàng)造性。

具體操作時可從以下兩個層面展開，一是充分利用“變式”自身的特點和屬性，多角度地從以下“四性”開展：合理設(shè)置，增強“變式”趣味性；師生互動，突出“變式”主體性；深入挖掘，實現(xiàn)“變式”正遷移；以題帶面，體現(xiàn)“變式”綜合性。二是從提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)出發(fā)，讓學(xué)生在“變式”中進(jìn)行探究和拓展，促進(jìn)學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和優(yōu)秀的數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)問題的遷移能力。

（一）多角度體現(xiàn)“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)的特點

1.合理設(shè)置，增強“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)的趣味性

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生主動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的源動力是興趣。有興趣的同學(xué)會積極主動地參與到課堂教學(xué)與互動中來，這有利于優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。然而這種興趣不是與生俱來的，要通過教師在課堂教學(xué)中采用積極有效的教學(xué)手段逐步培養(yǎng)出來。合理利用“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的有效手段。

【案例1】7個人排隊，求以下各種情況的不同排法：

（1）按任意的順序排成一排；（2）排成兩排，前排3人，后排4人。

以上兩題的實質(zhì)都是7個不同元素的全排列問題，是沒有任何條件限制的。

變式1：（1）甲排在隊伍的正中間；（2）甲在正中間，甲與乙相鄰；（3）甲、乙在隊伍的兩端。

變式意圖：變式1屬于某些元素位置有特殊要求的類型，這樣就由上題的全排列變化到特殊元素優(yōu)先考慮的類型。這樣的過渡比較自然，有利于學(xué)生自主探索和學(xué)習(xí)。

變式 2：（1）甲與乙相鄰；（2）甲、乙、丙三人相鄰；（3）甲、乙、丙三人相鄰且甲在中間。

變式意圖：變式2在變式1的基礎(chǔ)上條件變化為兩個特殊元素以及三個特殊元素的相鄰問題，這樣可以啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生得出用捆綁法解決這類問題。

變式 3：（1）甲與乙不相鄰；（2）甲、乙、丙三人均不相鄰。

變式意圖：變式3在變式2的基礎(chǔ)上將條件變化為指定元素不相鄰的問題，這樣促使學(xué)生積極思考，并能夠主動找出和上面題目的區(qū)別，從而得到插空法的基本類型。

通過以上題目的變式教學(xué)能使學(xué)生對排列問題中的幾種常規(guī)題型有一個總體的把握，能夠?qū)︻}目對癥下藥。只有在課堂上充分調(diào)動起學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，才能達(dá)到良好的數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

2.師生互動，突出“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)的主體性

數(shù)學(xué)老師的教學(xué)氛圍要大氣是指教師要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，凸顯主干知識，在概念和原理的發(fā)現(xiàn)和生成處著力，加強基本技能的訓(xùn)練。教學(xué)氛圍的靈動是指教師的教學(xué)實際不拘于教學(xué)設(shè)計，根據(jù)教學(xué)氛圍因時、因勢而動，順勢而為。所以教師要在課堂上充分利用好各種教學(xué)資源，展示自己的數(shù)學(xué)教學(xué)魅力，尊重與激勵學(xué)生，有意識地為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)搭建平臺，更多地為學(xué)生進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)創(chuàng)設(shè)各種機會，更多地為學(xué)生體驗數(shù)學(xué)提供時空，真正創(chuàng)造出能讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)智慧的民主、大氣、靈動的教學(xué)氛圍。

在授課過程中，教師要充分關(guān)注師生互動，在互動中注意正確引導(dǎo)，要鼓勵學(xué)生在課堂上提出自己的觀點，對于學(xué)生獨特、奇異的提問與回答，要將適度激勵與客觀引導(dǎo)相結(jié)合，讓學(xué)生體會到自己的主體性。對學(xué)生自己解決有困難的題目，可以進(jìn)行師生、生生的共同分析探究來解決。

