基于協(xié)整理論的環(huán)境溫濕度效應下連續(xù)梁橋頻率修正方法

何浩祥， 張小福， 王小兵

(1. 北京工業(yè)大學 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室， 北京 100124;2. 首都世界城市順暢交通北京市協(xié)同創(chuàng)新中心， 北京 100124)

近年來，包括基于模態(tài)參數(shù)和物理參數(shù)、基于現(xiàn)代信號分析技術(shù)以及基于智能算法和統(tǒng)計模式識別等方法在內(nèi)的橋梁損傷評估和狀態(tài)評估技術(shù)迅猛發(fā)展，但目前的許多方法都存在著各自的局限性。對于經(jīng)典的結(jié)構(gòu)損傷分析，一般假定質(zhì)量保持不變而結(jié)構(gòu)的剛度出現(xiàn)下降。由于頻率和剛度是直接相關(guān)的，而頻率的提取和分析相對簡單可行，因此基于頻率的損傷評估方法被廣泛研究[1]。然而，由于橋梁在運營階段受到交通荷載、環(huán)境因素和噪聲的綜合作用, 加之工程結(jié)構(gòu)的隨機性，實測得到的頻率往往出現(xiàn)偏差和不確定性[2]。在實際狀態(tài)下，由外部因素引起的頻率偏差通常與由結(jié)構(gòu)累積損傷引起的頻率改變在同一量級甚至更大，這掩蓋了結(jié)構(gòu)的真實損傷特征和信息，嚴重降低了基于頻率的損傷評估方法的精確性和可信度，阻礙了該方法的應用和發(fā)展。因此，如何對影響橋梁頻率的外部因素效應進行有效剝離，提取結(jié)構(gòu)真實動力特性和損傷特征具有重要的理論研究和應用價值[3-4]。

在諸多環(huán)境因素中，橋梁的頻率、振型等動力特性主要受到溫度、濕度和阻尼等宏觀環(huán)境因素影響。一般認為環(huán)境溫度對橋梁結(jié)構(gòu)實時動力特性的影響最為顯著，因而目前的環(huán)境因素影響分析主要局限在溫度效應方面。許多研究通過實際工程和試驗模型的實測數(shù)據(jù)并結(jié)合橋梁結(jié)構(gòu)形式分析溫度效應對橋梁內(nèi)力的影響規(guī)律[5-7]。但在實際研究過程中，濕度同樣對橋梁的模態(tài)參數(shù)有較大的影響，部分研究者對此做出相應研究[8-10]。溫度的影響機理主要為：① 溫度通過引起鋼筋和混凝土的彈性模量的變化從而改變結(jié)構(gòu)的振動頻率；② 橋梁為高次超靜定結(jié)構(gòu)，溫度改變也必然會引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力的改變。由應力剛化理論可知，內(nèi)力改變也會引起剛度的改變，進而引起頻率的改變；③ 環(huán)境溫度差也會導致橋梁幾何形狀的改變，使基礎(chǔ)邊界條件和受力狀態(tài)發(fā)生輕微改變。研究表明結(jié)構(gòu)的動力參數(shù)受溫度的影響很大，一般認為，溫度對橋梁頻率的影響主要是由于彈性模量的改變而引起的。濕度的影響機理主要是：混凝土是多孔性材料，濕度將直接影響混凝土結(jié)構(gòu)的含水率，對混凝土材料的力學性能產(chǎn)生影響。隨著含水率的小幅增長，混凝土基體相的體積模量變化不大, 但孔隙水的存在對孔隙和裂紋的軟化起到了一定的緩和作用，引起混凝土的黏性系數(shù)變大，導致混凝土的彈性模量略有增大[11]。由于較慢的滴水滲透過程，濕度對橋梁總體質(zhì)量的影響較小。

在溫、濕度對結(jié)構(gòu)動力特性影響方面，許永吉等[12]研究了溫度對多跨連續(xù)梁橋動力特性的影響進行了深入研究，結(jié)果表明：隨著溫度的升高, 豎向、縱向和橫向的各階頻率呈上升趨勢，同時也橋梁邊界約束條件的不同而有變化。Peeters等[13]對一座混凝土預應力梁橋進行了10個月的監(jiān)測, 收集了各項環(huán)境數(shù)據(jù)和振動數(shù)據(jù)。分析結(jié)果表明,該橋的前4階特征頻率的波動范圍均>14%，當監(jiān)測分析得到的頻率如果超過理論模型的置信區(qū)間則可認為產(chǎn)生溫度以外的因素如損傷導致特征頻率改變。Ni等[14]以香港汀九大橋長期監(jiān)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，提出利用基于支持向量機(Support Vector Machine, SVM)的非線性回歸算法建立頻率-溫度分布模型從而消除溫度影響的方法。Xia等對一塊兩跨鋼筋混凝土連續(xù)板進行2年以上的監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)溫度每上升1℃頻率下降0.2%,濕度每上升一度則頻率下降0.03%。劉綱等利用結(jié)構(gòu)長期監(jiān)測信號的多尺度特性，提出較為精確分離溫度效應的自適應帶寬濾波方法。皮少博以杭州灣跨海大橋北航道為研究對象，運用支持向量機建立數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型研究分析溫度濕度對該橋模態(tài)參數(shù)的影響，結(jié)果表明絕對溫度在0 ℃～30 ℃變化時與頻率呈負相關(guān)線性變化，絕對濕度與頻率成正相關(guān)的線性關(guān)系。

