基于Mindlin理論的功率超聲縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)理論與實(shí)驗(yàn)研究

付俊帆， 秦慧斌， 呂 明

(1.中北大學(xué) 先進(jìn)制造技術(shù)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030051； 2.太原理工大學(xué) 精密加工山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030024)

功率超聲縱彎諧振變幅器是一種新型復(fù)合振動(dòng)模式的變幅器。該變幅器由變幅桿和環(huán)盤(pán)負(fù)載組成，變幅桿的縱向振動(dòng)激勵(lì)環(huán)盤(pán)負(fù)載作節(jié)圓型橫向彎曲振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)兩種不同振型的復(fù)合。在旋轉(zhuǎn)超聲加工領(lǐng)域，縱彎諧振變幅器將軸向超聲振動(dòng)引入刀具的旋轉(zhuǎn)加工運(yùn)動(dòng)，可降低宏觀(guān)切削力與切削熱，具有精度高、效率高、成本低等優(yōu)勢(shì)[1]；在超聲清洗、超聲換能器等聲學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域，縱彎諧振變幅器的環(huán)盤(pán)負(fù)載由于輻射面積大、功率大、帶寬大等特點(diǎn)，相比于縱振換能器具有較高的聲輻射效率[2]；此外，縱彎諧振變幅器在金屬疲勞檢測(cè)領(lǐng)域中亦有研究與應(yīng)用[3]?？v彎諧振變幅器作為超聲諧振系統(tǒng)的關(guān)鍵，其設(shè)計(jì)理論對(duì)超聲加工、超聲處理等應(yīng)用具有重要影響。

自從變幅桿與階梯圓盤(pán)組成的縱彎諧振變幅器由Barone等[4]提出之后，其振動(dòng)特性與設(shè)計(jì)方法便一直得到研究人員的關(guān)注。Gallego-Jurez等[5-6]基于有限元法設(shè)計(jì)了圓盤(pán)、階梯盤(pán)、矩形板等不同形狀負(fù)載的縱彎諧振變幅器，并利用其振動(dòng)特性和聲學(xué)特性設(shè)計(jì)了多種聲學(xué)裝置。He等[7]利用有限元法研究了變幅桿激勵(lì)面積對(duì)矩形板諧振頻率、振動(dòng)節(jié)線(xiàn)、振型等振動(dòng)特性的影響。類(lèi)似地，Ning等[8]利用有限元法分析了變幅桿振動(dòng)頻率對(duì)階梯圓盤(pán)振動(dòng)特性的影響。同樣基于有限元法，Yamamoto等[9]設(shè)計(jì)了一種具有縱彎諧振模式的Tonpilz水聲換能器，擴(kuò)大了換能器帶寬。在此基礎(chǔ)上，Kim等[10-11]將回歸分析與有限元法相結(jié)合，對(duì)縱彎諧振模式的Tonpilz水聲換能器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，進(jìn)一步擴(kuò)大了帶寬范圍。

雖然有限元法是一種有效的變幅器設(shè)計(jì)方法，但多用于驗(yàn)證變幅器的振動(dòng)特性，其設(shè)計(jì)周期較長(zhǎng)，效率較低，需要提出一種理論設(shè)計(jì)方法來(lái)代替。Lin[12]基于等效電路法對(duì)薄圓盤(pán)負(fù)載的縱彎諧振變幅器進(jìn)行了振動(dòng)特性的分析，其諧振試驗(yàn)結(jié)果與的理論結(jié)果相吻合。王時(shí)英等[13]將齒輪簡(jiǎn)化為薄圓盤(pán)，采用力耦合的方法建立了變幅器振動(dòng)模型，提出了超聲珩齒變幅器設(shè)計(jì)方法。而呂明等[14]在此基礎(chǔ)上將齒輪簡(jiǎn)化為中厚板環(huán)盤(pán)，既擴(kuò)大了振動(dòng)模型對(duì)齒輪的適用范圍，也提高了設(shè)計(jì)精度。上述研究中的變幅器均采用單一材料，試驗(yàn)中所使用的環(huán)盤(pán)負(fù)載均為等厚度環(huán)盤(pán)。而在實(shí)際情況中，變幅器可能是由多種材料組成，環(huán)盤(pán)負(fù)載也多為階梯環(huán)盤(pán)結(jié)構(gòu)。如常見(jiàn)的變幅桿材料有鋁、鈦、鋼等多種合金；珩磨輪是由鑄鐵輪轂、膠木腹板、樹(shù)脂及磨料的輪緣組成的階梯環(huán)盤(pán)；在實(shí)際加工中，車(chē)間工人不僅會(huì)將砂輪加工成階梯環(huán)盤(pán)形狀以便適應(yīng)加工零件形狀，也會(huì)在砂輪上安裝鋼制法蘭以便安裝。

