橫流轉(zhuǎn)捩模型研究進(jìn)展

向星皓, 張毅鋒, 陳堅(jiān)強(qiáng),, 袁先旭, 何 琨

(1.空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川 綿陽 621000; 2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 計(jì)算空氣動(dòng)力研究所, 四川 綿陽 621000)

0 引 言

層流過渡至湍流的轉(zhuǎn)捩問題被認(rèn)為是經(jīng)典物理遺留的難題之一，該問題尚未完全解決并將長(zhǎng)期作為現(xiàn)代流體力學(xué)重點(diǎn)關(guān)注的前沿領(lǐng)域而存在。轉(zhuǎn)捩研究不僅具有重要的基礎(chǔ)理論意義，還具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值，因?yàn)檗D(zhuǎn)捩起始位置及區(qū)域會(huì)影響航空航天飛行器表面的氣動(dòng)力、熱分布，進(jìn)而對(duì)飛行器的操縱特性以及熱防護(hù)設(shè)計(jì)等帶來影響。在能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩位置的前提下，可以通過優(yōu)化外形、改變壁面條件等多種手段延遲轉(zhuǎn)捩的發(fā)生，從而有效實(shí)現(xiàn)飛行器減阻以及熱防護(hù)設(shè)計(jì)的優(yōu)化。

轉(zhuǎn)捩過程受諸多因素的影響，轉(zhuǎn)捩機(jī)制亦多種多樣。在真實(shí)飛行器的三維邊界層中，受壓力梯度和后掠角的共同作用，邊界層內(nèi)近壁區(qū)往往會(huì)出現(xiàn)與邊界層外勢(shì)流平面內(nèi)流線方向垂直的流動(dòng)分量，稱為橫流流動(dòng)，如圖1所示。由橫流速度拐點(diǎn)導(dǎo)致的橫流失穩(wěn)機(jī)制在三維邊界層中普遍存在，常常成為三維邊界層轉(zhuǎn)捩的主導(dǎo)因素。

目前，橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)方法主要有兩類。一類是基于線性穩(wěn)定性理論以及非線性穩(wěn)定性理論的穩(wěn)定性分析方法，能夠預(yù)測(cè)橫流轉(zhuǎn)捩中的首次失穩(wěn)[2-3]、橫流渦的飽和以及二次失穩(wěn)[4]。另一類是基于雷諾平均方程(RANS)的轉(zhuǎn)捩模型，該類方法與現(xiàn)代CFD相結(jié)合，從轉(zhuǎn)捩的統(tǒng)計(jì)特性出發(fā)，能夠以較低的計(jì)算條件、較少的計(jì)算資源獲得轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果。本文主要介紹現(xiàn)階段橫流轉(zhuǎn)捩模型的研究進(jìn)展，結(jié)合橫流判據(jù)對(duì)橫流轉(zhuǎn)捩模型進(jìn)行分析與討論，并對(duì)橫流轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展進(jìn)行了展望。

1 橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)

由于壓力梯度、后掠角等因素綜合作用，在邊界層內(nèi)部垂直于勢(shì)流區(qū)流線方向形成橫流速度剖面，相應(yīng)地會(huì)產(chǎn)生橫流渦。橫流不穩(wěn)定波的增長(zhǎng)率比T-S波增長(zhǎng)率大得多[5]，相應(yīng)的，在相同來流條件與相同迎角下，后掠翼繞流相比平直翼繞流其轉(zhuǎn)捩位置更靠前，湍流區(qū)域也更大。橫流失穩(wěn)模態(tài)可以分為定常模態(tài)與非定常模態(tài)，對(duì)應(yīng)定常橫流渦與非定常橫流渦，也稱之為駐波擾動(dòng)與行波擾動(dòng)，通常定常橫流渦由壁面粗糙度引起，非定常橫流渦由來流湍流度引起[6]。一般來講，后掠翼的行波擾動(dòng)比駐波擾動(dòng)的增長(zhǎng)率要高[7]，但哪種擾動(dòng)占主導(dǎo)地位則與具體情況有關(guān)，如表面粗糙程度以及自由來流擾動(dòng)幅值等。在不可壓流動(dòng)中，定常橫流渦在多數(shù)情況下均主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩，只有在高湍流度條件下橫流轉(zhuǎn)捩由非定常橫流渦主導(dǎo)[7]。超聲速可壓流中，何種擾動(dòng)占主導(dǎo)地位還在研究當(dāng)中[8]。

1.1 橫流雷諾數(shù)

通過構(gòu)造橫流雷諾數(shù)并尋找臨界值作為橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)是傳統(tǒng)的橫流判據(jù)研究思路。早期橫流雷諾數(shù)由Owen和Randall[10]基于英國(guó)皇家空軍實(shí)驗(yàn)室的飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)[9]提出，其橫流雷諾數(shù)構(gòu)造如下