在以上研究過程中，大部分研究者采用回歸分析方法建立環(huán)境因素和結(jié)構(gòu)頻率之間的關(guān)系。雖然線性回歸模型可以直觀表達環(huán)境因素與頻率之間的線性關(guān)系，但由于環(huán)境溫濕度和頻率序列的非平穩(wěn)性，對非平穩(wěn)序列進行線性回歸分析存在虛假回歸，其樣本均值和方差不能準確推斷隨機變量的分布特征，因此，關(guān)于溫度或濕度和頻率線性回歸模型的結(jié)果可信性較差。當考慮多環(huán)境因素對頻率的耦合效應建立自回歸滑動平均模型 (Auto-Regressive and Moving Average Model, ARMA)、自回歸積分滑動平均模型(Auto-Regressive Integreted Moving Average Model, ARIMA)或擴展ARIMA 模型(ARIMAX)時，ARIMAX 模型引入了外部變量，具有連貫性和類推性，較好地表達多元時間序列的變化規(guī)律。但是溫濕度以及頻率的采集并沒有周期性，即同一序列前后之間沒有連貫性，并且環(huán)境因素影響的研究是針對序列之間的縱向關(guān)系的觀察，因此相關(guān)的ARIMAX差分算法以及延遲算子沒有明顯的物理意義。近年來協(xié)整分析方法日益受到關(guān)注并在經(jīng)濟分析和工程領(lǐng)域得到廣泛應用。協(xié)整理論認為：盡管各個非平穩(wěn)變量具有各自的長期波動規(guī)律，每一個序列的矩會隨著時間發(fā)生變化，但它們的某種線性組合卻可能存在穩(wěn)定的矩，從而表現(xiàn)出這些非平穩(wěn)變量之間存在著一個長期穩(wěn)定的關(guān)系，即存在所謂的矩協(xié)同持續(xù)性，此外協(xié)整分析還可以準確反映多變量矩協(xié)同持續(xù)性。

由于實際的橋梁動力性能受到多環(huán)境因素的影響，研究成果大多是通過對監(jiān)測數(shù)據(jù)分析得到單獨環(huán)境因素對具體橋梁的影響和量化統(tǒng)計[15-16]，缺乏對多環(huán)境因素綜合作用的機理分析和精確模型描述。有鑒于此，本文利用協(xié)整分析能夠量化多個非平穩(wěn)序列之間長期均衡關(guān)系的能力，提出基于協(xié)整分析的頻率修正方法。通過對北京地區(qū)自然環(huán)境下三跨混凝土橋梁模型進行了長期監(jiān)測，獲得了不同環(huán)境溫度和濕度對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響，進而建立了基于協(xié)整理論的“溫度—濕度—頻率”長期均衡模型和考慮多環(huán)境因素影響的橋梁頻率修正模型。

1 協(xié)整分析的檢驗方法及流程

1.1 協(xié)整理論及其應用

協(xié)整理論是由Engle等[17-18]創(chuàng)建的一種計量經(jīng)濟學分析方法，已成為計量經(jīng)濟學中分析處理非平穩(wěn)時間序列問題的基本方法。協(xié)整基本思想是假定變量自身是非平穩(wěn)時間序列，而其線性組合可能成為平穩(wěn)序列，這種平穩(wěn)的線性組合稱為協(xié)整方程，可解釋為變量之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系，即存在長期均衡關(guān)系。

在對若干非平穩(wěn)隨機過程進行協(xié)整分析之前，必須要使用單位根檢驗法檢驗非平穩(wěn)序列的單整階數(shù)。單整階數(shù)的具體定義為[19]：一個具有非確定性分量的時間序列xt，如果在差分d次后，即Δdxt為平穩(wěn)序列，而在差分d-1次后仍是非平穩(wěn)的，則稱時間序列xt是d階單整的，稱為I(d)序列，記為xt～I(d)。

