對(duì)一道向量應(yīng)用題的研究

李國(guó)斌

(山西省長(zhǎng)治市第一中學(xué) 046000)

圖1

因?yàn)椤螦CD=θ,|AC|=1,所以DA=sinθ,DC=cosθ.

解析2 由條件AB=BC,想到利用模來(lái)轉(zhuǎn)化之.

解法2AD⊥DC,|AC|=1，在Rt△ADC中，DA=sinθ,DC=cosθ.

解析3 注意到AD⊥DC,|AC|=1，∠ACD=θ，可以想到容易解決點(diǎn)的坐標(biāo)，所以想到坐標(biāo)法.

圖2

解法3 以D為原點(diǎn)，DA所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖2所示平面直角坐標(biāo)系.易得

D(0，0)A(sinθ，0)，C(0，cosθ),設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

又因?yàn)锳B=BC,AB2=BC2,

即(x-sinθ)2+y2=x2+(y-cosθ)2.

解法4 易得DA=sinθ,DC=cosθ,∠BAC=∠BCA.

由圖知：

①

②

分析5 同上.

①

②

解析6 由平面幾何知識(shí)知，取AC中點(diǎn)O，連接BO，則

BO⊥AC,連DO，則∠DOA=2θ.直接利用∠DOA來(lái)求cos2θ，產(chǎn)生下列解法.

解法6 如圖3，取AC中點(diǎn)O，連BO,DO,作DH垂直AC于H.因?yàn)锳B=BC,所以BO⊥AC.又因?yàn)镈O是直角三角形ADC斜邊上的中線(xiàn)，所以DO=OC=0.5.所以∠DOA=2θ.

圖3

參考文獻(xiàn)：

[1]吳選錄. 平面向量一道例題的拓展[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2017(7):16-18.

[2]王洪軍. 一道向量習(xí)題的推廣及應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2017(2):23-24.