(1)

其中最大橫流速度Wmax為沿當(dāng)?shù)乇诿娣ㄏ驅(qū)ふ业臋M流速度最大值，是橫流速度為最大橫流速度10%且更靠近邊界層外緣的位置所對(duì)應(yīng)的壁面距離。該判據(jù)采用亞聲速實(shí)驗(yàn)標(biāo)定，橫流渦生成和由橫流渦導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩的臨界雷諾數(shù)分別約為125和175。由于該判據(jù)需要全場(chǎng)搜尋Wmax和δ10%，因此效率較低[1]。

2.3≤H12<2.7

(2)

(3)

C1準(zhǔn)則的局限在于其只適用于計(jì)算后掠翼前緣附近的加速區(qū)域[1]。Chapman[18]驗(yàn)證了Owen和Randall[10]的橫流判據(jù)在亞聲速至超聲速較大馬赫數(shù)范圍內(nèi)鈍前緣后掠翼繞流中的適用性，并基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和二維邊界層近似假設(shè)提出了針對(duì)翼型的圓柱形前緣橫流雷諾數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。Boltz等[15]通過風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)研究低速無尖梢后掠翼的后掠角對(duì)邊界層穩(wěn)定性的影響，認(rèn)為后掠角、壓力梯度和流向雷諾數(shù)的綜合效應(yīng)可以用橫流雷諾數(shù)來表述，給出了臨界雷諾數(shù)，并提出了在后掠翼算例中已知壓力梯度時(shí)快速計(jì)算橫流雷諾數(shù)的方法。

迄今為止，多數(shù)橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)研究局限于低速流動(dòng)，關(guān)于高超聲速流動(dòng)橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)的研究還很少，同時(shí)各種來流參數(shù)對(duì)高超聲速下橫流失穩(wěn)的影響還沒有嚴(yán)格定論[19]。Reed和Haynes[20]開展了帶迎角的高超聲速圓錐實(shí)驗(yàn)，提出了高超聲速條件下考慮可壓縮效應(yīng)和壁溫效應(yīng)的橫流雷諾數(shù)RCF(new)。新定義的橫流雷諾數(shù)為：

RCF(new)=HLRCF=HLWmaxδ10%/υe

(4)

壓縮性修正因子H定義為：

(5)

壁溫修正因子L定義為：

+0.664A])/(5+2.385A)

(6)

圖2 帶側(cè)滑角圓錐實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最小二乘法擬合[20]Fig.2 Linear least-squares fit through the experimentalyawed-cone data[20]

如圖2，Reed等采用上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到新橫流雷諾數(shù)轉(zhuǎn)捩判據(jù)：

(7)

該判據(jù)適用于高超聲速流動(dòng)，并且在不可壓條件下退化到傳統(tǒng)橫流雷諾數(shù)。但如圖2所示，依靠經(jīng)驗(yàn)擬合構(gòu)造的新橫流雷諾數(shù)的橫流強(qiáng)度范圍有限，當(dāng)橫流強(qiáng)度大于8%以后，RCF(new)-Wmax/Ue是否滿足線性關(guān)系目前未知。

1.2 Kohama參數(shù)

在Kohama參數(shù)提出前，橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)研究工作基本上圍繞橫流雷諾數(shù)展開。橫流雷諾數(shù)雖然有多種定義形式，但始終未擺脫單純依靠實(shí)驗(yàn)標(biāo)定、受外形參數(shù)影響而適用范圍受限以及因需要全場(chǎng)尋找邊界層特定厚度和特定速度導(dǎo)致計(jì)算效率低等問題?；诖?，Kohama和Davis[11]根據(jù)橫流渦和G?rtler渦的相似性提出了僅與無粘流區(qū)域相關(guān)而不需要邊界層全場(chǎng)信息的Kohama參數(shù)作為橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)。Kohama等認(rèn)為橫流不穩(wěn)定性和G?rtler不穩(wěn)定性主要區(qū)別僅在于離心力的方向不同，可以用相似的參數(shù)來判斷轉(zhuǎn)捩發(fā)生，類比G?rtler數(shù)提出了Kohama參數(shù)，定義如下：

(8)

Kohama參數(shù)的局限在于具有較強(qiáng)的幾何相關(guān)性[1]。在該橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)提出以后，Watanabe等[21]對(duì)Kohama參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)以減弱其受邊界條件幾何特性影響，并將改進(jìn)后的判據(jù)應(yīng)用到γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型中，構(gòu)造了基于當(dāng)?shù)亓康臋M流轉(zhuǎn)捩模型，詳細(xì)介紹見2.2節(jié)。

