橋梁結構振動試驗相似模型的設計及校驗

汪振國, 雷曉燕, 羅 錕, 曾少輝

(華東交通大學 鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013)

橋梁行業(yè)的快速發(fā)展使得橋梁結構的振動問題日愈突出。橋梁作為重要的交通樞紐，振動問題不僅關系到其正常安全運營，而且涉及到人們的生命安全問題[1]，這使得對橋梁結構振動開展研究很有必要。

目前，針對橋梁振動問題的研究，主要有數值模擬、現場測試以及結構模型試驗三種方法[2-4]。其中結構模型試驗是眾多科研工作者探索復雜結構內部規(guī)律和外部條件的重要手段之一[5]，特別是進入20世紀后，模型相似理論，科學技術和試驗技術得到快速發(fā)展，使得結構模型試驗取得長足的進步，至今為止仍是國內外學者解決問題的重要辦法[6-8]。Jeon等用縮尺模型試驗驗證了自己提出的地震作用下樁基破壞新機理；吳波等開展了兩種不同框剪結構模型的地震模擬振動臺對比試驗，得出部分柱頂滑移鋼筋混凝土框剪結構具有比傳統(tǒng)框剪結構更優(yōu)的抗震性能。Chan等以荷載響應識別為目的，開展了車橋耦合振動模型試驗，但未按相似關系設計車輛和橋梁的動力特性參數。然而，在結構模型試驗中要使原型與模型間保持絕對嚴格的相似關系幾乎是不可能的，往往會通過改變結構屬性或者縮小幾何比尺來近似滿足兩者間的相似關系。但這樣會極大增加經濟與時間的代價。

林皋等[9-10]曾根據不同的試驗目的及要求，指出結構動力模型試驗有3種基本換算關系：彈性力相似律、重力相似律及彈性力—重力相似律。其中，以研究結構振動特性以及彈性階段結構動力響應為試驗目的時適用彈性力相似律，但并未有學者依據該相似律指導橋梁結構振動相似模型的設計與制作。

本文為探討彈性力相似律在橋梁結構振動相似模型與原型橋梁間的適用性，以32 m簡支箱梁橋為原型，以10∶1為幾何縮尺比，設計制作了簡支箱梁橋模型，并依據彈性力相似律推導了原型橋與模型橋間的相似關系；在以橋梁結構振動為研究目的的情況下，通過有限元數值分析得到原型箱梁與模型箱梁的自由模態(tài)頻率比尺以及原型橋與模型橋的位移、速度和加速度比尺，以此來校驗理論推導相似關系，此外，對相似模型實測數據與有限元數值分析數據進行對比，探討實際相似模型與有限元相似模型是否具有一致性。

1 模型試驗相似理論

1.1 相似條件

模型與原型之間保持嚴格的動力、靜力相似，有四個必要和充分的相似條件

(1)幾何相似。模型和原型的幾何尺寸需保持一定的比例，即

L/Lm=λ

(1)

式中：L為原型的幾何尺寸；Lm為模型的幾何尺寸(下標“m”代表模型中的物理量，下同)；λ為幾何比尺。

(2)物理性能相似。模型與原型相應質點的質量在整個動力過程中應保持恒定比例，也相當于兩者的材料密度保持著一定的比例，即

(2)

式中：M為質量；ρ為材料密度；λρ為密度比尺。

(3)運動相似。模型與原型相應質點的速度和加速度應保持一定比例，這就相當于兩者在動力過程中所經歷的相應時段保持一定的比例，即

(3)

f/fm=tm/t=1/λt=λf

(4)

式中：v為速度；a為加速度；t為時間；f為頻率；λv、λa、λt、λf分別為速度比尺、加速度比尺、時間比尺和頻率比尺。

(4)動力相似。牛頓所提出的動力相似條件說明在動力過程中，無論由什么原因所產生的作用力，其比尺應保持一致[11]。方程式表達為

F/Fm=λF

(5)

式中：F為作用力；λF為作用力比尺。

在動力作用過程中，對結構的動力性質產生影響的有重力、慣性力、彈性恢復力及其他外作用力，它們相應的作用力比尺如下

重力：F/Fm=(ρ/ρm)·λ3

(6)

(7)

彈性恢復力：F/Fm=(E/Em)·λ2

(8)

式中：E為材料彈性模量。

其他作用力，令其比尺為P/Pm，則：

F/Fm=P/Pm

(9)