Δxt=xt-xt-1,Δ2xt=Δ(Δxt),…,Δdxt=

Δd-1(Δxt)

(1)

式中：Δ為差分運算子。因此，平穩(wěn)序列可表示為I(0)。

在非平穩(wěn)性序列單位根檢驗的結(jié)果的基礎(chǔ)上，根據(jù)檢驗結(jié)果選擇合適的變量進行協(xié)整分析。若2個或多個變量都是單整變量，且其單整階數(shù)相同，則其線性組合是零階單整序列時，這些變量即是協(xié)整的。協(xié)整的定義可以表述為：如果序列[X1t,X2t, …,Xkt]都是d階單整的，存在協(xié)整向量α=[α1,α2, …,αk]，使Zt=αXt～I(d-b)，其中b>0，Xt=[X1t,X2t,…,Xkt]T，則認為序列[X1t,X2t,…,Xkt]是(d,b)階協(xié)整的，記為Xt～CI(d-b)。例如，若序列[X1t,X2t, …,Xkt]都是d階單整并滿足協(xié)整關(guān)系，則

ξ=α1X1t+α2X2t+…+αkXkt

(2)

式中:ξ為I(0)的平穩(wěn)序列。

協(xié)整分析已被初步應用于健康監(jiān)測和機械故障診斷，并被證明是行之有效的。這些研究主要運用非線性協(xié)整分析方法消除數(shù)據(jù)中的非線性趨勢，并利用由非線性協(xié)整分析得到的穩(wěn)定殘差判斷結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)[20]。Cross等[21]采用非線性協(xié)整的思想研究Z24大橋基準項目。Zolna等[22]利用非線性協(xié)整有效地從各種類型的實驗數(shù)據(jù)消除非線性趨勢，得到可靠的風力渦輪機的結(jié)構(gòu)損傷檢測的數(shù)據(jù)。在這些研究中，非線性協(xié)整分析方法只考慮了單一因素對結(jié)構(gòu)的影響并且沒有量化分析，且不能區(qū)分和量化多因素的影響。然而，協(xié)整分析最突出的優(yōu)勢是具有確定多個變量之間的協(xié)整關(guān)系的能力。因此本文考慮環(huán)境溫度和濕度對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響，力求建立基于協(xié)整理論的“溫度—濕度—頻率”長期均衡模型和橋梁頻率修正模型。

1.2 協(xié)整分析過程

鋼筋混凝土橋梁的各階頻率會受到多個環(huán)境因素的影響，主要是受到來自溫度和濕度的影響，而這些環(huán)境因素變量往往是非平穩(wěn)的。如果使用傳統(tǒng)的多元回歸方法建模，即使回歸系數(shù)有意義，也會產(chǎn)生偽回歸問題。由于協(xié)整分析能夠有效避免偽回歸，可以從變量自身平穩(wěn)性和變量間的協(xié)整關(guān)系出發(fā)篩選變量、構(gòu)建考慮多環(huán)境因素的橋梁頻率修正模型，具有牢固的理論基礎(chǔ)和優(yōu)良的統(tǒng)計性質(zhì)。

本文力求通過引入線性協(xié)整分析方法研究多因素對結(jié)構(gòu)的影響，提出一種基于協(xié)整理論的橋梁頻率識別模型，力求準確而全面地反映橋梁頻率與環(huán)境溫濕度的關(guān)系，為橋梁損傷識別和健康監(jiān)測提供有效的技術(shù)支持。協(xié)整分析的基本流程是：為避免出現(xiàn)偽回歸問題，首先利用(Augmented Dickey-Fuller,ADF)單位根檢驗法檢驗頻率、環(huán)境溫度和濕度等變量的平穩(wěn)性及其單整階數(shù)；其次，若各變量是同階單整的，則確立特征方程并進行協(xié)整檢驗，從而明確各變量之間的長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系，確立多因素之間的數(shù)學模型；最后，深入分析檢驗結(jié)果并剖析機理，并得出修正模型。具體流程，如圖1所示。

圖1 頻率修正模型建模步驟

2 混凝土橋梁模型監(jiān)測數(shù)據(jù)的采集和處理

2.1 混凝土橋梁模型

環(huán)境溫度濕度對橋梁頻率的影響十分復雜，必須在實測數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上建立準確的關(guān)系模型，形成有效的環(huán)境因素影響的剔除算法，進而在實際工程中應用。為了深入探索預應力混凝土連續(xù)梁的橋梁模態(tài)參數(shù)與環(huán)境因素之間的關(guān)系，本文以三跨連續(xù)梁橋為試驗研究對象，根據(jù)相似理論的三個相似定理、試驗精度要求以及試驗條件的可能性，參照實際橋梁建立了縮尺比例為1∶11的橋梁模型，如圖2所示。