1.3 橫流強(qiáng)度

一般后掠角越大，橫流效應(yīng)越明顯。Müller和Herbst[14]采用流向渦強(qiáng)度用于指示邊界層內(nèi)的橫流信息，將無量綱的速度矢量與渦矢量點(diǎn)乘以獲得流線方向的渦量大小，又稱為Helicity參數(shù)。當(dāng)用壁面距離y對(duì)流向渦量無量綱化，得到橫流強(qiáng)度的判定標(biāo)準(zhǔn)Hcrossflow：

(10)

Ωstreamwise=|U·Ω|

(11)

(12)

Hcrossflow具有如下特點(diǎn)：無橫流時(shí)，在展向速度為零的近似二維流動(dòng)中值為0；在橫流效應(yīng)很強(qiáng)的三維流動(dòng)當(dāng)中，橫流強(qiáng)度越大，該值越大。

Hcrossflow的取值與后掠角和速度相關(guān)，可以用來指示橫流轉(zhuǎn)捩。需說明，Hcrossflow并不是像傳統(tǒng)橫流雷諾數(shù)或者Kohama參數(shù)直接作為橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)，而是參與轉(zhuǎn)捩判據(jù)的構(gòu)造，如Langtry等[22]提出的定常橫流雷諾數(shù)ReSCF，見2.3節(jié)。Müller和Herbst[14]也根據(jù)Helicity參數(shù)提出了橫流轉(zhuǎn)捩模型，國(guó)內(nèi)史亞云等[23]對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。

1.4 類比γ-Reθt模型的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)

目前橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)模型研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)在于模型參數(shù)的完全當(dāng)?shù)鼗约疤岣吣Ｐ驮趶?fù)雜構(gòu)型下的適用性[23]。Kohama準(zhǔn)則[11]和流向渦判據(jù)[14]都是將當(dāng)?shù)厍蠼庾鳛榕袚?jù)構(gòu)造要求之一。而三維邊界層方程相似解是實(shí)現(xiàn)橫流模型參數(shù)當(dāng)?shù)鼗挠忠挥行緩健?/p>

圖3 類比γ-Reθt的橫流判據(jù)的構(gòu)造[13]Fig.3 Structure of CF-extension of the γ-Reθt model[13]

Grabe和Krumbein[13,24]針對(duì)γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型不適合計(jì)算三維橫流轉(zhuǎn)捩的問題，對(duì)模型進(jìn)行了拓展，增加了橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)。如圖3所示，該判據(jù)核心是基于速度梯度的橫流雷諾數(shù)Redw/dy與橫流臨界位移厚度雷諾數(shù)Reδ2c的比值達(dá)到臨界值Kcf時(shí)，即認(rèn)為轉(zhuǎn)捩發(fā)生：

Redw/dy/Reδ2c=Kcf

(13)

由于橫流方向不存在類似二維邊界層方程中渦雷諾數(shù)Rev與動(dòng)量厚度雷諾數(shù)Reθ之間的線性關(guān)系，因此Kcf不是常數(shù)而是Hartree壓力梯度因子的函數(shù)。臨界橫流位移厚度雷諾數(shù)Reδ2c是通過經(jīng)驗(yàn)擬合而成的壓力梯度因子βh和當(dāng)?shù)睾舐咏?的函數(shù)。該函數(shù)通過不同壓力梯度下FSC方程的解來確定。該判據(jù)未涉及動(dòng)量厚度雷諾數(shù)Reδ2t輸運(yùn)方程求解，并且通過FSC數(shù)據(jù)庫實(shí)現(xiàn)了Reδ2c的當(dāng)?shù)鼗?，因而具有?dāng)?shù)厍蠼馓匦浴?/p>

以上對(duì)目前常用的四類轉(zhuǎn)捩判據(jù)進(jìn)行了介紹，基于這些判據(jù)出現(xiàn)了多種邊界層橫流轉(zhuǎn)捩模型，下面逐一進(jìn)行分析討論。

2 橫流轉(zhuǎn)捩模型

湍流模型中工程應(yīng)用較普遍的是渦粘模型，如S-A模型[25]、k-ωSST剪切應(yīng)力輸運(yùn)模型[26]等。時(shí)至今日，各類湍流模型依然在不斷改進(jìn)與發(fā)展中。湍流模型與間歇因子、層流脈動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)捩經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式、放大因子等相結(jié)合形成了各種轉(zhuǎn)捩模型[27]，進(jìn)而通過各類橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)構(gòu)造出多種橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)模型。