由式(5)～(9)得：

(E/Em)·λ2=P/Pm=λF

(10)

可以發(fā)現：相似條件1、相似條件2、相似條件3分別為我們提供了三個相互獨立的比尺λ、λρ、及λt，而相似條件4則限制了這三個比尺的關系。在相似模型設計時，要使原型與模型間各比尺滿足式(10)幾乎是不可能的，我們只能根據試驗目的及要求，近似或部分地滿足式(10)的要求。

1.2 彈性力相似律

彈性結構振動方程如下

(11)

式中：M、C、K分別為結構的質量、阻尼及剛度矩陣；F(t)為外作用力；u為位移。

式(11)表明，影響結構振動的主要作用力為慣性力、阻尼力與彈性恢復力。在研究結構振動特性時，可主要保持慣性力與彈性恢復力相似，據式(7)、式(8)、式(10)可推出

(12)

整理得

(13)

當研究結構在彈性階段的動力響應時，還應保持作用力F的相似，由式(10)得：

λF=F/Fm=(E/Em)·λ2

(14)

此外，支座剛度比尺λK可由作用力比尺λF與位移比尺λu表示，即：

λK=(F/u)/(Fm/um)=λF/λu

(15)

式中：u為位移，其量綱與幾何尺寸量綱相同，故其比尺λu與幾何比尺λ相同。

由此可見，當以彈性力相似律指導相似模型設計時，材料的彈模比尺λE、密度比尺λρ和幾何比尺λ是相互獨立的，可供我們選擇，在此基礎上可導出其他各相關物理量的比尺。由于不用考慮模型材料問題，這將使得相似模型的制作更加便攜，并降低試驗成本。

2 橋梁相似模型設計

簡支箱梁原型橋長32 m，采用C50混凝土材料澆筑，其計算跨徑31.40 m，橋面寬12.00 m，梁高3.05 m，箱梁橫截面尺寸如圖1所示。C50混凝土[12]材料彈性模量E=34.5 GPa，密度ρ=2 500 kg/m3，橋梁支座剛度K=3.38×109N/m。

圖1 箱梁橫截面幾何尺寸(mm)

模型橋梁各幾何尺寸均為原型橋梁的1/10，澆筑材料采用H60—Ⅲ型灌漿料，該型號灌漿料具有早強高強、自流動性好、無需振搗等特點，能較好地滿足縮小尺寸模型橋梁的材料要求，澆筑的箱梁橋相似模型如圖2所示。

圖2 箱梁橋相似模型

本文采用應變片法測灌漿料的彈性模量，如圖3所示。萬能壓力機對3組灌漿料試塊施加壓力，應變信號采集儀采集應變值，依據胡克定律得到比例極限內應力應變關系，材料的彈性模量即可依據此關系得出。試驗得到該灌漿料平均彈性模量Em=30 GPa。對12組灌漿料試塊進行稱重，并測量試塊體積，再確定各試塊的密度值，最終得到該灌漿料平均密度ρm=2 203 kg/m3。

1-壓力機；2-試塊；3-應變片；4-底座；5-導線

依據彈性力相似律，在已知原型與模型材料的彈模比尺λE、密度比尺λρ和幾何比尺λ后，可導出其他各相關物理量的相似比尺，模型試驗各比尺，如表1所示。

表1 模型試驗相似比尺

3 有限元數值分析

3.1 模態(tài)分析

利用有限元軟件分別建立原型和幾何縮尺箱梁的有限元模型，兩者梁體均采用solid45單元模擬，材料參數于上文給出，箱梁有限元模型，如圖4所示。在無約束條件下分別對原型箱梁以及幾何縮尺箱梁進行模態(tài)分析，選取兩者前5階自由模態(tài)頻率比尺校驗是否滿足上文推導得出的頻率相似比尺，結果列于表2。其中，誤差=(模態(tài)頻率比尺-推導頻率比尺)/模態(tài)頻率比尺；模態(tài)頻率比尺=原型梁頻率/模型梁頻率。

圖4 箱梁有限元模型

表2 原型梁與模型梁各階頻率比尺校驗

從表2可知，模態(tài)分析得到的原型梁與模型梁自由模態(tài)頻率比尺與推導得到的頻率比尺相差極其微小，表明頻率比尺計算結果正確。

3.2 瞬態(tài)分析

本文分別對原型橋與模型橋施加簡諧荷載，分析在該種載荷下橋梁結構的位移、速度和加速度響應，從而確定原型橋與模型橋各物理量比尺。定義模型橋作用荷載幅值為40 N，頻率為10 Hz，作用時間為5 s，步長為0.002 s。依據上文導出的相似比尺，可得原型橋作用荷載幅值為4 600 N，頻率為1.007 Hz，作用時間為49.67 s，步長為0.019 s。原型橋與模型橋外作用力如下：