橋梁模型的跨徑組合為3.1 m+3.6 m +3.1 m，截面尺寸及預應力鋼筋布置，見圖3。通長預應力鋼筋采用6Ф5鋼絲, 由Фs15.2鋼絞線(7根5的鋼絲)抽掉中間1根得到,墩頂短束采用3Ф5鋼絲, 同樣由Фs15.2鋼絞線抽出其中4根得到。普通鋼筋主要采用Ф6和Ф10的Ⅰ級和Ⅱ級鋼筋?；炷敛捎肅35細石混凝土，其彈性模量為3.15×104N/mm2。該混凝土橋梁模型位于室外，受日光和風雨的直接作用，除自重外，梁上沒有任何附加荷載，可以近似地模擬橋梁所處的自然環(huán)境。采用無線加速度傳感器和無線溫濕度傳感器進行測試，測點布置，如圖4和圖5所示。兩個測試點分別位于中跨和邊跨的跨中。在監(jiān)測過程中，位于橋梁表面?zhèn)鞲衅鞯目傎|(zhì)量只有90 g，因此橋梁模型不會因溫濕度或試驗儀器產(chǎn)生額外的應力，最終得到的模態(tài)參數(shù)的變化均由自身材料在溫濕度變化條件導致力學性能變化而產(chǎn)生的。

圖2 鋼筋混凝土橋梁模型

2.2 監(jiān)測數(shù)據(jù)的采集和處理

為了準確的監(jiān)測橋梁的模態(tài)信息和環(huán)境因素變化量，在監(jiān)測的過程中采用錘擊法在橋梁跨中連續(xù)施加激勵，錘擊頻率保持恒定，錘擊的高度相同，以確保影響效果不變。采用高精度無線加速度傳感器采集橋梁豎向振動信息，采用無線溫濕度傳感器對環(huán)境溫度濕度進行監(jiān)測。所有傳感器的采樣頻率均為100 Hz，每個工況采樣時間為3 min，并采集相對濕度和攝氏溫度作為計算參考量。加速度監(jiān)測數(shù)據(jù)采集過程，如圖6所示。典型的動力信號和溫、濕度監(jiān)測數(shù)據(jù)，如圖7所示。

(a) 通長預應力筋立面圖

(b) 墩頂預應力筋立面圖

(c) 跨中截面尺寸

(d) 墩頂截面尺寸

圖4 混凝土橋梁模型的測點布置

從2015-09到2016-07期間內(nèi)，根據(jù)溫度和濕度的分布，對不同時間段的橋梁的環(huán)境信息和模態(tài)信息進行采集，得到了大量監(jiān)測數(shù)據(jù)。同一環(huán)境溫度和濕度的影響下，采用多組加速度傳感器同時采集，從而保證數(shù)據(jù)的有效性。在此基礎(chǔ)上，對不同環(huán)境因素下的數(shù)據(jù)就進行篩選，刪除數(shù)據(jù)中奇異點，獲得有效的監(jiān)測信息。由于采集過程時間較短，環(huán)境溫度和濕度變化微弱，因此對采集所得的環(huán)境溫度和濕度數(shù)據(jù)求以均值，作為計算環(huán)境溫度和濕度影響的基本數(shù)據(jù)。同時對每次采集的橋梁加速度數(shù)據(jù)進行Fourier變換，得到當時環(huán)境下橋梁模型的一階振動頻率。不同環(huán)境影響下的頻譜分析結(jié)果，如圖8所示。從圖8可知，頻率在一定的范圍內(nèi)波動。