Medida和Baeder[1]?；藱M流雷諾數(shù)并以其為判據(jù)引入到γ-Reθt模型中。王亮[5]等基于Warren和Hassan[28]的時(shí)間尺度，構(gòu)建了新型k-ω-γ湍流/轉(zhuǎn)捩模型，模型包含橫流時(shí)間尺度。周玲等[29]基于Owen和Randall[10]提出的橫流雷諾數(shù)，對(duì)k-ω-γ轉(zhuǎn)捩模型進(jìn)行了橫流改進(jìn)。張毅鋒等[30]采用了考慮可壓縮效應(yīng)和壁溫效應(yīng)的橫流雷諾數(shù)[20]，初步實(shí)現(xiàn)了γ-Reθt模型對(duì)高超聲速橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)。在Kohama參數(shù)[11]提出之后，Watanabe等[21]以其為判據(jù)在γ-Reθt模型中添加了橫流模塊，并嘗試對(duì)Kohama參數(shù)進(jìn)行?；angtry等[22]根據(jù)Müller和Herbst[14]提出的Helicity參數(shù)，引入粗糙度影響，構(gòu)建了橫流判據(jù)與模型。Grabe和Krumbein[13,24]基于FSC方程相似解構(gòu)建了當(dāng)?shù)鼗瘷M流模型，在此基礎(chǔ)上Choi和Kwon[31-32]引入T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性相互作用機(jī)制。徐家寬等[33-34]以不同壓力梯度下FSC方程解為數(shù)據(jù)庫類似地構(gòu)建了當(dāng)?shù)鼗瘷M流判據(jù)與模型。獨(dú)立的橫流模型方面，Vizinho等[35]針對(duì)三維邊界層轉(zhuǎn)捩基于S-A一方程模型構(gòu)造了唯象的橫流轉(zhuǎn)捩模型。

2.1 基于橫流雷諾數(shù)的橫流轉(zhuǎn)捩模型

橫流雷諾數(shù)作為橫流轉(zhuǎn)捩的判據(jù)之一，可以被直接應(yīng)用于橫流轉(zhuǎn)捩模型中，多數(shù)橫流模型的轉(zhuǎn)捩觸發(fā)都體現(xiàn)為其定義的橫流雷諾數(shù)ReCF大于某個(gè)臨界值ReCF-threshold。

2.1.1 時(shí)間尺度轉(zhuǎn)捩模型

Warren和Hassan[28]將不穩(wěn)定擾動(dòng)波的影響νnt引入到有效渦粘系數(shù)中，記作ν=(1-γ)νnt+γνt。并假設(shè)νnt的形式與湍流粘性系數(shù)的形式相似，νnt=Cμkτnt，其中τnt對(duì)應(yīng)各模態(tài)不穩(wěn)定波的時(shí)間尺度，也包括橫流時(shí)間尺度。他們采用橫流時(shí)間尺度后能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)多種表面粗糙度下變雷諾數(shù)的亞聲速NLF(2)-0415后掠翼的一系列轉(zhuǎn)捩位置[28]。

同樣，基于時(shí)間尺度，王亮等提出了新型k-ω-γ湍流/轉(zhuǎn)捩模型[5]，他們通過定義當(dāng)?shù)叵鄬?duì)馬赫數(shù)實(shí)現(xiàn)第一、二模態(tài)時(shí)間尺度的切換，并引入了以Reed等[20]橫流雷諾數(shù)R=44為橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)的橫流時(shí)間尺度：

τnt=τnt,2d+τcrossflow

(14)

τcrossflow=C7·(4ζ/Ue)·

{-exp[-C8(ζUe/νe-44)2]}·(W/Ue)C9

(15)

該模型未考慮表面粗糙度因素對(duì)橫流轉(zhuǎn)捩的影響，在對(duì)不可壓后掠翼、后掠平板以及帶迎角的高超聲速圓錐邊界層的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)中，與實(shí)驗(yàn)值符合較好。該模型只采用了當(dāng)?shù)亓?，避免了在邊界層?nèi)進(jìn)行參數(shù)積分，提高了計(jì)算效率[36]。模型中R=44的橫流判據(jù)是基于靜音風(fēng)洞帶迎角尖錐的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，針對(duì)不同的風(fēng)洞設(shè)備或不同來流噪聲條件，該判據(jù)可能需要重新標(biāo)定。

周玲等[29]基于傳統(tǒng)橫流雷諾數(shù)判據(jù)對(duì)k-ω-γ[5]轉(zhuǎn)捩模型進(jìn)行了改進(jìn)，構(gòu)造了新的橫流時(shí)間尺度τcross，增大了橫流預(yù)測(cè)的適用性，并在高超聲速算例中進(jìn)行了測(cè)試。橫流時(shí)間尺度τcross包含了橫流速度、橫流雷諾數(shù)等橫流相關(guān)物理量：

