基于Kalman濾波的灰色神經(jīng)網(wǎng)絡邊坡預測

王萬祥

(中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西西安 710043)

0 引言

在高速公路路塹高邊坡開挖和路基施工期間，邊坡工程的穩(wěn)定性極易受土質(zhì)、降雨等影響。為防止高邊坡滑坡事故的發(fā)生，保證前期施工和后期運營階段的安全和穩(wěn)定，對高邊坡變形進行監(jiān)測十分重要。由于邊坡的建立過程是一個逐漸明朗的動態(tài)工程，在對邊坡監(jiān)測的過程中，監(jiān)測數(shù)據(jù)中不可避免地混雜著噪聲的干擾，因此剔除噪聲、獲取較為接近真實值的數(shù)據(jù)一直是邊坡監(jiān)測研究的重點［1-2］。

邊坡工程不確定理論中“灰色系統(tǒng)”的特點表現(xiàn)尤為突出，如路型本身的不完善、監(jiān)測數(shù)據(jù)有限且較難全面反映邊坡自身的位移狀況等，故而判定邊坡工程為“內(nèi)部信息部分已知、部分未知”的對象，用灰色理論模型進行邊坡監(jiān)測與位移預測研究是合理的［3］。對這種隨時間、外部條件變化而發(fā)生狀態(tài)改變的信號，邊坡的位移時序曲線會表現(xiàn)出一定的波動性，因此引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡對非線性特征曲線進行動態(tài)處理恰到好處。單一的模型預測很難集合所需功能對數(shù)據(jù)進行有層次的處理，為了不對精確分析邊坡形變產(chǎn)生影響，本文將以上幾種模型進行組合，發(fā)揮各自優(yōu)勢，在已有邊坡工程實例的基礎上，客觀地描繪出邊坡的形變趨勢和狀態(tài)。

1 卡爾曼濾波理論

1960年，卡爾曼(R.E.Kalman)和布西(R.S.Bucy)提出了一種在計算機中很容易實現(xiàn)的“狀態(tài)空間”濾波方法，這種方法就是 Kalman濾波。它通過系統(tǒng)狀態(tài)和觀測值組合成的線性系統(tǒng)對觀測信號進行濾波描述，根據(jù)線性無偏最小均方差估計準則，依據(jù)過去估計值和當前觀測數(shù)據(jù)來對系統(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估計，通過獲得各個監(jiān)測點的狀態(tài)估計參數(shù)，從而最大限度地濾掉干擾噪聲［4-6］。

在動態(tài)系統(tǒng)中，離散線性系統(tǒng)的Kalman濾波的數(shù)學模型包括狀態(tài)方程和觀測方程，它們的離散形式分別為

式中:Xk為系統(tǒng) k 時刻的 n×1 階狀態(tài)矩陣;Fk，k－1為作用在前一狀態(tài)的n×n階狀態(tài)轉移矩陣;Gk－1為系統(tǒng) k－1 時刻的 n×r階動態(tài)噪聲矩陣;Wk－1為系統(tǒng) k－1時刻的r×1階動態(tài)噪聲，其協(xié)方差矩陣為Qk(非負定方差矩陣);Lk為系統(tǒng)k時刻的m×1階觀測矩陣;Hk為系統(tǒng)k時刻的m×n階觀測矩陣;Vk為系統(tǒng)k時刻的m×1階觀測噪聲矩陣，其協(xié)方差為Rk(正定方差矩陣)。

根據(jù)最小二乘原理，可得到隨機離散線性系統(tǒng)的Kalman濾波遞推公式，并根據(jù)狀態(tài)方程計算動態(tài)系統(tǒng)的一步預估值 Xk，k－1

Pk，k－1為一步預測方差矩陣

Xk為狀態(tài)向量估計值

Pk為狀態(tài)向量估值的方差矩陣

其濾波增益矩陣Jk表示為

在確定Kalman濾波這4個初始值(初始狀態(tài)向量X0、協(xié)方差陣P0、動態(tài)噪聲方差陣Qk、系統(tǒng)的觀測噪聲方差陣Rk)后，可啟動卡爾曼濾波遞推算法，依據(jù)k時刻的觀測值Lk遞推計算出對應時刻的狀態(tài)估計值 Xk，(k=1，2，3，…)，實現(xiàn)濾波與預測，剔除隨機噪聲的干擾［7］。

2 灰色GM(1，1)模型

高邊坡的變形監(jiān)測是一個動態(tài)變化的過程，其影響因素是不確定的、模糊的，而灰色模型的強大就在于能用少數(shù)不確定性的“灰色數(shù)據(jù)”對規(guī)律不明顯的變形數(shù)據(jù)進行加強處理，重新建立有規(guī)律的新序列，即灰色模型(Grey Model)。GM(1，1)模型的建模過程如下［8-9］。

設x(0)為某點的觀測時間序列，則有

記x(1)=AGO x(0)為一次累加新序列，即

建立一階微分方程

利用最小二乘法求解上式，得到時間響應函數(shù)

