時(shí)滯振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的多步法

徐佳佳， 劉 皞

(南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院， 南京 211106)

考慮線性時(shí)滯振動(dòng)控制系統(tǒng)

(t-τ)

(1)

式中：A∈Rn×n為狀態(tài)矩陣；B∈Rn×m為列滿秩控制矩陣；τ∈R為狀態(tài)反饋測(cè)量與控制之間的時(shí)滯；x(t)∈Rn為狀態(tài)變量；u(t-τ)∈Rm為控制變量。當(dāng)m=1時(shí)，稱式(1)為線性時(shí)滯單輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)，而當(dāng)m>1時(shí)，稱式(1)為線性時(shí)滯多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)。本文用矩陣對(duì)(A,B)表示式(1)。

由于振動(dòng)控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋測(cè)量與控制之間總存在時(shí)滯現(xiàn)象[1-2]，所以需要考慮帶有小時(shí)滯的振動(dòng)控制問題。

一種系統(tǒng)振動(dòng)控制的方法即狀態(tài)反饋控制，令

u(t-τ)=-FΤx(t-τ)

(2)

式中：F∈Rn×m，將式(2)代入式(1)，得

(t-τ)

(3)

利用分離變量，令

x(t)=xeλt

(4)

式中：λ∈C，得

Qτ(λ)x=0

(5)

式中：Qτ(λ)=λI-(A-BFΤe-λτ)。

如果τ=0，則式(5)簡(jiǎn)化為如下一階特征值問題

Qc(λ)x=0

(6)

式中：Qc(λ)=λI-(A-BFΤ)。

線性時(shí)滯振動(dòng)控制系統(tǒng)極點(diǎn)配置問題就是尋求一個(gè)狀態(tài)反饋矩陣F∈Rn×m，使得式(5)含有事先給定的特征值。在實(shí)際工程計(jì)算中，開環(huán)系統(tǒng)僅僅有一少部分特征值是不“想要”的，因此我們只需對(duì)少部分不“想要”的特征值進(jìn)行配置，保持其它特征對(duì)不變[3]。又因?yàn)橄到y(tǒng)的狀態(tài)反饋測(cè)量與控制之間存在時(shí)滯現(xiàn)象。這就產(chǎn)生了以下線性時(shí)滯振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題。

Qτ(λ)=λI-(A-BFΤe-λτ)

(7)

目前關(guān)于線性系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的研究，傳統(tǒng)求解完全極點(diǎn)配置問題的數(shù)值方法不再適用，如：QR法[4]、Schur分解法[5]；Ram等[6-8]提出了動(dòng)柔度法，但這個(gè)方法需要閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)柔度矩陣，而且這個(gè)矩陣對(duì)測(cè)量噪聲是敏感的[9-10]；Datta等給出了參數(shù)化方法，不再利用動(dòng)柔度矩陣，但需要求解Sylvester矩陣方程。此方法在求解過程中，如何選擇參數(shù)，使得算法可以進(jìn)行下去，是個(gè)未知的問題[11]。

本文主要工作是提出一種多步法求解線性時(shí)滯多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題， 這種方法給出了問題可解的條件很容易實(shí)現(xiàn)而且不需要利用動(dòng)柔度矩陣或求解Sylvester方程。

在本文中，有如下假設(shè)：

3) rank(A-μiI)=n；

以下記號(hào)將被使用

Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，其對(duì)角元是狀態(tài)矩陣A的特征值；

Λ1=diag(λ1,λ2,…,λp)，其對(duì)角元是要改變的特征值；

Λ2=diag(λp+1,λp+2,…,λn)，其對(duì)角元是保持不變的特征值；

Λc1=diag(μ1,μ2,…,μp)，其對(duì)角元是事先給定的要配置的特征值；

Y1=[y1,y2,…,yp]，其每一列是A相應(yīng)的左特征向量；

X=[x1,x2,…,xp,xp+1,…,xn]，其每一列是A相應(yīng)的右特征向量；

X1=[x1,x2,…,xp]；X2=[xp+1,xp+2,…,xn]。

1 單輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)