τcross=C7·ξeff/Ue·100·f(w)·f(ReCF)

(16)

f(w)=0.5[sign(|w/Ue|local-|w/Ue|crit)+1]|w/Ue|local

(17)

f(ReCF)=1-exp[-max(ReCF,local/ReCF,crit-1,0)2]

(18)

其中，橫流雷諾數(shù)采用Owen和Randall[10]等的定義，橫流時(shí)間尺度大于0視作橫流轉(zhuǎn)捩的啟動(dòng)，該模型采用雙重判據(jù)，即橫流雷諾數(shù)和橫流速度同時(shí)超過臨界值時(shí)，橫流時(shí)間尺度為正值。圖4為該模型對(duì)馬赫數(shù)6、迎角0°、HIFiRE-5橢錐外形的轉(zhuǎn)捩位置進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果，基本可以模擬出雙肺葉狀轉(zhuǎn)捩陣面。模型需要確認(rèn)邊界層范圍并需要沿壁面法向搜尋橫流速度最大值，非當(dāng)?shù)亓康那蠼馐鼓Ｐ驮诖笠?guī)模并行計(jì)算中受到限制。

2.1.2γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型

γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型是Menter等提出的一種經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式轉(zhuǎn)捩模型，該模型中的間歇因子觸發(fā)函數(shù)和有效間歇因子可以被用來實(shí)現(xiàn)橫流轉(zhuǎn)捩模擬。

考慮到勢(shì)流區(qū)無粘流線彎曲是橫流流動(dòng)的重要特征，Medida和Baeder[1]以橫流曲率半徑為長(zhǎng)度尺度，并將曲率半徑矢量引入速度尺度中，基于不同橫流速度的定義構(gòu)造了兩種橫流雷諾數(shù)，其作為判據(jù)引入γ-Reθt-SA轉(zhuǎn)捩模型當(dāng)中：

(20)

UCF1=|u·r1+v·r2+w·r3|

(21)

UCF2=|u·r1|+|v·r2|+|w·r3|

(22)

R=(r1,r2,r3)

(23)

其中R是邊界層邊緣平行于壁面平面的橫流曲率半徑矢量，轉(zhuǎn)捩判據(jù)為：

FBL·max[ReMCF1]BL>0.7

(24)

FBL·max[ReMCF2]BL>2.0

(25)

Medida等研究發(fā)現(xiàn)第一種判據(jù)ReMCF1在非定常流動(dòng)以及動(dòng)邊界問題中的適用性較差，因此他們將第二種判據(jù)用于γ-Reθt模型中觸發(fā)函數(shù)：

(26)

該模型的標(biāo)定僅采用了不考慮表面粗糙度因素的NLF(2)-0415后掠翼實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其判據(jù)ReMCF1和ReMCF2的臨界值的選取則是采用了該后掠翼算例上表面實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)捩位置處層流計(jì)算得到的最大值。模型的標(biāo)定和判據(jù)臨界值的選取都過于單一，造成該模型過于經(jīng)驗(yàn)化，普適性較差。

雖然該模型判據(jù)未實(shí)現(xiàn)完全當(dāng)?shù)鼗痆1](R是非當(dāng)?shù)刈兞?，受到非并行求解的限制，但在湍流模型中可實(shí)現(xiàn)性強(qiáng)，并且由于轉(zhuǎn)捩判據(jù)基于平均量，能夠添加至各類湍流模型中。Medida和Baeder[1]采用橫流模型對(duì)ONERA M6機(jī)翼轉(zhuǎn)捩位置預(yù)測(cè)結(jié)果見圖5，橫流模型(Crossflow)與未添加橫流判據(jù)模型(Streamwise)相比，預(yù)測(cè)結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)值。

張毅鋒等[30]對(duì)Langtry和Menter提出的γ-Reθt模型[37-38]進(jìn)行改進(jìn)以模擬高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩，并且根據(jù)Reed等的高超聲速橫流轉(zhuǎn)捩實(shí)驗(yàn)結(jié)果[20]，采用以橫流雷諾數(shù)ReCF(new)為基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)捩準(zhǔn)則，通過有效間歇因子的形式在γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型中實(shí)現(xiàn)橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)：

γeff=min(γ,γsep,γCF)

(27)

(28)

R=ReCF(new)Ue/Wmax

(29)