在式(11)中可求出待定常數(shù)a、b的值。a是發(fā)展系數(shù)，系統(tǒng)整體發(fā)展局勢的大小靠來控制;b是灰色作用量，它的大小是數(shù)據(jù)變化關系的直接反映［10］。根據(jù)白化方程可得出GM(1，1)模型的時間響應序列

最后通過累減生成可還原數(shù)據(jù)，得到GM(1，1)預測模型表達式

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡

BP神經(jīng)網(wǎng)絡是由輸入層、隱含層和輸出層3層組成的一種多層前饋網(wǎng)絡結構算法，使用非常廣泛。其學習過程分為2個部分:正向傳播和反向修正。在正向傳播過程中，將每次輸入的樣本數(shù)據(jù)得出來的輸出結果與目標結果相比較，如不滿足條件，它們就進行反向傳播;反向傳播的過程是將計算出的誤差不斷修正，調(diào)整網(wǎng)絡參數(shù)(權值和閾值)，從而實現(xiàn)或逼近所希望的輸入、輸出映射關系，取得網(wǎng)絡逼近值。BP神經(jīng)網(wǎng)絡算法訓練過程有以下7個步驟。

(1)初始化網(wǎng)絡權值參數(shù)wsq=Random(·)，sq取ij或jk，wij和wjk為BP神經(jīng)網(wǎng)絡權值。其中:輸入層到隱含層的權值為wij，初始化隱含層閾值為a;隱含層到輸出層的的權值wjk，輸出層閾值為b。

(2)依次輸入n個學習樣本，進行隱含層輸出計算。根據(jù)輸入量X、輸入層與隱含層的連接權值wij以及隱含層閾值b，計算隱含層輸出H。

式中:l為隱含層節(jié)點數(shù);f為隱含層激勵函數(shù)。

該函數(shù)有多種表達形式，本章所選函數(shù)為

(3)根據(jù)隱含層輸出H、連接權值wjk和閾值b計算BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出O

(4)誤差計算。根據(jù)網(wǎng)絡預測輸出Ok和期望輸出Y，計算網(wǎng)絡預測誤差

(5)權值更新。根據(jù)網(wǎng)絡預測誤差e更新網(wǎng)絡連接權值wij和wjk

式中:η為學習速率。

(6)依照權值修正公式來修正各層的權值和閾值。根據(jù)網(wǎng)絡預測誤差來更新網(wǎng)絡節(jié)點閾值a和b。

(7)判斷算法迭代是否結束，若沒有結束返回步驟(2)。

4 算例應用與分析

4.1 預測算法步驟

(1)步驟1。根據(jù)數(shù)據(jù)特征設置濾波初始值，對原始數(shù)據(jù)X(0)(i)進行標準Kalman濾波預處理。

(2)步驟2。使用“一次累加”功能增強序列規(guī)律性，對濾波后的數(shù)據(jù)建立GM(1，1)模型預測，得到X(0)(i)。

(3)步驟3。建立殘差序列{e(0)(i )|e(0)(i)=X(0)(i)－X(0)(i)，i=1，2，…，n}，若預測階數(shù)取 j(本文取j=2)，那么 e(0)( i －1)，e(0)(i －2)，…，e(0)(i －j)作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡輸入訓練的樣本值，e(0)(i)則作為輸出訓練的期望值。測試樣本的調(diào)入同上。

(4)步驟4。使用自適應全局優(yōu)化概率搜索的遺傳優(yōu)化算法實現(xiàn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡的尋優(yōu)過程，設置遺傳初始化條件，并經(jīng)多次運算取得最優(yōu)合理參數(shù)。

(5)步驟5。確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入層、隱含層和輸出層，計算得出殘差序列 { e(0)(i)}的修正補償值 { e(0)(i)}，在此基礎上整合出新的預測值X(0)(i，1)=X(0)(i )+e(0) (i)，則 X(0)(i，1)是 Kalman濾波與灰色GM(1，1)-GA-BP組合模型的最后預測值。

4.2 實例分析

本文以某高速公路高邊坡變形監(jiān)測點KXL3-5的49期觀測數(shù)據(jù)為例(觀測周期為5 d)，利用基于Kalman濾波與灰色BP神經(jīng)網(wǎng)絡的模型對觀測過程中的40期數(shù)據(jù)建模，對后9期數(shù)據(jù)進行預測分析。由于Kalman濾波是利用新觀測值對系統(tǒng)新的狀態(tài)值進行不斷的預測和修正，故適用于處理邊坡多期重復觀測的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)。按照建筑變形測量的等級及精度要求，本文根據(jù)經(jīng)驗值取二等水準沉降變形觀測的動態(tài)噪聲方差陣Qk=2，動態(tài)噪聲方差陣Rk=0.5，將測點位置與變化速率作為狀態(tài)參數(shù)，則濾波初始值 X0=［－13.267，－0.883］T。