考慮線性時(shí)滯單輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)(即m=1)

F=f∈Rn,B=b∈Rn,u(t-τ)∈R

首先需要考慮線性時(shí)滯振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題解的存在唯一性。

引理1(解的存在唯一性)

2) 線性時(shí)滯單輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題存在唯一解的充要條件是矩陣對(duì)(A,b)是完全可控的單輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)；在多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)或不完全可控的單輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)的情況下，只要系統(tǒng)存在一解，則系統(tǒng)存在無窮多個(gè)解。

由引理1給出可控的特征向量準(zhǔn)則。

引理2(可控的特征向量準(zhǔn)則)

若矩陣對(duì)(A,b)對(duì)所有滿足yΗA=λyΗ，且y≠0的y，有yΗb≠0，則矩陣對(duì)(A,b)關(guān)于A的特征值λ是可控的；反之也成立。

下面給出線性時(shí)滯振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的解的表達(dá)式。

β∈Rn

(8)

X2Λ2-AX2+bfΤX2e-τΛ2=0

(9)

X2Λ2-AX2+bfΤX2e-τΛ2=X2Λ2-AX2+

(10)

Λc1=diag(μ1,μ2,…,μp)，Xc1=[xc1,xc2,…,xcp]

式中：xcj(j=1,2,…,p)為滿足(A-μjI)xcj=bγj的列向量。由于μj不是A的特征值，則Xc1是唯一確定的。

下面選取β，使得

Xc1Λc1-AXc1+bfΤXc1e-τΛc1=0

(11)

將式(8)代入式(11)，得

(12)

(13)

則

不妨取γ=(γ1,γ2,…,γp)=(1,1,…,1)∈R1×p，則

從而可得以下定理：

定理3(線性時(shí)滯單輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的解)

Xc1=[xc1,xc2,…,xcp]

Λc1=diag(μ1,μ2,…,μp)

和

根據(jù)定理3可得算法1。

算法1(線性時(shí)滯單輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的算法)

1. forj=1,2,…,pdo;

3. 計(jì)算xcj:(A-μjI)xcj=b；

4. end for

5. 令Y1=[y1,y2,…,yp]，

Xc1=[xc1,xc2,…,xcp]，

Λc1=diag(μ1,μ2,…,μp)；

7. 計(jì)算β:βΤH=(1,1,…,1)；

2 多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)

這一部分，提出解決線性時(shí)滯多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的多步法。記式(3)的等價(jià)形式為

(t-τ)

(14)

式中：bi和fi分別為B和F的第i列。對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

(15)

定義

(16)

式中：kji∈C。記ηjm=μj，j=1,2,…,p。設(shè)

(17)

因此，線性時(shí)滯多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置的多步法問題如下：

線性時(shí)滯多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置的多步法問題給定A，B，Λ1，Λc1，設(shè)ηji和Ai分別為式(16)和式(17)定義的形式。對(duì)于i=2,…,m，我們可以找到單輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋向量fi，使得

(18)

定義

βi，i=1,2,…,m

(19)

定理4(線性時(shí)滯多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的解)

Λc1i=diag(η1i,η2i,…,ηpi)，Xc1i=[xc1i,xc2i,…,xcpi]

和

(20)

即定理4的第一部分得證。

(21)

將式(19)代入式(21)，得

(22)

注選擇參數(shù)kji的準(zhǔn)則:選擇kji使得ηji不是開環(huán)系統(tǒng)Ai的特征值，則ηjiI-Ai為非奇異的。另一種方法，選擇kji=λj，這個(gè)需要判斷ηjiI-Ai是否為非奇異的。

根據(jù)定理4可得算法2。

算法2(線性時(shí)滯多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的算法——多步法)