其中Ue是邊界層外緣速度，Wmax是最大橫流速度。ReCF(new)作為新定義的橫流雷諾數(shù)，相比于Owen等[10]提出的傳統(tǒng)橫流雷諾數(shù)更適合作為高超聲速流場(chǎng)中的橫流判別標(biāo)準(zhǔn)。張毅鋒等[30]采用該模型對(duì)HIFiRE-5橢錐馬赫數(shù)6的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)狀態(tài)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。計(jì)算前首先對(duì)R值進(jìn)行了數(shù)值標(biāo)定，在噪聲條件下取R=45。標(biāo)定后，該模型在不同雷諾數(shù)下都取得了與噪聲風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)比較吻合的計(jì)算結(jié)果，圖6給出了其中一組單位雷諾數(shù)Re=4.1×106/ft的壁面熱流分布，預(yù)測(cè)的轉(zhuǎn)捩位置與測(cè)量結(jié)果符合較好。與周玲等方法相類似，該方法需要沿法向搜索邊界層最大橫流速度及相關(guān)的物理量，不屬于完全的局部計(jì)算。

圖5 采用?；瘷M流雷諾數(shù)準(zhǔn)則的轉(zhuǎn)捩模型與傳統(tǒng)轉(zhuǎn)捩模型間歇因子云圖對(duì)比[1]Fig.5 Transition onset prediction with new crossflowtransition criterion[1]

(上：風(fēng)洞試驗(yàn)，下：計(jì)算結(jié)果)

2.2 基于Kohama橫流準(zhǔn)則的轉(zhuǎn)捩模型

γeff=max(γ,γsep,γCF)

(30)

(32)

CKUe=CKReUe

(33)

其中Ue是邊界層邊緣速度，r是平行于壁面平面的勢(shì)流區(qū)流線曲率半徑，θ是橫流方向邊界層動(dòng)量厚度，ReUe是基于邊界層邊緣速度的雷諾數(shù)。

2.3 基于橫流強(qiáng)度的轉(zhuǎn)捩模型

(34)

(35)

f(+ΔHcrossflow)-f(-ΔHcrossflow)

(36)

圖7 新型定常橫流經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式(ReθtSCF-h/θ)[22]Fig.7 New empirical correlation for stationary crossflow[22]

Langtry等[22]采用該模型對(duì)NLF(2)-0415機(jī)翼、6∶1橢球體和Sickle機(jī)翼進(jìn)行了模擬，機(jī)翼的計(jì)算結(jié)果較準(zhǔn)確地再現(xiàn)了橫流轉(zhuǎn)捩位置，與實(shí)驗(yàn)值符合較好。如圖8，轉(zhuǎn)捩模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)鐮刀翼面上沿展向不規(guī)則分布的轉(zhuǎn)捩位置。該模型優(yōu)點(diǎn)是轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)完全基于當(dāng)?shù)亓?，合理的考慮了壁面粗糙度的影響，并適用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和大規(guī)模并行計(jì)算。但Hcrossflow以及速度標(biāo)量不具有伽利略不變性，并且修改后的衰減項(xiàng)DSCF具有較大的網(wǎng)格相關(guān)性。

Müller和Herbst以γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型為基礎(chǔ)，在動(dòng)量厚度雷諾數(shù)輸運(yùn)方程中添加源項(xiàng)PCF以考慮橫流效

圖8 Sickle機(jī)翼橫流轉(zhuǎn)捩壁面摩阻分布[22]Fig.8 Skin friction for sickle wing Undercross-flow transition[22]

應(yīng)對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響，采用Helicity參數(shù)H=|ui·ωi|來表征當(dāng)?shù)氐臋M流強(qiáng)度。模型在NLF(2)-0415后掠翼以及橢球體算例中進(jìn)行了測(cè)試。PCF具體表達(dá)式為：

(37)

史亞云等[23]在橫流源項(xiàng)PCF中添加了橫流速度并與Helicity參數(shù)相結(jié)合來指示橫流信息，修改后的橫流源項(xiàng)PCF,improved為：

(38)

其參數(shù)c1～c6都進(jìn)行了重新標(biāo)定。

改進(jìn)后的模型提升了對(duì)6∶1橢球橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)能力，如圖9。同時(shí)在對(duì)DLR-F5機(jī)翼的數(shù)值模擬中，捕捉到翼根處的橫流轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象，與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)測(cè)量符合較好。

圖9 橢球數(shù)值模擬同實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)捩位置對(duì)比[23]Fig.9 Comparison between model and experiment datafor transition localtion of prolate spheriod[23]

2.4 基于FSC方程的橫流轉(zhuǎn)捩模型

采用三維邊界層相似解實(shí)現(xiàn)橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)和橫流轉(zhuǎn)捩模型的當(dāng)?shù)鼗蠼馐悄壳皺M流轉(zhuǎn)捩模型研究的一個(gè)重要方向。Grabe和Krumbein[13,24]基于FSC三維邊界層相似解首先提出了類比γ-Reθt模型中轉(zhuǎn)捩判據(jù)的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)。Choi和Kwon[31-32]在此基礎(chǔ)上采用該判據(jù)，在數(shù)值模擬中引入了T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性相互作用的機(jī)制，拓寬了模型適用范圍，明顯提升了模型對(duì)橢球迎風(fēng)面的橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)能力。徐家寬等[33-34]以不同壓力梯度FSC方程的解為數(shù)據(jù)庫，類似地構(gòu)造當(dāng)?shù)鼗臋M流轉(zhuǎn)捩判據(jù)與模型。

