采用空間解析幾何求解多支接閃桿保護(hù)范圍的原理

朱 奎 榮

(浙江省湖州市氣象局, 浙江 湖州 313000)

0 引 言

GB 50057—2010《建筑物防雷設(shè)計(jì)規(guī)范》[1]在附錄D中列舉單支接閃桿、雙支接閃桿等幾種常規(guī)的接閃器保護(hù)范圍計(jì)算方法。但在實(shí)際工作中,由于場(chǎng)地限制、地表起伏以及新舊防雷裝置不統(tǒng)一的原因,導(dǎo)致多支接閃桿不能按規(guī)則、等高的方式布置,其內(nèi)側(cè)保護(hù)范圍的計(jì)算成為復(fù)雜、繁瑣的過(guò)程,因此防雷技術(shù)人員利用軟件計(jì)算多支接閃桿保護(hù)范圍[2-8]。結(jié)合實(shí)際情況,認(rèn)為此種軟件需要滿足以下條件:軟件對(duì)硬件無(wú)要求,能在各種智能手機(jī)上使用;軟件計(jì)算速度快,占用計(jì)算資源少,在計(jì)算過(guò)程中不會(huì)產(chǎn)生卡頓現(xiàn)象,能實(shí)現(xiàn)即時(shí)輸入數(shù)據(jù)和即時(shí)輸出數(shù)據(jù)。

根據(jù)以上條件,本文介紹一套可以計(jì)算多支接閃桿保護(hù)范圍的軟件,闡述該軟件算法的基本思路,給出算法推導(dǎo)過(guò)程,并提供實(shí)例計(jì)算過(guò)程。

1 算法的基本思路

根據(jù)滾球法的性質(zhì),3支呈三角形布置的接閃桿在3個(gè)針尖形成的三角形外接圓半徑小于滾球半徑的條件下,可以計(jì)算出滾球的球心坐標(biāo),從而確定其內(nèi)側(cè)的保護(hù)范圍。對(duì)于多支接閃桿,則可以將其分解為若干組呈三角形布置的接閃桿組合,在確定每一組合的保護(hù)范圍后,對(duì)所有組合的保護(hù)范圍取并集,則可以求出多支接閃桿總的保護(hù)范圍?？梢?jiàn),求解三角形布置的接閃桿的保護(hù)范圍是求解多支接閃桿保護(hù)范圍的核心,而求解滾球球心坐標(biāo)是求解三角形布置的接閃桿保護(hù)范圍的核心[9-10]。

根據(jù)接閃桿的頂點(diǎn)坐標(biāo)和滾球半徑,可以列出一個(gè)球面方程組,求得滾球的球心坐標(biāo),但該方程組的求解非常繁瑣。若已知3支接閃桿的針尖形成的三角形外接圓圓心坐標(biāo),則可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較容易求解的直線方程和平面方程。

2 建立XYZ坐標(biāo)系,確定各平面、直線和點(diǎn)之間的關(guān)系

建立XYZ坐標(biāo)系,設(shè)3支接閃桿的桿尖的編號(hào)分別為A點(diǎn)、B點(diǎn)、C點(diǎn),可組成空間三角形ΔABC,其各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(XA,YA,ZA)、(XB,YB,ZB)、(XC,YC,ZC)。為降低推導(dǎo)的復(fù)雜程度,在建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)注意:① 以高度最低的桿尖為A點(diǎn)(若有兩支高度最低的接閃桿,則為該兩桿中的任意一根);②A、C點(diǎn)連線在XOY坐標(biāo)平面上的投影平行于X軸(即YA=YC);③A、C點(diǎn)在X軸上的坐標(biāo)應(yīng)保證XC>XA;④B點(diǎn)的Y軸方向坐標(biāo)應(yīng)保證YB>YA。平面、直線與點(diǎn)之間的空間位置關(guān)系如圖1所示。

圖1 平面、直線與點(diǎn)之間的空間位置關(guān)系

若建立的坐標(biāo)系使各頂點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足條件①～④,則應(yīng)增加判斷最低桿高以及旋轉(zhuǎn)、平移坐標(biāo)系的步驟,確保旋轉(zhuǎn)、平移坐標(biāo)系后各頂點(diǎn)的坐標(biāo)符合上述要求。