F=4 600sin(2.014πt)

(16)

Fm=40sin(20πt)

(17)

為得到橋梁較全面的振動響應，選取橋梁支座橫斷面A、1/4橫斷面B以及跨中橫斷面C為特征斷面，在每個斷面翼板、頂板、腹板和底板處共選取6個點位作為特征點，考察總計18個特征點的振動響應情況。以跨中截面C為例，C1表示跨中截面1號特征點，加載點位于跨中截面翼板中點，如圖5所示。

圖5 跨中截面各特征點

在簡諧荷載作用下，各特征點均作簡諧振動，對原型橋與模型橋所有特征點位移、速度和加速度的幅值進行分析，得到位移比尺、速度比尺和加速度比尺，并與推導結果進行對比，如圖6所示。

從圖6可知：① 圖中各特征點位移比尺集中在10.015～10.061，其中C1點位移比尺為10.061，與理論位移比尺相差最大，但兩者誤差僅為0.61%；② 圖中各特征點速度比尺集中在1.012～1.014，其中B1點速度比尺與理論速度比尺相差最大為1.014，兩者誤差為0.69%；③ 圖中各特征點加速度比尺集中在102.274×10-3～102.709×10-3，其中C1點加速度比尺與理論加速度比尺相差最大為102.709×10-3，兩者誤差為1.34%；理論推導得出的位移、速度和加速度比尺均小于數值計算結果，這是因為彈性力相似律只考慮了慣性力與彈性恢復力相似，而忽略了其他作用力的影響，但從兩者誤差來看，這對結果的影響不大，理論推導得出的位移、速度和加速度比尺與數值計算結果基本吻合。

(a)位移比尺

(b)速度比尺

(c)加速度比尺

4 試驗研究

試驗研究的目的是驗證橋梁實際相似模型與有限元相似模型是否具有一致性。若兩者一致性較好，即相同條件下兩者各物理量吻合，則說明采用彈性力相似律指導設計橋梁結構振動相似模型可行，制作的相似模型上所呈現的現象與規(guī)律可以通過相似比尺關系推演到原型橋梁上。本文對澆筑的簡支箱梁橋模型進行自由模態(tài)測試，并采集在簡諧荷載作用下橋梁的振動加速度，最后將實測結果與有限元分析結果進行對比分析。

4.1 自由模態(tài)測試

采用LMS Test. Lab軟件的MIMO FRF Testing模塊測定相似模型的模態(tài)。該模塊內置隨機信號、正弦信號等多種信號源，測試時輸出猝發(fā)隨機信號，信號經功率放大器放大，再輸出至激振器，激振器將信號以力的形式作用在結構上形成激勵，信號采集儀通過傳感器采集激勵下結構的振動信號與力信號，采集的信號經過軟件實時處理形成頻響函數，借助軟件內置的LMS Test. Lab PolyMAX模態(tài)參數估計算法，對頻響函數進行分析處理即可確定結構的模態(tài)，模態(tài)測試流程，如圖7所示。

圖7 模態(tài)測試流程

試驗前通過預實驗分析確定了一組較為理想的測點與激振點布置方案：沿箱梁長度方向每隔0.4 m選取一個斷面，每個斷面布置8個拾振點，全梁共計72個拾振點；以箱梁第一個斷面為例，其拾振點與激振點布置，如圖8所示。試驗時采用自由懸置方式(見圖9)進行垂向激振、三向拾振測定模態(tài)。

圖8 拾振點與激振點布置

圖9 箱梁模態(tài)試驗自由懸置

所有測點采集的加速度信號經過處理形成頻響函數，模態(tài)參數估計算法對這些頻響函數進行處理與模態(tài)識別，圖10為模態(tài)識別后的穩(wěn)態(tài)圖：圖中“o”表示極點不穩(wěn)定，“v”表示極點向量的在公差范圍內穩(wěn)定，“s”表示極點的頻率、阻尼、向量在公差范圍內都穩(wěn)定。如果在穩(wěn)態(tài)圖的某一縱軸上出現的“s”越多，則說明該縱軸對應的頻率越可能是模態(tài)頻率。