本題通過點差法或利用韋達(dá)定理很容易解決。但是在解決了這個問題的基礎(chǔ)上我們可以做如下變式：雙曲線方程不變，是否存在被點（1，1）平分的弦？同樣的題目只是變化了一個點的坐標(biāo)，利用如上的方法，我們會發(fā)現(xiàn)，這樣的弦不存在，這樣就會激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，為什么對于有的點存在被這個點平分的弦而有的點不存在呢？進(jìn)而根據(jù)這兩個點與雙曲線的位置關(guān)系可以聯(lián)想到以下結(jié)論是否正確：

（1）點在雙曲線的兩側(cè)就一定存在被這個點平分的弦；

（2）點在雙曲線的中間不一定存在被這個點平分的弦；

（3）點在雙曲線上不存在被這個點平分的弦。

此時把問題推廣到了一個一般情況，激發(fā)學(xué)生的探索欲望。從而由一個具體的題目得到了一個很有用的一般性結(jié)論，在潛移默化中使學(xué)生形成了對題目進(jìn)行挖掘和總結(jié)的思維習(xí)慣。

3.深入挖掘，實現(xiàn)“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)的正遷移

遷移可理解為學(xué)生頭腦中已有的知識結(jié)構(gòu)對新知識學(xué)習(xí)的影響，先學(xué)的知識與后學(xué)的知識如果存在共同的因素，總有遷移的現(xiàn)象發(fā)生，所含的影響如果是積極的則稱為正遷移，否則稱為負(fù)遷移。數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)就是有效地實現(xiàn)正遷移。也就是通過某些途徑或方法將新知識或新問題納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使知識在新的問題情境中產(chǎn)生正遷移。正向知識變遷是逆向化歸的基礎(chǔ)。在推導(dǎo)某些重要的結(jié)論時可以通過對熟悉題目的變式得出結(jié)論。

【案例 3】在數(shù)列{an}中 a1=1，an+1=an+1（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。

這是等差數(shù)列的遞推關(guān)系式，學(xué)生很容易求解。通過此題可以復(fù)習(xí)等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法，進(jìn)而對題目進(jìn)行變式。

變式1：將題中的遞推關(guān)系改為an+1=an+n，根據(jù)等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法“累加法”操作就可以。

變式2：把原題中遞推關(guān)系改為，an+1=an+2n-1學(xué)生按照上面的解法同樣可以得出答案。這時適時啟發(fā)學(xué)生：對于什么形式的遞推關(guān)系可以利用“累加法”求解？

到此可以得出如下結(jié)論：形如an+1=an+f（n）的遞推關(guān)系可以利用累加的思想方法，化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題解決。

對于上題可以繼續(xù)變式為系數(shù)不相等的情況：

變式3：把原題中遞推關(guān)系變化為an+1=2an+1，又可以得到待定系數(shù)法求一般形式為 an+1=can+d（c≠0，c≠1，d≠0）的數(shù)列的通項公式。

這樣的教學(xué)設(shè)計有利于學(xué)生從整體上把握和區(qū)分，由特殊數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)方法得出一個類型的問題的解決通法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。通過這種“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)使新舊知識有機地融合起來，可以促進(jìn)學(xué)生對新知識的接受。

4.以題帶面，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)的綜合性

教師上課時要讓學(xué)生領(lǐng)悟和思考解題過程中用到的知識點有無縱橫聯(lián)系，如有是如何聯(lián)系的，使數(shù)學(xué)知識逐步系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化。對那些有較大靈活性的典型問題要深入地實施“借題發(fā)揮”，達(dá)到以題帶面的效果。精心設(shè)計有層次、有坡度、要求明確、題型多變的問題，使學(xué)生跳出“題?！?，以不變應(yīng)萬變?！皵?shù)學(xué)變式”教學(xué)力求變中求“活”、變中求“新”、變中求“異”、變中求“廣”。