(a) 監(jiān)測數(shù)據(jù)采集過程

(b) 無線加速度傳感器

(c) 無線溫濕度傳感器

圖6 豎向加速度時程曲線

圖7 環(huán)境溫度、濕度時程曲線

3 環(huán)境溫度和濕度對橋梁頻率的影響

3.1 溫度或濕度對橋梁頻率的單獨影響

為了直觀地反映模型頻率隨溫度或濕度的變化規(guī)律，頻率隨環(huán)境溫度的分布，如圖9所示，頻率隨環(huán)境濕度的分布，如圖10所示。

圖8 橋梁加速度響應頻譜

圖9 頻率與溫度散點圖

圖10 頻率與濕度散點圖

由以上結(jié)果可以看出溫度以對頻率產(chǎn)生了較大影響，在溫度為[-10℃,30℃]區(qū)域上進行線性回歸時, 雖然部分數(shù)據(jù)的離散性較大, 但整體相關(guān)系數(shù)為-0.748，表明溫度與頻率的變化趨勢基本為近似線性。同理，對在濕度為[0,0.9]范圍內(nèi)進行線性回歸時，相關(guān)系數(shù)0.588，表明濕度與頻率的變化趨勢為近似線性，但線性度相對較低。此外，頻率與溫度的關(guān)系為近似負相關(guān)，與濕度的關(guān)系為近似正相關(guān)。一元線性擬合模型精度偏低，不能充分反映溫度或者濕度對頻率的影響，更無法表征二者的耦合作用。溫度和濕度的變化都會對頻率產(chǎn)生顯著性的影響，因此當依據(jù)實測數(shù)據(jù)建立環(huán)境溫濕度與橋梁結(jié)構(gòu)頻率的關(guān)系時，應當基于協(xié)整分析同時考慮溫度濕度對橋梁頻率的綜合影響。

3.2 環(huán)境溫度和濕度對橋梁頻率的綜合影響

協(xié)整檢驗的方法有2種：① 1987年Engle和Granger 提出的E-G兩步檢驗法，該方法適用于單方程的協(xié)整檢驗[23]；② 1988 年Johansen以及1990年Juselius提出的Johansen檢驗方法，其基本思想是基于VAR模型將一個求極大似然函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一個求特征根和對應的特征向量的問題[24]。該方法將協(xié)整檢驗推廣到存在多個協(xié)整向量的情況。通過Trace統(tǒng)計量不僅能檢驗出變量之間是否存在協(xié)整關(guān)系，而且可準確檢驗出變量間協(xié)整關(guān)系的個數(shù)[25-28]。本文是為了求溫度濕度頻率三個變量之間的均衡關(guān)系，所以采用Johansen檢驗方法。

由于溫度濕度以及頻率的采集具有非周期性，需要對其的平穩(wěn)性進行量化，判斷其單整階數(shù)，通過ADF檢驗來確定。為了對溫度濕度以及頻率的變化規(guī)律有直觀的認識并便于選擇ADF檢驗類型，給出各變量的水平項時間序列圖和一階差分項時間序列圖，如圖11和圖12所示。由圖中可以發(fā)現(xiàn)監(jiān)測得到的濕度和溫度與頻率有一定的相關(guān)性。

圖11 水平項時間序列圖

圖12 一階差分項時間序列圖

在進行ADF檢驗時，根據(jù)變量以及變量差分項在圖11和圖12中表現(xiàn)出來的時間趨勢選取不同的檢驗方式，滯后期根據(jù)AIC和SC取值最小的原則進行計算。溫度濕度和頻率的水平項和一階差分項的ADF檢驗結(jié)果，如表1所示。

表1 ADF 檢驗結(jié)果

由ADF檢驗結(jié)果可以看出，上述變量溫度濕度以及頻率均不能拒絕單位根原假設，其一階差分項均在5%的顯著水平下拒絕原假設。即溫度、濕度和頻率均為非平穩(wěn)序列而其差分項均為平穩(wěn)序列，所以原序列式為單整同階，符合協(xié)整檢驗的前提。由圖11可知，溫度、濕度、頻率序列均有一定的時間趨勢，即數(shù)據(jù)空間中有確定的線性趨勢。在確定Johansen 協(xié)整檢驗的方程特征時，協(xié)整方程中有截距項，沒有趨勢項[29-30]。滯后間隔根據(jù)AIC(Akaike Information Criterion)值最小準則確定[31]，其檢驗結(jié)果如表2所示。

表2 Johansen 檢驗結(jié)果

注：*表示5%顯著水平下拒絕原假設

根據(jù)表2的檢驗結(jié)果可知，溫度、濕度和頻率之間存在唯一的協(xié)整關(guān)系。通過計算得到標準化的協(xié)整向量為[1.000 0.045 -0.907 -32.701]。因此，協(xié)整方程可以表示為

fc=0.907H-0.045T+32.701

(3)

式中：fc為橋梁的頻率；T與H分別為橋梁環(huán)境因素中的溫度和濕度。T和H的符號分別為負和正，表示溫度與頻率負相關(guān)，濕度與頻率正相關(guān)，實際數(shù)據(jù)和理論分析兩者具有較好的一致性。系數(shù)值-0.045和0.907分別為頻率相對于溫度和濕度長期彈性，即溫度或者濕度每增長1%，頻率增加-0.045%和0.907%。

回代檢驗和均方誤差均可以用于驗證方程的擬合效果。將實測的環(huán)境溫度濕度數(shù)據(jù)代入“頻率—溫度—濕度”的長期均衡模型中，得到頻率的擬合值，通過對比實測數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)驗證方程擬合性能，判定擬合方程的準確性。均方誤差同樣是反應擬合精度的重要參數(shù)，定義均方誤差σ(x)為誤差評判指標