在0～400 Hz的頻率范圍內共識別6階模態(tài)，其模態(tài)置信度矩陣，如表3所示。圖11為對應的柱狀圖。

圖10 模態(tài)識別穩(wěn)態(tài)圖

%

圖11 模態(tài)置信度矩陣柱狀圖

由表3及圖11可知：模態(tài)置信度矩陣非對角元最大值為11.913%，其次為9.639%，其余均<5%；矩陣對角元值均為100%。這表明所識別的各階模態(tài)具有較好的獨立性。

選取前5階有限元模態(tài)分析結果與模型橋梁自由模態(tài)測試結果與進行對比，列于表4，圖12給出前3階振型對比，其中左側為有限元模態(tài)分析振型，右側為實測模態(tài)振型。

由表4及圖12可知：前3階模型橋梁自由模態(tài)測試結果與有限元模態(tài)分析結果吻合較好。但從第4階開始出現較大的差異：測試未能識別出第4階模態(tài)；第5階模態(tài)頻率測試結果與有限元分析結果誤差達到8.31%，相差較大。出現模態(tài)未識別現象的原因可能是：① 激振力的頻率范圍沒有包含該階模態(tài)頻率(289.988 Hz)和與之相近的頻率，從而導致測試過程中該階模態(tài)未被激起；② 本文只設置了一個激振點，激振點設置較少；③ 測試環(huán)境與有限元理想化的環(huán)境存在差異，且模型制作和試驗操作具有誤差。然而，從前3階模態(tài)測試結果來看，箱梁實際相似模型與有限元箱梁模型還是具有較好的一致性。

表4 自由模態(tài)頻率對比

4.2 振動加速度測試

利用自由模態(tài)測試系統(tǒng)采集簡諧荷載(式(17))作用下橋梁1/4斷面B各特征點的振動加速度，加載點和測點布置與上文有限元瞬態(tài)分析時一致。

由于測試設備產生相對較大的噪聲，實測加速度都含有無用的噪聲信號，本文首先利用小波去噪法[13]對原始加速度進行去噪處理，之后將其與有限元瞬態(tài)分析的得到的加速度時程數據轉換為頻域數據，再對兩者進行對比分析。圖13給出B3測點的加速度處理。

(a)原始加速度時程曲線

(b)去噪后加速度時程曲線

(c)有限元分析加速度時程曲線

圖13B3測點加速度時程曲線

Fig.13 The acceleration versus time data ofB3

從圖13可知，去噪后的B3點加速度時程曲線(見圖13(b))與有限元瞬態(tài)分析得到的加速度時程曲線(見圖13(c))大致相同。有限元瞬態(tài)分析得到的加速度頻域曲線(見圖13(d))與去噪后實測加速度頻域曲線(見圖13(e))峰值頻率基本一致，但在線形上還存在差異，這主要是因為去噪方法并未將所有無用噪聲信號去除，才導致頻域曲線并不光滑。選取去噪后各測點加速度頻域幅值與瞬態(tài)分析加速度頻域幅值，如表5所示。

由表5可知，越靠近加載點加速度越大，靠近加載點的翼板測點B3加速度最大，遠離加載點的腹板測點B5加速度最小，實測加速度與瞬態(tài)分析得到的加速度均符合這一規(guī)律；兩加速度頻域幅值相差均<0.4×10-3m/s2。

表5 加速度幅值對比

由此可見，各測點實測加速度與瞬態(tài)分析得到的加速度雖然具有差異，但兩者基本規(guī)律一致。從兩者頻域分析結果來看，該差異主要體現在外部環(huán)境對振動加速度實測的干擾上。

5 結 論

(1)當以彈性力相似律指導相似模型設計時，由于不用考慮模型材料問題，這將使得相似模型的制作更加便攜，并降低試驗成本。

(2)模態(tài)分析結果表明頻率比尺推導結果正確，瞬態(tài)分析結果顯示位移、速度加速度比尺推導結果正確；試驗研究驗證了實際相似模型與有限元相似模型具有一致性。

(3)以研究橋梁結構振動為目的的相似模型，可以用彈性力相似律來指導模型的設計與制作，且相似模型所呈現的現象及規(guī)律依靠相似關系能夠真實可靠的反演到原型上。由于本文只對簡支箱梁橋進行系統(tǒng)論證，故該結論是否對更復雜的橋梁結構適用，仍需作進一步的研究。

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