為確定各平面、直線和點(diǎn)的關(guān)系,首先要確定以下各平面、直線方程式的系數(shù)。

(1)A、B、C三點(diǎn)形成的平面的平面方程1:

αx+βy+γz+D=0

(2) 平面方程1與XOY坐標(biāo)平面相交形成的直線方程1(當(dāng)3個(gè)針尖的桿高相同時(shí),不存在直線方程1):

αx+βy+D=0

(3) 通過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線方程2:

為正確旋轉(zhuǎn)、平移坐標(biāo)系,需要確定以下各平面、直線和點(diǎn)之間的關(guān)系:

(1) 直線方程1與直線方程2的夾角θ(存在直線方程1的條件下)。

(2) 平面方程1與XOY坐標(biāo)平面的夾角Φ。

(3)A點(diǎn)到直線方程1的垂點(diǎn)L的坐標(biāo)(XL、YL)以及距離j(存在直線方程1的條件下)。

(4) 直線方程1與X軸的夾角Ω(存在直線方程1的條件下)。

(5) 空間三角形ΔABC的邊長(zhǎng)a、b、c、外接圓的半徑r以及∠A的余弦值。

(6) 球心到外接圓圓心的距離d1,若外接圓半徑r大于滾球半徑R,3支接閃桿的保護(hù)范圍應(yīng)根據(jù)單支接閃桿或雙支接閃桿進(jìn)行計(jì)算。

3 建立新坐標(biāo)系,確定外接圓圓心坐標(biāo)后平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系

以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),使C點(diǎn)位于X01軸上,在平面方程1所在平面上建立X01Y01Z01坐標(biāo)系,如圖2所示。

圖2 X01Y01Z01坐標(biāo)系

已知空間三角形ΔABC三邊的邊長(zhǎng)和∠A的余弦值,可以求得A、B、C三點(diǎn)在X01Y01Z01坐標(biāo)系中的坐標(biāo),并根據(jù)中垂線的性質(zhì),求得三角形ΔABC在該坐標(biāo)系內(nèi)的外接圓圓心坐標(biāo)(X010,Y010,Z010),然后根據(jù)各平面、直線和點(diǎn)的關(guān)系,以A點(diǎn)為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、平移坐標(biāo)系,具體流程如下:

(1) 旋轉(zhuǎn)Z01軸,旋轉(zhuǎn)角度為Φ,使X01軸與直線方程1平行,建立X02Y02Z02坐標(biāo)系,則可以求得三角形ΔABC的外接圓圓心在X02Y02Z02坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(X020,Y020,Z020),如圖3所示。

圖3 X02Y02Z02坐標(biāo)系

(2) 將X02Y02Z02坐標(biāo)系沿Y02軸平移至L點(diǎn),建立X03Y03Z03坐標(biāo)系,則可以求得三角形ΔABC的外接圓圓心在X03Y03Z03坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(X030,Y030,Z030),如圖4所示。

圖4 X03Y03Z03坐標(biāo)系

(3) 旋轉(zhuǎn)X03軸,旋轉(zhuǎn)角度為Φ,使Z03軸與XOY坐標(biāo)平面垂直,建立X04Y04Z04坐標(biāo)系,則可以求得三角形ΔABC的外接圓圓心在X04Y04Z04坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(X040,Y040,Z040),如圖5所示。

圖5 X04Y04Z04坐標(biāo)系

(4) 旋轉(zhuǎn)Z04軸,旋轉(zhuǎn)角度為Ω,使X04軸與X軸平行,建立X05Y05Z05坐標(biāo)系,則可以求得三角形ΔABC的外接圓圓心在X05Y05Z05坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(X050,Y050,Z050),如圖6所示。

(5) 平移X05Y05Z05坐標(biāo)系,由L點(diǎn)平移至O點(diǎn),使X05Y05Z05坐標(biāo)系與XYZ坐標(biāo)系重合,則可以求得三角形ΔABC的外接圓圓心在XYZ坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(X0,Y0,Z0)。

4 保護(hù)范圍判定

已知平面方程1和外接圓的圓心坐標(biāo)(X0,Y0,Z0),可求得通過(guò)外接圓圓心且垂直于平面方程1的法線方程:

其中,m3=α,n3=β,p3=γ。

設(shè)滾球的球心坐標(biāo)為(XG,YG,ZG),則滾球球心到外接圓圓心的距離滿足:

聯(lián)立方程,可以求得兩組滾球球心坐標(biāo)(XG1,YG1,ZG1)和(XG2,YG2,ZG2),取ZG1和ZG2的最大值的那一組數(shù)據(jù)作為滾球球心坐標(biāo),若ZG1=ZG2,則兩組數(shù)據(jù)相同,均可作為滾球球心坐標(biāo)。若ZG小于滾球半徑R,說(shuō)明滾球的底部已經(jīng)接觸到地面,建筑物的保護(hù)范圍根據(jù)單支接閃桿或雙支接閃桿進(jìn)行計(jì)算。

已知滾球的球心坐標(biāo)為(XG,YG,ZG),設(shè)需要保護(hù)的建筑物坐標(biāo)為(XD,YD,ZD),可求得兩點(diǎn)間的距離為

當(dāng)d2大于等于滾球半徑R時(shí),說(shuō)明建筑物在3支接閃桿的保護(hù)范圍內(nèi)。

5 計(jì)算實(shí)例

已知3支接閃桿A、B、C的坐標(biāo)分別為(10,10,20)、(20,20,30)、(30,10,25),判斷位于(20,15,10)處的一類防雷建筑物是否在保護(hù)范圍內(nèi)。

根據(jù)以上條件,可以求出如下各平面、直線的方程。

(1)A、B、C三點(diǎn)形成的平面的平面方程1:

50x+150y-200z+2 000=0

(2) 平面方程1與XOY坐標(biāo)平面相交形成的直線方程1:

50x+150y+2 000=0

(3) 通過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線方程2:

(x-10)/20=(z-20)/5=t

根據(jù)以上平面、直線的方程,可以求出各平面、直線和點(diǎn)的位置關(guān)系:

(1) 直線方程1與直線方程2的夾角θ為156.978 47°。

(2) 平面方程1與XOY坐標(biāo)平面的夾角Φ為38.328 82°。

(3)A點(diǎn)到直線方程1的垂點(diǎn)L的坐標(biāo)為(2,-14,0),距離j為32.249 03。

(4) 直線方程1與X軸的夾角Ω為-18.434 95°。

(5) 空間三角形ΔABC的邊長(zhǎng)a、b、c分別為15、20.615 53、17.320 51,外接圓半徑r為10.504 12,∠A的余弦值為0.700 14。

(6) 球心到外接圓圓心的距離d1為28.100 95。

以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),使C點(diǎn)位于X01軸上,在平面方程1所在平面上建立X01Y01Z01坐標(biāo)系,通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移該坐標(biāo)系,則可以求得三角形ΔABC在不同坐標(biāo)系內(nèi)的外接圓圓心坐標(biāo),如表1所示。

表1 不同坐標(biāo)系下的外接圓圓心坐標(biāo)

已知平面方程1和外接圓的圓心坐標(biāo),可求得通過(guò)外接圓圓心且垂直于平面方程1的法線方程,進(jìn)而求得滾球的球心坐標(biāo)為(14.200 49,-4.898 53,45.698 05)。

已知滾球的球心坐標(biāo)和建筑物的坐標(biāo),則可求得兩點(diǎn)間的距離d2為41.278 77,由于兩點(diǎn)的距離大于30 m的滾球半徑,因此可以判斷建筑物在3支接閃桿的保護(hù)范圍內(nèi)。

6 結(jié) 語(yǔ)

建立XYZ坐標(biāo)系,確定建筑物和接閃桿的坐標(biāo)以及任意選取的3支接閃桿針尖所形成的平面方程、直線方程以及它們之間的位置關(guān)系;根據(jù)所選取的3支接閃桿的針尖建立X01Y01Z01坐標(biāo)系,在計(jì)算坐標(biāo)系下的接閃桿針尖形成的三角形外接圓圓心坐標(biāo)后,通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)X01Y01Z01坐標(biāo)系,使之與XYZ坐標(biāo)系重合,求得外接圓圓心在XYZ坐標(biāo)系下的坐標(biāo),從而推導(dǎo)出滾球的球心坐標(biāo),最終通過(guò)計(jì)算滾球球心坐標(biāo)與被保護(hù)建筑物之間的距離是否大于滾球半徑來(lái)判斷任意3支接閃桿的保護(hù)范圍。

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