根據(jù)上述輸入確定標準離散卡爾曼濾波結果，如圖1所示，濾波前后的信噪比分別為16.185 6和42.400 8，去噪的均方根誤差(RMSE)為 0.0876，說明經(jīng)過濾波后的信噪比得到有效提高，信號帶得到明顯的提取，噪聲剔除充分又不過濾。從圖2來看，濾波后的殘差從第3期開始達到最大，為－0.377 9 mm，此后曲線逐漸趨于平穩(wěn)化，殘差最小為－0.001 1 mm，整體在0.01 mm上下浮動。這說明Kalman濾波在有效減弱甚至剔除部分干擾噪聲外，還能對趨于發(fā)散的形變序列起到一定的收斂作用。經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)，濾波后的曲線更趨于實際變形量。

圖1 濾波前后沉降量對比

圖2 殘差曲線

對濾波序列建立灰色GM(1，1)后的10期進行預測，所得相對誤差為0.057 1 mm，后驗差比值C=0.455 8，未能達到一級模型精度。為修正灰色模型因自身缺陷帶來的預測結果易隨時間推移偏離的問題，對灰色殘差序列進行GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡修正，設置遺傳進化代數(shù)為200，種群規(guī)模為10，交叉概率選擇0.3，變異概率設定為0.2(經(jīng)反復試驗后的最佳值);網(wǎng)絡輸入層為2維，隱含層定為5，輸出層為1，并以最小均方差為目標函數(shù)對樣本群進行訓練，根據(jù)目標函數(shù)變化的適應度函數(shù)值進行尋優(yōu)，最終得到殘差修正結果作為GM(1，1)的后期補償值。計算得本文組合模型的預測值與其他3種方案的同級比較結果見圖3和表1、2。

圖3 各模型預測結果對比

表1 四種模型結果對比

以表2給出的模型精度等級、均方根誤差(RMSE)、平均絕對相對誤差(MAPE)和平方和誤差(SSE)這4個指標作為評判標準，對各個模型預測的結果進行有效性對比分析。從圖3的預測曲線看來，基于Kalman濾波的灰色GA-BP模型與灰色GA-BP模型看起來功能不分伯仲，但仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)，Kalman灰色GA-BP模型從第46期開始就逐漸收斂于原始沉降曲線，而灰色GA-BP模型雖然沒有表現(xiàn)出太大的發(fā)散趨勢，但預測效果還是稍弱于加入了Kalman濾波預處理的模型，說明Kalman濾波能間接避免因狀態(tài)噪聲矩陣和監(jiān)測噪聲矩陣的不完全統(tǒng)計而帶來最優(yōu)估計發(fā)散。由表2可知，除了灰色模型的等級精度是二級標準，其他模型都屬于一級標準;由圖3的曲線可知，灰色GM(1，1)模型的預測誤差在0.469～0.874 mm浮動，相比其他模型偏差較為明顯，預測效果欠佳?；贙alman濾波的灰色GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型無論是RMSE(0.133 mm)、MAPE(0.008 mm)還是 SSE(0.158 mm)都勝于其他3種模型，驗證了本文核心模型的有效性和上述對于圖3曲線的分析推測?；疑獹ABP神經(jīng)網(wǎng)絡與BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型的RMSE分別為0.156 mm和0.140 mm，MAPE分別為0.010 mm和0.009 mm，SSE分別為0.218 mm和0.179 mm，預測效果不相上下。原因在于:灰色模型擬合和預測精度都過分依賴于背景值和初始條件，然而第一點預測誤差最小并不能保證整個預測序列的誤差和最小，因此對于中長期預測的效果相對不理想。為保證工程預警需求，加入了能夠通過學習帶正確答案的實例集自動提取“合理值”的求解規(guī)則，即自學習能力和推廣能力強的BP神經(jīng)網(wǎng)絡，對灰色模型進行修正，起到一個互補銜接作用;當直接用BP神經(jīng)網(wǎng)絡對預測序列進行測試時，因直接通過網(wǎng)絡結構訓練和自身逼近能力就能獲取近似擬合的值，因此效果很好。

表2 四種模型的精度對比 mm

5 結語

基于Kalman濾波的灰色GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡算法改進了灰色GM(1，1)模型的缺點，在融合了Kalman濾波動態(tài)實時產(chǎn)生新的最優(yōu)估計值來去除隨機干擾的基礎上，以遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡出色的學習能力作為依托，對灰色預測殘差做了針對性修正，在一定程度上解決了濾波發(fā)散和灰色預測精度下降的問題。結合某高速公路邊坡變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的規(guī)律性和特性，在實例應用的基礎上拓寬了各單一模型的應用范疇，可見Kalman濾波不但適用于平穩(wěn)序列，對邊坡形變這種非平穩(wěn)序列也同樣適用，BP神經(jīng)網(wǎng)絡對非線性序列的泛化能力得到有力考證，灰色模型在選擇其他適合模型重構成組合模型后，也能對中長期預測的精度進行相對改進。在邊坡和滑坡預測中，該算法有一定的參考價值。

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