本文將多材料因素考慮進(jìn)變幅器的振動(dòng)模型中，選擇階梯環(huán)盤(pán)作為負(fù)載，并將其視為三個(gè)等厚度環(huán)盤(pán)的組合體，基于Mindlin理論分析環(huán)盤(pán)單元橫向彎曲振動(dòng)的橫向位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。根據(jù)環(huán)盤(pán)單元和變幅桿的連續(xù)條件和邊界條件，建立縱彎諧振變幅器的振動(dòng)模型與頻率方程，并開(kāi)發(fā)相應(yīng)的設(shè)計(jì)軟件。通過(guò)有限元模態(tài)分析和阻抗分析試驗(yàn)對(duì)該設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，為縱彎諧振變幅器的設(shè)計(jì)提供一種思路與手段。

1 縱彎諧振變幅器數(shù)學(xué)模型

縱彎諧振變幅器由變幅桿和環(huán)盤(pán)負(fù)載組成，本文以圓錐變幅桿和三階梯環(huán)盤(pán)為例，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。三階梯環(huán)盤(pán)由不同材料的環(huán)盤(pán)1、2、3組成，三個(gè)環(huán)盤(pán)的中性面為同一平面。階梯環(huán)盤(pán)中心孔與變幅桿芯軸過(guò)渡配合，并通過(guò)緊固螺母剛性連接。忽略鍵槽、圓角和倒角等微小結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)的影響。緊固螺母與變幅桿芯軸的尺寸相對(duì)變幅器較小，故在理論分析中忽略。

以變幅桿大端中心點(diǎn)為原點(diǎn)，以變幅桿中心軸線(xiàn)為z軸，建立如圖1所示的(r,θ,z)圓柱坐標(biāo)系。R1、R2分別表示圓錐變幅桿大端、小端半徑，L表示變幅桿長(zhǎng)度。R3、R4、R5分別表示環(huán)盤(pán)1、2、3的內(nèi)徑，R6表示環(huán)盤(pán)3的外徑。t1、t2、t3分別表示環(huán)盤(pán)1、2、3的厚度。由于變幅桿和各個(gè)環(huán)盤(pán)的材料不盡相同，故分別以ρ1、ρ2、ρ3和ρ4表示環(huán)盤(pán)1、2、3和變幅桿的密度，E1、E2、E3和E4表示環(huán)盤(pán)1、2、3和變幅桿的彈性模量，μ1、μ2、μ3表示環(huán)盤(pán)1、2、3的泊松比。

圖1 縱彎諧振變幅器結(jié)構(gòu)示意圖

當(dāng)變幅器作縱彎諧振時(shí)，變幅桿作縱向振動(dòng)，其縱向位移ξ的解析表達(dá)式為

(1)

其中，圓波數(shù)k=ω/c，圓頻率ω=2πf，變幅桿的縱波波速c=(E4/ρ4)1/2，C1、C2為由邊界條件確定的待定常數(shù)。

Mindlin理論主要解決中厚板動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，但也兼容薄板理論?；贛indlin理論分析環(huán)盤(pán)振動(dòng)，既擴(kuò)大了環(huán)盤(pán)模型的適用范圍，也可以提高計(jì)算精度。當(dāng)變幅器作縱彎諧振時(shí)，環(huán)盤(pán)單元在縱振變幅桿的激勵(lì)下作橫向彎曲振動(dòng)。由文獻(xiàn)[15]可知，單個(gè)環(huán)盤(pán)的徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的表達(dá)式為

(2)

(3)

式(3)中

(4)

其中，Aji、Bji(j=1,2；i=1,2,3)為環(huán)盤(pán)i的由邊界條件確定的待定常數(shù)，Jn(·)、Yn(·)分別為第一類(lèi)、第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)。在超聲處理或超聲加工中，為了獲得較好的聲輻射特性或加工效果，通常使環(huán)盤(pán)負(fù)載作節(jié)圓型橫向彎曲振動(dòng)，即節(jié)徑數(shù)為零[16]。因此n=0，式(3)可簡(jiǎn)化為

(5)

將式(5)代入式(2)，可得徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的解析表達(dá)式為

(6)

當(dāng)變幅器作縱彎諧振時(shí)，變幅桿大端在換能器的作用下縱向振動(dòng)，應(yīng)力為零，故有自由邊界條件

(7)