(4)

頻率的擬合樣本以及實測樣本的對比，如圖13所示。為了更加客觀判定擬合方程的能力，將實測數(shù)據(jù)和擬合方程表達在三維坐標體系中，其分布，如圖14所示。圖15為頻率的理論模型的擬合殘差及其分布。

由圖13可知，回代結(jié)果表明實測頻率都在其擬合頻率預測區(qū)間范圍內(nèi)，置信度為95%，說明擬合效果較為顯著。結(jié)合圖14可知，隨著溫度和濕度的變化，基于“頻率—溫度—濕度”的長期均衡模型得到的頻率理論值和實測值是吻合的，兩者有較好的一致性，說明了測試數(shù)據(jù)是客觀有效的。從圖15可知，殘差的概率分布接近于正態(tài)分布，即得到的理論模型是無偏估計預測模型，說明理論模型較好的擬合溫度和濕度對頻率的影響。因此可認為由協(xié)整檢驗得到的“頻率—溫度—濕度”長期均衡模型有較好的擬合能力，能夠準確描述在環(huán)境溫度和濕度對頻率的綜合影響。

圖13 頻率擬合曲線

圖14 溫度—濕度—頻率的三維散點圖

圖15 頻率擬合殘差分布

3.3 頻率修正模型的建立及驗證

通過協(xié)整分析建立了“頻率-溫度-濕度”的長期均衡模型，量化了溫度和濕度的影響，證明了環(huán)境溫度和濕度的對橋梁頻率有顯著的影響。在實際橋梁健康監(jiān)測和損傷診斷中，有必要剔除頻率中環(huán)境溫度和濕度的綜合影響，從而實現(xiàn)對橋梁動力特性的精準識別。在此基礎(chǔ)上，本文建立考慮環(huán)境溫濕度的頻率修正模型。首先，設定溫度和濕度的參考值分別為T0和H0，則實測狀態(tài)下環(huán)境溫度和濕度的數(shù)值和參考值的關(guān)系如下式

(5)

式中:T為測量溫度值，ΔT為測量溫度與參考溫度的差值；H為測量濕度值；ΔH為測量濕度與參考濕度的差值。

由于環(huán)境因素的實測值多數(shù)情況下不是其參考值，可根據(jù)理論模型計算得到溫度和濕度單獨改變對頻率的影響，公式如下

(6)

式中:fc為由長期均衡模型所得的頻率，即理論頻率。當濕度為定值時，溫度的變化對結(jié)構(gòu)頻率的影響為fcΔT，同理可得fcΔH。

在實測狀態(tài)下，要同時考慮溫度和濕度對頻率的綜合影響，由于在長期均衡模型中環(huán)境溫度和濕度分別對頻率的影響是相對獨立的，即環(huán)境溫度和濕度的綜合影響為兩者單獨影響效應之和

(7)

式中:參考環(huán)境狀態(tài)為(T0,H0)，實測環(huán)境狀態(tài)為(T,H)，fcΔT,ΔH為環(huán)境溫度和濕度對頻率的綜合影響。

當剔除實測頻率中環(huán)境溫度和濕度的綜合影響，修正到統(tǒng)一的參考狀態(tài)下，該序列才是有效的。修正后的頻率可由下式計算

(8)

將式(6)和式(7)代入式(8)，得到橋梁頻率修正模型

fm(T0,H0)=fr(T,H)-[fc(T,H)-fc(T0,H0)]

(9)

式中:fm(T0,H0)為修正后的頻率值;fr(T,H)為頻率的實測值。

在監(jiān)測期間，混凝土橋梁溫度和濕度分布范圍有較大波動，因此選取概率較高的溫度和濕度作為初始溫度T0和初始濕度H0，即定義為20℃和40%?；跇藴什牧系男阅埽⒘藰蛄旱挠邢拊Ｐ?見圖16)，通過模態(tài)分析得到一階頻率為32.71 Hz。將實測數(shù)據(jù)代入頻率修正模型中，得到修正頻率的變化規(guī)律。本文混凝土橋梁模型在檢測期間處于恒定無損狀態(tài)，可依據(jù)修正后頻率序列的分布狀態(tài)來判斷修正模型的準確性。