【案例4】已知，f（x）=3x2-9x+6，f（x）≥m恒成立，求m最大值。（達(dá)成率較好）

由于這題做了效果不怎么好，所以在經(jīng)過全班講評后我在隨后的反饋題中設(shè)置了這么一個練習(xí)：已知函數(shù) f（x）=對于一切x∈R，均有f（x）＜0成立，求m的取值范圍。（達(dá)成率近半）

此外，我在一段時間的提高題中，設(shè)置了如下一些知識點的綜合題：

（1）已知集合 A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-2ax+a+2≤0}，若 B?A，求實數(shù)a取值范圍。（此題與集合結(jié)合，很多同學(xué)會遺漏掉“空集是任何集合的子集”的知識點）

通過此題，學(xué)生往往會有這樣的感悟：原來我們還可以這樣利用圖象來解決函數(shù)中參數(shù)問題及零點問題。這樣的訓(xùn)練擴充了學(xué)生原有的知識體系，促使學(xué)生對圖象的理解又更深了一步。

（4）已知f（x）是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，當(dāng)時a+b≠0，總有，判斷函數(shù)f（x）在［-1，1］上的單調(diào)性。（這題非常規(guī)的單調(diào)性證明，要求學(xué)生有較高的奇函數(shù)和單調(diào)性知識綜合使用能力）

對于這樣的操練能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，很多同學(xué)在課后會有這樣的感嘆：要學(xué)會自主選擇，選擇向目標(biāo)靠近的途徑，使我的每一步有目的地進(jìn)行操作，有利于提高自己的思維深度。

（二）多方面突破“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)的思維

1.在“數(shù)學(xué)變式”中拓展思維

數(shù)學(xué)教學(xué)就其本質(zhì)而言是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的過程是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的過程，是學(xué)生將本問題與原有認(rèn)知及各種問題解決策略結(jié)合起來進(jìn)行探索、分析、探究的過程，是學(xué)生“用自己的大腦親自獲得知識的再發(fā)現(xiàn)過程”。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要堅持將優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維作為首要任務(wù)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)厥褂谩皵?shù)學(xué)變式”，讓學(xué)生從不同角度對不同問題進(jìn)行探究，能起到促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)問題做到觸類旁通、舉一反三，從而更好地優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)的作用。

【案例5】對于一切x∈R，若不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

本題利用一元二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系很容易解決，只需滿足Δ≤0即可求出a的取值范圍。

變式1：對于一切x∈R，若不等式ax2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

變式意圖：此時可以讓學(xué)生思考片刻后回答，如果回答得不全面可以再請其他同學(xué)補充，這樣讓學(xué)生積極主動思考、對比兩題的異同點，從而得到正確的解答方法。

變式2：對于一切x≥-1，若不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

變式意圖：這是不等式在某一區(qū)間上恒成立的問題，在上一題目的基礎(chǔ)上提升難度，有多種解決方法。如果利用上面的思考方法既要考慮對判別式的分類討論，又要考慮相應(yīng)的一元二次方程根的分布問題。這個背景變化了的題目可以啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換思考角度，探索新的方法，即利用變量分離的方法來解決。

變式 3：對于一切 x∈R，若不等式 sin2α-2asinα+2-a≥0 恒成立，求a的取值范圍。

變式意圖：變式3與三角函數(shù)相結(jié)合使難度進(jìn)一步加大，與上題既有聯(lián)系又有區(qū)別，學(xué)生在解決上一題目的基礎(chǔ)上對于此題的解答有一定的認(rèn)識，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)考查問題。此時可以激發(fā)起學(xué)生征服這個題目的欲望。此時也可適時地啟發(fā)學(xué)生將變式與其他基本函數(shù)相結(jié)合，學(xué)生掌握了這種思維方法，對于同一類型的題目都會迎刃而解。

