例析“顯零點”“隱零點”解答函數(shù)導數(shù)問題

蔡旭平

(重慶市秀山高級中學校 409900 )

在解答函數(shù)導數(shù)問題時，很多時候都需要借助某一函數(shù)在區(qū)間上的零點x0進行解題.若零點x0容易求出，就叫做“顯零點”，若零點x0不易求出或無法求出(當然有時候是可以求出，但無需求出)，就叫做“隱零點”.

部分學生對于“顯零點”的應用比較順手，但對于“隱零點”的應用卻束手無策.實際上，“顯零點”問題我們可以直接求值進行解答，而“隱零點”問題我們可以類似于解析幾何中“設而不求”的方法進行處理. 本文舉例說明如何運用“顯零點”與“隱零點”解答函數(shù)導數(shù)問題.

一、“顯零點”在函數(shù)導數(shù)中的應用——直接求值

例1 (2016年全國高考丙卷，理科21題改編)已知函數(shù)k(x)=lnx-x+1,

(1)求函數(shù)k(x)的最大值，并求相應的x的取值；

(3)設c>1，證明當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

解析(1)易求當x=1時，k(x)max=0.

(3)由題設c>1，構造函數(shù)g(x)=1+(c-1)x-cx(0

所以當x∈(0,x0)時，g′(x)>0;當x∈(x0,1)時，g′(x)<0.

所以函數(shù)g(x)在(0,x0)單調遞增，在 (x0,1)單調遞減.

又g(0)=g(1)=0,故當00.

所以x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

二、“隱零點”在函數(shù)導數(shù)中的應用——設而不求

(1)

參考文獻：

[1]謝芬芳,任北上，劉立明.中學數(shù)學解題教學與培養(yǎng)學生思維品質的研究[J].課程教育研究，2015(4).

[2]江志杰.用零點領域探析不等式恒成立問題[J]. 高中數(shù)學教與學，2015(10).