FSC方程的解是二維Falkner-Skan方程拓展到三維Falkner-Skan-Cooke方程的相似解，二維邊界層(FS方程)沿垂直于前緣的弦向，拓展的橫向流動(dòng)方程(Cooke方程)沿前緣展向。通過引入流函數(shù)和無量綱化壁面距離，在邊界層外緣速度滿足一定條件下推導(dǎo)可得FSC方程[40]。采用FSC方程對(duì)橫流判據(jù)和模型當(dāng)?shù)鼗幕舅枷胧牵簷M流轉(zhuǎn)捩的判斷是用當(dāng)?shù)貦M流雷諾數(shù)Redw/dy與橫流位移厚度雷諾數(shù)Reδ2c的比值來實(shí)現(xiàn)，該比值與壓力梯度相關(guān)。通過數(shù)值求解FSC方程獲得不同壓力梯度因子βH下典型流場(chǎng)的橫流速度型作為數(shù)據(jù)庫，進(jìn)而獲得所需橫流位移厚度雷諾數(shù)及比值判據(jù)函數(shù)。

Grabe和Krumbein[13,24]以不同后掠角和壓力梯度因子下FSC方程解作為數(shù)據(jù)庫，構(gòu)建了橫流渦粘雷諾數(shù)Redw/dy與橫流臨界位移厚度雷諾數(shù)Reδ2c比值形式的判據(jù)函數(shù)和對(duì)應(yīng)模型。由于FSC方程的限制以及采用的C1準(zhǔn)則僅適用于翼型類流動(dòng)，該類模型適用范圍受限[24]，主要適用于后掠翼計(jì)算，不適合帶迎角的旋成體計(jì)算。

Choi和Kwon[31-32]對(duì)采用FSC方程的橫流模型進(jìn)行了詳細(xì)闡述[31]，并引入了T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性相互作用的機(jī)制[32]。他們?cè)谵D(zhuǎn)捩模型的實(shí)現(xiàn)過程中，主要是對(duì)γ-Reθt模型間歇因子輸運(yùn)方程的Flength和Fonset進(jìn)行了修改。Flength采用了帶迎角橢球?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行重新標(biāo)定[32]，F(xiàn)onset引入了上文提到的由FSC方程解得到的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)。

保留了γ-Reθt模型中原始的觸發(fā)函數(shù)：

(39)

橫流觸發(fā)函數(shù)為：

(40)

Fonset1_3D=max(Fonset1,Fonset1_CF)

(41)

(43)

Fonset_3D=max(Fonset2-Fonset3,0)

(44)

最終間歇因子輸運(yùn)方程的生成項(xiàng)定義為：

Pγ=Flength_3Dca1ρS[γFonset_3D]0.5(1-ce1γ)

(45)

上述轉(zhuǎn)捩模型基于轉(zhuǎn)捩完全由T-S不穩(wěn)定性或者完全由橫流不穩(wěn)定性主導(dǎo)的假設(shè)，而實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示兩種不穩(wěn)定性的相互作用會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩提前[41]，Choi和Kwon[32]進(jìn)一步引入了T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性相互作用的機(jī)制，對(duì)原觸發(fā)函數(shù)進(jìn)行線性組合：

Fonset1_3D=max(Fonset1,Fonset_CF,Fonset1_inter)

(46)

其中，當(dāng)Fonset1>0.5 &Fonset_CF>0.15時(shí)

(47)

其它情況下，F(xiàn)onset1_inter=0。

圖10是各類方法計(jì)算的橢球體表面截面摩擦系數(shù)分布，引入不穩(wěn)定性相互作用機(jī)制的橫流轉(zhuǎn)捩模型[32]在橢球體迎風(fēng)面(50°≤ψ≤90°)轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)中的表現(xiàn)明顯優(yōu)于其它方法。

圖10 6∶1橢球體表面x/a=0.48截面各方法摩擦系數(shù)分布[32](Re=7.2×106,迎角30°)Fig.10 Skin friction coefficient distributions at x/a=0.48on a 6∶1 prolate spheroid [32]