變幅桿小端與環(huán)盤(pán)負(fù)載通過(guò)緊固螺母連接，近似剛性連接，故在z=L、r=R2處變幅桿與環(huán)盤(pán)1接觸的環(huán)形面上存在有沿z軸方向的力與位移的連續(xù)條件；由于環(huán)盤(pán)無(wú)徑向轉(zhuǎn)動(dòng)，故在r=R3處，環(huán)盤(pán)1的徑向轉(zhuǎn)角βr1為零，即

(8)

環(huán)盤(pán)2分別與環(huán)盤(pán)1在r=R4處，和環(huán)盤(pán)3和r=R5處滿(mǎn)足橫向位移wi、徑向轉(zhuǎn)角βri、徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的連續(xù)條件

(9)

環(huán)盤(pán)3外緣為自由邊界條件，故有

(10)

將式(1)和式(5)、(6)代入式(7)～(10)并整理，可得如下的齊次方程組

Δ14×14ζ14×1=014×1

(11)

其中

(12)

ζ14×1=[C1C2A11A21B11B21A12A22B12B22A13A23B13B23]T

(13)

Dpq(p,q=1,2,3,…,14)均為待定常數(shù)Aji、Bji、Cj(j=1,2；i=1,2,3)的系數(shù)，由變幅器的尺寸參數(shù)、材料系數(shù)和設(shè)計(jì)頻率決定。當(dāng)待定常數(shù)不全為0時(shí)，其充要條件為

Δ14×14=0

(14)

式(14)即為縱彎諧振變幅器的頻率方程。當(dāng)已知變幅器的尺寸和組成材料及其材料性能參數(shù)時(shí)，可根據(jù)頻率方程求出變幅器的縱彎諧振頻率。反之，當(dāng)確定了設(shè)計(jì)縱彎諧振頻率，并根據(jù)工程需要確定了變幅器的組成材料和除設(shè)計(jì)尺寸之外的其他尺寸時(shí)，可由頻率方程求出設(shè)計(jì)尺寸。

通過(guò)改變各個(gè)環(huán)盤(pán)的材料參數(shù)與尺寸參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)不同類(lèi)型的環(huán)盤(pán)負(fù)載的變化。如，當(dāng)三個(gè)環(huán)盤(pán)的材料參數(shù)相同時(shí)，環(huán)盤(pán)負(fù)載成為單一材料的環(huán)盤(pán)；當(dāng)相鄰的兩個(gè)或三個(gè)環(huán)盤(pán)的厚度相同時(shí)，環(huán)盤(pán)負(fù)載成為等厚度環(huán)盤(pán)。

2 縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)軟件

基于MATLAB/GUI開(kāi)發(fā)了如圖2所示的縱彎諧振系統(tǒng)設(shè)計(jì)軟件，設(shè)計(jì)尺寸為變幅桿長(zhǎng)度L。該軟件采用數(shù)值法求解頻率方程，以固定步長(zhǎng)計(jì)算并繪出L-Δ的曲線(xiàn)圖(如圖3)，曲線(xiàn)與橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為求解結(jié)果。軟件的流程圖如圖4所示。

圖2 縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)軟件

圖3 L-Δ求解曲線(xiàn)

圖4 設(shè)計(jì)軟件流程圖

由軟件流程圖可知，該軟件主要由人機(jī)交互界面和求解函數(shù)兩部分構(gòu)成。人機(jī)交互界面為設(shè)計(jì)人員提供一個(gè)簡(jiǎn)潔直觀(guān)的操作與顯示界面，用戶(hù)只需對(duì)按鈕、輸入框、下拉菜單等對(duì)象進(jìn)行操作即可完成各種程序命令。軟件的計(jì)算功能由求解函數(shù)完成，用戶(hù)輸入的數(shù)據(jù)由人機(jī)交互界面?zhèn)鬟f給求解函數(shù)，求解函數(shù)將計(jì)算結(jié)果返回給人機(jī)交互界面，并由人機(jī)交互界面顯示求解結(jié)果與求解曲線(xiàn)。該軟件降低了變幅器設(shè)計(jì)對(duì)設(shè)計(jì)人員的理論水平的要求，可縮短設(shè)計(jì)時(shí)間，提高設(shè)計(jì)效率。

3 試 驗(yàn)

3.1 有限元模態(tài)分析與阻抗分析試驗(yàn)