輸入:n×n的實(shí)狀態(tài)矩陣A；

n×m的實(shí)控制向量B；

時(shí)滯量τ>0；

輸出:狀態(tài)反饋向量F，滿足

Qτ(λ)=λI-(A-BFΤe-λτ)有所配置

1. fori=1,2,…,mdo

2. forj=1,2,…,pdo

ηjiI-Ai為非奇異的；

5. 計(jì)算xcji:(Ai-ηjiI)xcji=bi；

6. end for

7. 令Y1i=[y1i,y2i,…,ypi]，

Xc1i=[xc1i,xc2i,…,xcpi]，

Λc1i=diag(η1i,η2i,…,ηpi)；

11. end for

12.F=[f1,f2,…,fm]。

3 數(shù)值試驗(yàn)

在這一部分，就算法1和算法2分別給出數(shù)值例子來說明算法1和算法2的有效性。

.427 0×10-11

例2考慮彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，如圖1所示?？梢詫?dǎo)出多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的模型

圖1 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)

取m1=m2=1 kg,k1=k2=1 N/m，則系數(shù)矩陣

同時(shí)

.280 2×10-16

注針對(duì)多輸入控制系統(tǒng)，參考文獻(xiàn)[3]中的算法4.2在求解過程中，如何選擇參數(shù)Γ，使得矩陣方程ΦZ1=Γ有解是一個(gè)未知的問題。事實(shí)上，此方法確實(shí)容易受到參數(shù)Γ的影響。而本文提出的算法可以給出Hi非奇異的條件，從而可以保證算法可以進(jìn)行下去。

4 結(jié) 論

本文中提出了求解線性時(shí)滯多輸入振動(dòng)控制系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題的多步法，這種方法很容易編程實(shí)現(xiàn)而且不需要利用動(dòng)柔度矩陣或求解Sylvester方程。最后，數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明多步法是有效的。

[1] LI T, CHU E K W. Pole assignment for linear and quadratic systems with time-delay in control[J]. Numerical Linear Algebra with Applications, 2013, 20(2): 291-301.

[2] LIU H, YUAN Y X. A multi-step method for partial quadratic pole assignment problem with time delay[J]. Applied Mathematics and Computation, 2016, 283(Sup1): 29-35.

[3] DATTA B N, SARKISSIAN D R. Partial eigenvalue assignment in linear systems: existence, uniqueness and numerical solution[C]. MTNS’2002. Notre Dame, 2002.

[4] CHEN C T. Linear system theory and design[M]. New York: CBS College Publishing, 1984.

[5] DATTA B N. Numerical methods for linear control systems design and analysis[M]. New York: Academic Press, 2002.

[6] RAM Y M, ELHAY S. Pole assignment in vibratory systems by multi-input control[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 230(2): 309-321.

[7] RAM Y M, MOTTERSHEAD J E, TEHRANI M G. Partial pole placement with time delay in structures using the receptance and the system matrices[J]. Linear Algebra and its Applications, 2011, 434(7): 1689-1696.

[8] BAI Z J, CHEN M X, DATTA B N. Minimum norm partial quadratic eigenvalue assignment with time delay in vibrating structures using the receptance and the system matrices[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332 (4): 780-784.

[9] RAM Y M, MOTTERSHEAD J E. Receptance method in active vibration control[J]. AIAA Journal, 2007, 45(3): 562-567.

[10] MOTTERSHEAD J E, TEHRANI M G, RAM Y. Assignment of eigenvalue sensitivities from receptance measurements[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, 23(6): 1931-1939.

[11] BAI Z J, CHEN M X, YANG J K. A multi-step hybrid method for multi-input partial quadratic eigenvalue assignment with time delay[J]. Linear Algebra and its Applications, 2012, 437(7): 1658-1669.

[12] 孟曉然, 岳曉鵬. 一類Cauchy型矩陣的求逆問題[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與計(jì)算, 2011, 31 (12): 1690-1697.

MENG Xiaoran,YUE Xiaopeng. On the inverse problem of a class of Cauchy type matrix[J]. Systems Science and Computing,2011,31(12): 1690-1697.