由以上結(jié)果可知，修正頻率與有限元分析所得理論頻率的差值中，最大正值為0.497 Hz，最大負值為-0.750 Hz；而采集頻率與理論頻率的差值中，最大正值為1.04 Hz，最大負值為-1.62 Hz。并且修正頻率不受溫度和濕度的影響，只在理論頻率上下隨機波動，其差值源于不確定性因素以及測量的隨機誤差。標準化殘差分析表明，誤差是隨機的，符合標準正態(tài)分布。因此，頻率修正模型具有良好的剔除環(huán)境溫度和濕度影響的能力，可用于實際橋梁結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測以及損傷識別。

圖16 消除溫度、濕度影響后的頻率修正模型

在實際橋梁的健康監(jiān)測過程中，為了獲取完好狀態(tài)下的頻率并進行損傷識別，可以在橋梁竣工后或橋梁運營初期對其動力響應和環(huán)境因素進行監(jiān)測，獲得大量的無損狀態(tài)下的數(shù)據(jù)。通過協(xié)整分析建立頻率修正模型，對梁的健康狀態(tài)健康狀態(tài)進行有效的識別。

4 結(jié) 論

開展關(guān)于環(huán)境因素對橋梁健康監(jiān)測和損傷診斷的研究，既可以深入了解結(jié)構(gòu)動力特性的變化規(guī)律，又可用利用統(tǒng)計模型來判斷導致模態(tài)參數(shù)變化的因素是屬于發(fā)生損傷還是環(huán)境因素的變化，具有重要的理論和工程意義。因此，為了充分利用頻率作為損傷特征參數(shù)的優(yōu)勢，且有效地去除環(huán)境因素的干擾，本文提出基于協(xié)整分析的原理構(gòu)建的環(huán)境因素與頻率之間的數(shù)學模型和橋梁頻率修正模型，為研究橋梁動力特性變化規(guī)律和損傷識別提供了一定的依據(jù)。

試驗分析表明基于協(xié)整分析原理建立的溫度-濕度-頻率的長期均衡模型具有良好的擬合效果，準確地反映了環(huán)境因素的耦合效應?；炷翗蛄侯l率的修正模型可以有效的消除環(huán)境因素對頻率的影響，使得頻率數(shù)據(jù)更為可靠，為橋梁健康監(jiān)測和安全評估提供了精準的信息。

[1] MI F, JOHN E T P. The practical limits of damage detection and location using vibration data[C]∥11th VPI & SU symposium on structural dynamics and control. Blacksburg,VA: VPI & SU, 1997: 31-40.

[2] PEETERS B, MAECK J, DEROECK G. Vibration-based damage detection in civil engineering: excitation sources and temperature effects[J]. Smart Materials & Structures, 2001, 10(3):518-527.

[3] ZHANG D, NAGURNEY A. On the stability of projected dynamical systems[J]. Journal of Optimization Theory & Applications, 1995, 85(85):97-124.

[4] NAGURNEY A, ZHANG D. Projected dynamical systems and variational inequalities with applications[M]. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 1996.

[5] 曾慶響，韓大建，馬海濤. 預應力混凝土箱梁橋的溫度效應分析[J]. 中南大學學報, 2010, 41(6): 2360-2366.

ZENG Qingxiang, HAN Dajian, MA Haitao, et al. Analysis of temperature effects on prestressed concrete box girder bridges[J]. Zhongnan Daxue Xuebao, 2010, 41(6):2360-2366.

[6] ARIYAWARDENA N, GHALI A, ELBADRY M. Experimental study on thermal cracking in reinforced concrete member[J]. Structural Journal, 1997, 94(4): 432-441.

[7] 張元海, 李喬. 橋梁結(jié)構(gòu)日照溫差二次力及溫度應力計算方法研究[J]. 中國公路學報, 2004, 11(1): 49-52.

ZHANG Yuanhai, LI Qiao. Study of the method for calculation of the thermal stress and secondary force of bridge structure by solar radiation[J]. China Journal of Highway & Transport, 2004, 17(1):49-52.

[8] XIA Y, HAO H, ZANARDO G, et al. Long term vibration monitoring of an RC slab: Temperature and humidity effect[J]. Engineering Structures, 2006, 28(3):441-452.

[9] 劉綱，邵毅敏，黃宗明. 長期監(jiān)測中結(jié)構(gòu)溫度效應分離的一種新方法[J]. 工程力學,2010, 27(3): 55-61.

LIU Gang, SHAO Yimin, HUANG Zongming. A new method for the separation of structure and temperature effect in long term monitoring[J]. Engineering Mechanics, 2010, 27(3):55-61.

[10] 皮少博. 變環(huán)境下的橋梁模態(tài)參數(shù)分析[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學,2015.

[11] 呂文娟. 考慮環(huán)境濕度影響的混凝土材料及結(jié)構(gòu)動力性能研究[D]. 北京：北京交通大學, 2015.