為驗(yàn)證上述的縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)理論，利用縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)軟件設(shè)計(jì)了三個(gè)縱彎諧振變幅器。變幅器1由45鋼變幅桿與黃銅H62階梯環(huán)盤(pán)組成，設(shè)計(jì)頻率為24 kHz；變幅器2由45鋼變幅桿和灰鑄鐵HT200的階梯環(huán)盤(pán)組成，設(shè)計(jì)頻率為22 kHz；變幅器3由45鋼變幅桿和磨料濃度為100%的鋁基酚醛樹(shù)脂結(jié)合劑金剛石砂輪組成，設(shè)計(jì)頻率為21 kHz。各個(gè)變幅器的材料結(jié)構(gòu)如表1所示，其中“—”表示不存在該結(jié)構(gòu)。各個(gè)材料的性能參數(shù)如表2所示。變幅桿長(zhǎng)度L為設(shè)計(jì)尺寸，由設(shè)計(jì)軟件計(jì)算求出，其他變幅器尺寸均為已知尺寸。變幅器已知尺寸、設(shè)計(jì)頻率和設(shè)計(jì)尺寸理論結(jié)果如表3所示。

根據(jù)上述參數(shù)在SolidWorks中建立相應(yīng)的縱彎諧振變幅器模型，導(dǎo)入至有限元分析軟件ANSYS中。粘結(jié)實(shí)體后，設(shè)置材料屬性并用Solid 95單元對(duì)不同實(shí)體進(jìn)行5級(jí)精度的智能網(wǎng)格劃分。有限元模態(tài)分析采用Block Lanczos法，提取20～25 kHz的變幅器諧振模態(tài)。變幅器的縱彎諧振振型如圖5所示，縱彎諧振頻率如表4中fA行所示。

表1 縱彎諧振變幅器的材料結(jié)構(gòu)

表2 材料性能參數(shù)

表3 縱彎諧振變幅器尺寸參數(shù)與設(shè)計(jì)頻率

(a)變幅器1在23422Hz的振型(b)變幅器2在21765Hz的振型

(c) 變幅器3在20 076 Hz的振型

根據(jù)表3加工了45鋼變幅桿、黃銅H62階梯環(huán)盤(pán)和灰鑄鐵HT200階梯環(huán)盤(pán)，購(gòu)置了酚醛樹(shù)脂金剛石砂輪。通過(guò)緊固螺母分別裝配為變幅器1、2、3(如圖6)。通過(guò)螺紋將變幅器與超聲換能器連接在一起，并在連接面上涂抹凡士林填充兩者之間的微小間隙，減小超聲波在連接面的反射損失。用導(dǎo)線(xiàn)將阻抗分析儀PV70A與超聲換能器相連接(如圖7)，利用相應(yīng)軟件測(cè)量變幅器的縱彎諧振頻率，測(cè)量結(jié)果如表4中fE行所示，導(dǎo)納圓曲線(xiàn)和幅相特性曲線(xiàn)分別如圖8、圖9所示。

(a)變幅器1(b)變幅器2

(c) 變幅器3

圖7 變幅器阻抗分析試驗(yàn)

變幅器123設(shè)計(jì)頻率fD/Hz240002200021000仿真頻率fA/Hz234222176520076試驗(yàn)頻率fE/Hz235872229922376仿真誤差ΔA/%2．412．184．40試驗(yàn)誤差ΔE/%1．721．366．55

表4中，fD為縱彎諧振變幅器的設(shè)計(jì)頻率；ΔA=fA-fD/fD，為有限元模態(tài)分析頻率與設(shè)計(jì)頻率的誤差；ΔE=fE-fD/fD，為阻抗分析試驗(yàn)測(cè)得的頻率與設(shè)計(jì)頻率的誤差。

由表4可知，仿真頻率的最大誤差為4.40%，試驗(yàn)頻率的最大誤差為6.55%。因此有限元仿真和阻抗分析試驗(yàn)得到的縱彎諧振頻率結(jié)果與設(shè)計(jì)頻率基本一致，證明了上述的縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)方法對(duì)工程設(shè)計(jì)具有一定的參考意義。

圖8中三個(gè)變幅器的導(dǎo)納曲線(xiàn)都呈現(xiàn)較完整的單圓，說(shuō)明所測(cè)諧振頻率準(zhǔn)確，換能器與變幅器的阻抗匹配較好。但依然有局部的導(dǎo)納曲線(xiàn)和幅相特性曲線(xiàn)出現(xiàn)畸變，可能是因?yàn)樽兎餮b配質(zhì)量不佳導(dǎo)致變幅器的機(jī)械損耗較大，致使動(dòng)態(tài)電阻較大。這一點(diǎn)從變幅器1和2的導(dǎo)納圓的半徑均較小中也能得到驗(yàn)證。因此，在裝配時(shí)需要在接觸面上涂抹凡士林，并多次調(diào)試安裝變幅器，減小機(jī)械損耗，提高阻抗匹配性能。