徐家寬等[33-34]詳細(xì)介紹了采用三維邊界層相似解求解壓力梯度因子βH和形狀因子H12的方法并采用C1準(zhǔn)則最終建立當(dāng)?shù)厍蠼獾臋M流不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩判據(jù)，將判據(jù)與γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型耦合，進(jìn)行了橢球體、后掠翼轉(zhuǎn)捩位置的預(yù)測(cè)，取得了良好結(jié)果。圖11為橢球算例，其中黑點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)捩位置，白點(diǎn)為eN方法轉(zhuǎn)捩位置，云圖為轉(zhuǎn)捩模型計(jì)算值，與實(shí)驗(yàn)測(cè)量符合較好。

2.5 三維唯象轉(zhuǎn)捩模型

目前，橫流轉(zhuǎn)捩模型普遍是在現(xiàn)有轉(zhuǎn)捩模型(如k-ω-γ或者γ-Reθt)基礎(chǔ)上根據(jù)某一橫流判據(jù)對(duì)轉(zhuǎn)捩模型輸運(yùn)方程進(jìn)行修改來實(shí)現(xiàn)的，直接在湍流模型基礎(chǔ)上構(gòu)建橫流轉(zhuǎn)捩模型較為困難，相關(guān)研究亦較少。Vizinho等的工作[35]則是上述研究方向的典型代表，為構(gòu)造不顯含橫流判據(jù)的獨(dú)立橫流模型提供了思路。

(48)

其中生成項(xiàng)：

則與平均湍流尺度ravg和平均變形角α有關(guān)，記作：

(50)

關(guān)于每一項(xiàng)的具體定義見文獻(xiàn)[35]，該模型稱為“V-model”，不依賴現(xiàn)有的轉(zhuǎn)捩模型，通過在SA一方程生成項(xiàng)中增加控制函數(shù)實(shí)現(xiàn)“V-model”與一方程湍流模型的耦合：

(51)

該模型在6∶1橢球體亞聲速繞流以及跨聲速DLR-F5機(jī)翼繞流算例中進(jìn)行了測(cè)試?？缏曀偃S機(jī)翼繞流算例中，能夠較準(zhǔn)確預(yù)測(cè)上翼面轉(zhuǎn)捩位置及各截面壓力系數(shù)分布。橢球體算例中大迎角下能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩位置，但在迎角5°下，存在轉(zhuǎn)捩過早、轉(zhuǎn)捩區(qū)域過短的問題，如圖12所示。Vizinho等[35]認(rèn)為原因是V-model輸運(yùn)方程中耗散項(xiàng)在邊界層內(nèi)偏大導(dǎo)致的，但是Grabe和Krumbein[24]指出迎角5°實(shí)驗(yàn)狀態(tài)下的轉(zhuǎn)捩是由T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性共同主導(dǎo)的。Vizinho等[35]并未指出V-model是否具備T-S不穩(wěn)定性導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)能力，也并未考慮T-S不穩(wěn)定性與橫流不穩(wěn)定性的相互作用。關(guān)于該模型適用范圍，即是否適用于除橫流之外的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)，還需要進(jìn)一步研究與討論。

(a) AOA=5°

(b) AOA=15°

3 結(jié)束語

橫流轉(zhuǎn)捩模型的相關(guān)研究起步較晚，主要受限于基礎(chǔ)轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展。隨著各種橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)的提出，目前已形成多種橫流轉(zhuǎn)捩模型，其預(yù)測(cè)的流動(dòng)速域主要集中在亞跨聲速范圍，橫流判據(jù)主要針對(duì)后掠翼，模型參數(shù)需要通過數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定，經(jīng)驗(yàn)性較強(qiáng)，這使得橫流轉(zhuǎn)捩模型在使用過程中出現(xiàn)以下主要困難：轉(zhuǎn)捩判據(jù)幾何通用性較差、不同流動(dòng)問題的普適性較差、非當(dāng)?shù)亓壳蠼庠诙鄩K并行計(jì)算中的實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜、多數(shù)模型不適用于超聲速或高超聲速流動(dòng)。因此，未來橫流轉(zhuǎn)捩模型研究將有以下發(fā)展方向：

1) 以更系統(tǒng)廣泛的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，構(gòu)造物理意義更強(qiáng)、經(jīng)驗(yàn)性更低、適用范圍更廣的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)作為橫流轉(zhuǎn)捩模型的基礎(chǔ)。

2) 在現(xiàn)有橫流轉(zhuǎn)捩模型中實(shí)現(xiàn)模型的完全當(dāng)?shù)鼗?jì)算，或脫離現(xiàn)有基礎(chǔ)轉(zhuǎn)捩模型，直接構(gòu)造獨(dú)立的橫流轉(zhuǎn)捩模型。

3) 針對(duì)航空航天工程中的迫切需求，發(fā)展適合于超聲速、高超聲速橫流流場(chǎng)和對(duì)應(yīng)幾何外形的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)和模型。

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