[12] 許永吉, 朱三凡, 宗周紅. 環(huán)境溫度對橋梁結(jié)構(gòu)動力特性影響的試驗研究[J]. 地震工程與工程振動， 2007, 27(6):119-123.

XU Yongji, ZHU Sanfan, ZONG Zhouhong. Experimental study on effects of environmental temperature on dynamic characteristics of bridge structures[J]. Journal of Earthquake Engineering & Engineering Vibration, 2007, 27(6):119-123.

[13] PEETERS B, ROECK G D. One-year monitoring of the Z24-Bridge: environmental effects versus damage events[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2001, 30(2):149-171.

[14] NI Y Q, HUA X G, FAN K Q, et al. Correlating modal properties with temperature using long-term monitoring data and support vector machine technique[J]. Engineering Structures, 2005, 27(12):1762-1773.

[15] 楊鷗, 劉洋, 李惠, 等. 時變環(huán)境與損傷耦合下橋梁結(jié)構(gòu)頻率及阻尼比的統(tǒng)計分析[J]. 計算力學學報, 2010, 27(3):457-462.

YANG Ou, LIU Yang, LI Hui, et al. Cable bridge modal parameter statistical analysis under the time varying environment coupled with damage[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2010, 27(3):457-462.

[16] 閔志華, 孫利民, 淡丹輝. 影響斜拉橋模態(tài)參數(shù)變化的環(huán)境因素分析[J].振動與沖擊, 2009, 28(10):100-105.

MIN Zhihua, SUN Linmin, DAN Danhui. Effect analysis of environmental factors on structural modal parameters of a cable-stayed bridge[J]. Journal of Vibration & Shock, 2009, 28(10):100-105.

[17] ENGLE R F, GRANGER C W J. Co-integration and error correction: representation, estimation, and testing[J]. Econometrica, 1987, 55(2): 251-276.

[18] BANERJEE A, DOLADO J J, GALBRAITH J W, et al. Co-integration, error correction, and the econometric analysis of non-stationary data[J]. Economic Journal, 1993, 106(439):518-521.

[19] JANACEK G. Time series analysis forecasting and control[M]. Holden-Day: Incorporated, 1990.

[20] CROSS E J, CHEN Q. Cointegration: a novel approach for the removal of environmental trends in structural health monitoring data[J]. Proceedings of the Royal Society A, 2011, 467(2133):2712-2732.

[21] CROSS E J, WORDEN K. Approaches to nonlinear cointegration with a view towards applications in SHM[J]. Journal of Physics: Conference Series, 2011，305(1):012069(1-10).

[22] ZOLNA K, DAN P B, STASZEWSKI W J, et al. Towards homoscedastic nonlinear cointegration for structural health monitoring[J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 2016, 75(3):94-108.

[23] ENGLE R F, GRANGER C W J. Co-integration and error correction: representation, estimation, and testing[J]. Econometrica, 1987, 55(2): 251-76.

[24] JOHANSEN S．Statistical analysis of cointegration vectors[J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 1988(12): 231-254.

[25] 高鐵梅．計量經(jīng)濟分析方法與建模[M]．北京：清華大學出版社，2006.

[26] 鐘志威，雷欽禮．Johansen 和Juselius 協(xié)整檢驗應注意的幾個問題[J]. 統(tǒng)計與信息論壇, 2008, 23(10): 80-85.

ZHONG Zhiwei，LEI Qinli. Some notes on Johansen and Juselius cointegration test[J]. Statistics & Information Forum, 2008, 23(10): 80-85.

[27] JOHANSEN S，JUSELIUS K M．Likelihood estimation and inferences oncointegration with applications to the demand for money[J]. Oxford Bulletin of Economic and Statistics, 1990(52):169-210.

[28] KITAMURA Y. Likelihood-based inference in cointegrated vector, autoregressive models[J]. Econometric Theory, 1995, 14(4):517-524.

[29] FRANSES P H. How to deal with intercept and trend in practical cointegration analysis?[J]. Applied Economics, 1999, 33(EI 9904-/A): 577-579.

[30] 鄧露，張曉峒．ADF 檢驗中滯后長度的選擇：基于ARIMA(0,1,q)過程的模擬證據(jù)[J]．數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究, 2008(9): 126-137.

DENG Lu，ZHANG Xiaotong．The lag length selection in ADF test：simulation evidence from an ARIMA(0,1,q) process[J]. The Journal of Quantitative & Technical Economics, 2008(9): 126-137.

[31] PESARAN M H, SHIN Y, SMITH R J. Structural analysis of vector error correction models with exogenous I (1) variables[J]. Journal of Econometrics, 2000, 97(2):293-343.