造成變幅器的仿真誤差和試驗(yàn)誤差的因素，可能有以下三點(diǎn)：

(1) 在振動(dòng)模型中忽略了螺母，而在實(shí)際情況中螺母對(duì)變幅器的剛度與質(zhì)量具有影響，從而影響諧振頻率。

(2) 螺母的預(yù)緊力對(duì)諧振頻率也有一定影響[17]。振動(dòng)模型中，變幅桿與環(huán)盤(pán)負(fù)載通過(guò)緊固螺母實(shí)現(xiàn)近似剛性連接，其前提條件為螺母預(yù)緊力足夠大。而在試驗(yàn)中，螺母預(yù)緊力可能不足，影響變幅器剛度。

(3) 由于超聲振動(dòng)在不同材料的邊界上會(huì)發(fā)生不同程度的反射，從而造成損耗、噪聲、阻抗失配等問(wèn)題，最終影響了變幅器的縱彎諧振頻率的設(shè)計(jì)誤差。

因此在變幅器理論設(shè)計(jì)后，可利用有限元法將上述影響考慮進(jìn)來(lái)，進(jìn)一步修正縱彎諧振變幅器的設(shè)計(jì)尺寸。

3.2 超聲諧振試驗(yàn)

利用變幅器3和頻率為20 kHz的ZJS-2000型超聲波發(fā)生器進(jìn)行了超聲諧振試驗(yàn)，試驗(yàn)裝置如圖10所示。變幅器和換能器通過(guò)螺紋分別與傳振桿的上下端相連。傳振桿的法蘭位于振動(dòng)節(jié)點(diǎn)處，通過(guò)細(xì)牙螺栓固定在試驗(yàn)臺(tái)上。換能器通過(guò)電纜與超聲發(fā)生器相連。

(a) 變幅器1的導(dǎo)納曲線(xiàn)

(b) 變幅器2的導(dǎo)納曲線(xiàn)

(c) 變幅器3的導(dǎo)納曲線(xiàn)

在砂輪表面均勻撒上碳化硅顆粒，啟動(dòng)超聲發(fā)生器，調(diào)節(jié)調(diào)頻螺絲。當(dāng)超聲發(fā)生器上顯示的振動(dòng)頻率為fR=21 212 Hz時(shí)，碳化硅顆粒聚集為一個(gè)直徑為122.3 mm的圓環(huán)，如圖11所示。該現(xiàn)象證明了砂輪正在作節(jié)圓型橫向彎曲振動(dòng)，振動(dòng)節(jié)線(xiàn)為圓形，與圖5(c)中環(huán)盤(pán)負(fù)載的振型一致。該諧振頻率fR與變幅器3的縱彎諧振設(shè)計(jì)頻率fD=21 000 Hz相差212 Hz，試驗(yàn)誤差為ΔD=fR-fD/fD=1.01%。該試驗(yàn)證明了通過(guò)縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的變幅器能夠達(dá)到較為理想的縱彎諧振效果。

(a) 變幅器1的幅相特性曲線(xiàn)

(b) 變幅器2的幅相特性曲線(xiàn)

(c) 變幅器3的幅相特性曲線(xiàn)

圖10 超聲諧振試驗(yàn)裝置

圖11 諧振頻率為21 212 Hz時(shí)的圓形振動(dòng)節(jié)線(xiàn)

4 結(jié) 論

本文提出了一種多材料的縱彎諧振變幅器的設(shè)計(jì)方法，基于Mindlin理論分析了環(huán)盤(pán)單元的橫向彎曲振動(dòng)，通過(guò)振動(dòng)單元之間的連續(xù)條件和邊界條件建立了縱彎諧振變幅器振動(dòng)模型并推導(dǎo)了振動(dòng)方程，利用MATLAB/GUI開(kāi)發(fā)了變幅器設(shè)計(jì)軟件。有限元模態(tài)分析、阻抗分析試驗(yàn)和超聲諧振試驗(yàn)的結(jié)果表明：

(1) 基于Mindlin理論的縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)方法具有較好的設(shè)計(jì)精度，能兼容薄環(huán)盤(pán)和中厚環(huán)盤(pán)負(fù)載，可為多材料的縱彎諧振變幅器的設(shè)計(jì)提供參考。

(2) 縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)軟件可為設(shè)計(jì)人員提供一種簡(jiǎn)潔直觀(guān)的設(shè)計(jì)手段，可降低理論設(shè)計(jì)的門(mén)檻，提高設(shè)計(jì)效率。

(3) 螺母、預(yù)緊力和不同材料界面上的超聲反射對(duì)諧振頻率存在影響，可在理論設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上用有限元法進(jìn)一步修正設(shè)計(jì)參數(shù)。

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