變式4：對于一切a≥-1，若不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求x的取值范圍。

變式意圖：此題在不等式不變的情況下給出字母a的取值范圍，求相應(yīng)的x的取值范圍。又要變化思考問題的角度，相似的題目不同的解決方法和思維方法，可以調(diào)動學(xué)生的參與意識和創(chuàng)新意識。

2.在“數(shù)學(xué)變式”中深入探究

數(shù)學(xué)教材中的例題和習(xí)題的結(jié)論，反映了相關(guān)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)屬性，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思維方法和思想精髓，教師應(yīng)充分利用好書本素材，在課堂上適當(dāng)?shù)貙υ?xí)題進(jìn)行如弱化條件或拓展結(jié)論等深層次的探究，挖掘出更為深刻的結(jié)論。讓教師對教材的“再創(chuàng)造”貫穿于數(shù)學(xué)課堂的全過程，使數(shù)學(xué)課堂因一連串的變式促進(jìn)各種不同思維的碰撞與產(chǎn)生，不同方法的融會貫通。一個問題的解決，能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)許多有意義的問題并得出許多有意義的答案，對進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)問題的奧秘是很有啟發(fā)的。紛繁的背后其實是簡單的原理。

【案例6】人教A版《數(shù)學(xué)》必修1第45頁復(fù)習(xí)參考題B組第5題，證明：

（2）若f（x）=x2+ax+b，則

教學(xué)過程中，對本習(xí)題結(jié)論證明之后，筆者給學(xué)生設(shè)計了如下問題：

請適當(dāng)改變（2）中的條件，探求相應(yīng)的結(jié)論，你能否將該命題進(jìn)行適當(dāng)推廣？

課堂上放手讓學(xué)生自己變更條件，探求其相應(yīng)的結(jié)論或?qū)⒚}推廣，安排小組學(xué)習(xí)的形式進(jìn)行討論（給予足夠的時間），然后請小組代表展示探究結(jié)果。

組A代表1：

組B代表2：

組C代表3：

組D代表4：

組E代表5：

組F代表6：

教師：很好！組A代表改變二次項系數(shù)；組B同學(xué)將結(jié)論由n=2推廣到n=3；組C同學(xué)變換函數(shù)，將二次函數(shù)變?yōu)閷?shù)函數(shù)；組D同學(xué)將二次函數(shù)變?yōu)橹笖?shù)函數(shù)；組E同學(xué)將二次函數(shù)一般化；組F同學(xué)將結(jié)論進(jìn)行推廣……下面請判斷這些結(jié)論是否正確。

通過討論，學(xué)生對自己探索所得的結(jié)論進(jìn)行推證，去偽存真，達(dá)成共識：其中⑴⑵⑶⑺⑻⑼是正確的，⑷⑸⑹是錯誤的。

上述以教材中的一道習(xí)題作為學(xué)生設(shè)計問題并提供探索依據(jù)，啟發(fā)學(xué)生變換題目的條件，經(jīng)過歸納、假設(shè)等再發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維活動，探索相應(yīng)的結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神，促進(jìn)創(chuàng)新能力的提升。

“數(shù)學(xué)變式”教學(xué)使學(xué)生在錯綜復(fù)雜的變化中感悟數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從而形成完整的認(rèn)知過程，充分體驗了分析問題、解決問題的思維過程，從而提高學(xué)生探究、探索數(shù)學(xué)問題的綜合能力?！皵?shù)學(xué)變式”教學(xué)把枯燥的知識層層解剖，撥開迷霧，看清“廬山真面目”，使學(xué)生能舉一反三，融會貫通，從而減輕了題海戰(zhàn)術(shù)所帶來的疲憊；使學(xué)生體驗“柳暗花明又一村”的豁然開朗，經(jīng)歷從百思不得其解到得來全不費工夫的酣暢淋漓；使學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)學(xué)科的趣味性，感受數(shù)學(xué)課堂的獨特魅力，使數(shù)學(xué)課充滿生機，煥發(fā)活力，大放異彩。

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