一道浙江省文科高考題探析

蘇藝偉 陳藝平

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363100)

陳藝平，中學(xué)一級教師.

證明:(1)f(x)≥1-x+x2；

一、對第一小題的分析

第一步要證明f(x)≥1-x+x2.聯(lián)想到高中階段學(xué)習(xí)過的證明不等式的方法,有作差法,作商法,分析法,構(gòu)造函數(shù)法等.

解法1作差法

解法2作商法

故f(x)≥1-x+x2.

解法3構(gòu)造函數(shù)法

解法4運(yùn)用運(yùn)動與變化的觀點(diǎn)

令h(x)=1-x+x2,x∈[0,1], 觀察到在x=0處,f(x)與h(x)的函數(shù)值相等,這意味著這兩個函數(shù)具有相同的“起點(diǎn)”.如果能夠證明f′(x)≥h′(x),則意味著f(x)“奔跑”的速度比h(x)快,自然就有f(x)≥h(x).

故f′(x)≥h′(x),則f(x)≥h(x).

解法5分析法

最后一個不等式顯然成立,故原不等式得證.

簡析第一步的本質(zhì)是比較大小,方法多樣,能夠讓不同的考生都有所解答,較之第二步來講顯然較為簡單,可以分步得分,同時體現(xiàn)了試題難度具有梯度性.從上述解答過程可以看出,該小步的設(shè)計(jì)其實(shí)來源于不等式1-x4≤1.命題思路如下:

由1-x4≤1,得(1-x2)(1+x2)≤1,即(1+x)(1-x)(1+x2)≤1,

圖1 圖2

二、對第二小題的分析

顯然x1<0,x2∈[0,1].

易知f(x)在(0,x2)單調(diào)遞減,在(x2,1)單調(diào)遞增.

故f(x)在x∈[0,1]上的最大值為max{f(0),

令h(x)=3x2+6x3+3x4-1,得h′(x)=6x+18x2+12x3>0,

故h(x)在x∈[0,1]上單調(diào)遞增.

又h(0)=-1<0,h(1)=11>0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知,存在x0∈(0,1)使得h(x0)=0.

顯然當(dāng)x∈(0,x0)時,h(x)<0;當(dāng)x∈(x0,1)時,h(x)>0.

則當(dāng)x∈(0,x0)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,1)時,f′(x)>0,

f(x)單調(diào)遞增.

因此f(x)在x∈[0,1]上的最大值為max{f(0),

證明:(1)f(x)≥1-x+x3；

證明(1)由1-x6≤1,得(1-x3)(1+x3)≤1,即(1-x)(1+x+x2)(1+x3)≤1.

(2)對于h(x)=1-x+x3,x∈[0,1]，

g′(x)=-1+3x2,令h′(x)=-1+3x2=0,得x1=

易知h(x)在(0,x2)單調(diào)遞減,在(x2,1)單調(diào)遞增.

由第一步知f(x)≥1-x+x3,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號.

參考文獻(xiàn)：

[1]張金良，沈金興.2016年高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”專題命題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2016(08).