線性回歸模型和灰色預(yù)測系統(tǒng)GM(1,1)模型在旱災(zāi)預(yù)測中的比較應(yīng)用

殷鵬遠(yuǎn)

(遼寧省錦州水文局，遼寧 錦州 121000)

根據(jù)系統(tǒng)已有的數(shù)據(jù)，按一定的方法建立模型，對系統(tǒng)的未來變化情況做出預(yù)測，是預(yù)測研究的主要工作。預(yù)測的方法很多，預(yù)測是否準(zhǔn)確的關(guān)鍵，是能不能按照已有的數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)變化的趨勢建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，當(dāng)模型能很好地反映數(shù)據(jù)的內(nèi)在變化規(guī)律，則模型的預(yù)測數(shù)據(jù)就會與實(shí)際的數(shù)據(jù)比較吻合，反之則存在較大的誤差。

從系統(tǒng)論的觀點(diǎn)來看，影響一個(gè)系統(tǒng)的各個(gè)參數(shù)之間都存在一定的關(guān)系，有些是很確定的關(guān)系，這種確定關(guān)系通常可以用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述。還有很多復(fù)雜系統(tǒng)的參數(shù)之間存在不完全確定的關(guān)系，這些關(guān)系的相互作用，就表現(xiàn)為系統(tǒng)特征參數(shù)之間變化的隨機(jī)性和不確定性。對大多數(shù)的預(yù)測所研究的對象，是系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)之間具有復(fù)雜和不完全確定關(guān)系的系統(tǒng)。

在研究預(yù)測的模型中，最簡單和常用的是系統(tǒng)的兩個(gè)特征參數(shù)變化和分布關(guān)系呈現(xiàn)接近線性的關(guān)系，對這樣的模型，一般是采用一元線性回歸的方法，即最小二乘法?；疑到y(tǒng)理論是一門新興的理論，灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為：由于任何一個(gè)系統(tǒng)的各個(gè)因素之間都存在互相的關(guān)聯(lián)和影響，呈現(xiàn)部分已知，部分未知的狀態(tài)，所以，灰色系統(tǒng)理論把客觀對象視為一個(gè)灰色的物質(zhì)系統(tǒng)，在研究系統(tǒng)時(shí)，通過系統(tǒng)的表征信息，利用關(guān)聯(lián)分析、灰數(shù)生成、灰色建模等信息加工手段，探求系統(tǒng)內(nèi)在的規(guī)律，預(yù)測系統(tǒng)未來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)?；疑A(yù)測就是運(yùn)用灰色系統(tǒng)理論，通過灰色建模來對系統(tǒng)特征參數(shù)變化進(jìn)行預(yù)測的一種實(shí)用方法。

1 數(shù)據(jù)來源

有關(guān)河南干旱災(zāi)害的資料很多，從干旱史料看，年代越久遠(yuǎn)，記載越簡略，年代越近，記載也逐漸較詳。本次著重研究了2009年以前的642 a，即公元1368—2009年間642年的干旱災(zāi)害。數(shù)據(jù)采集主要來源于河南省水文總站編纂的《河南省歷代旱澇等水文氣候史料》和《河南省歷代大水、大旱年表》、河南省水利廳水旱災(zāi)害專著編輯委員會編纂的《河南水旱災(zāi)害》三本資料以及河南省農(nóng)業(yè)信息網(wǎng)?？紤]到指標(biāo)的代表性、可行性及關(guān)聯(lián)性，并遵循Anderson 原則“基于指標(biāo)的信息應(yīng)反映區(qū)域地理差異”，本文擬選擇將目標(biāo)定在豫西重災(zāi)區(qū)代表城市洛陽市，研究洛陽市以及行政邊界與之毗鄰的鄭州市的干旱情況歷史演變規(guī)律，收集統(tǒng)計(jì)該二地市過去642年的干旱年紀(jì)錄，建立旱災(zāi)年份統(tǒng)計(jì)表(見表1、表2)。

2 線性回歸模型的建立與求解

2.1 線性回歸模型的建立

1)回歸模型與參數(shù)的確定。一元線性回歸研究因變量和一個(gè)自變量之間的線性關(guān)系。其回歸模型為：

y=b0+b1x

式中： y為因變量；x為自變量；b0為常數(shù)項(xiàng)；b1為回歸系數(shù)。

2)回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)?；貧w系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)主要有t檢驗(yàn)法、F檢驗(yàn)法和相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法，下面著重介紹相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法。

相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法是指在做相關(guān)數(shù)檢驗(yàn)時(shí)，取下面的統(tǒng)計(jì)量

式中：R成為相關(guān)系數(shù)。當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對值小于一定的臨界值時(shí)，接受原假設(shè)。

3)回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)

由最小二乘法得到的是回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，實(shí)際問題中常要求給出回歸系數(shù)的置信區(qū)間。常數(shù)項(xiàng)和回歸系數(shù)的置信水平為1-α的置信區(qū)間可由下面兩式給出

4)預(yù)測。經(jīng)檢驗(yàn)回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)以后，就可以利用回歸方程式進(jìn)行預(yù)測。一般當(dāng)給定預(yù)測精度時(shí)，就可以得到回歸系數(shù)的預(yù)測區(qū)間。

表1 洛陽市旱災(zāi)年份統(tǒng)計(jì)表(1350—2009)

表2 鄭州市旱災(zāi)年份統(tǒng)計(jì)表(1350—2009)

2.2 線性回歸模型的求解

利用表1、表2數(shù)據(jù)作因變量與自變量的散點(diǎn)圖。分析因變量和自變量的關(guān)系，詳見圖1。

圖1 洛陽和鄭州旱災(zāi)年份散點(diǎn)圖

回歸統(tǒng)計(jì)MultipleR0．954334RSquare0．910753AdjustedRSquare0．908769標(biāo)準(zhǔn)誤差68．04749觀測值47

從圖1的散點(diǎn)圖可以看出，在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)，洛陽旱災(zāi)年份(因變量)與編號(自變量)之間具有明顯的函數(shù)關(guān)系；同時(shí)，鄭州旱災(zāi)年份(因變量)與編號(自變量)之間也有明顯的函數(shù)關(guān)系。

然后，為進(jìn)一步確定他們之間的函數(shù)關(guān)系，建立一元回歸模型：

y=b0+b1x

以編號為自變量，以旱災(zāi)發(fā)生年份為因變量(這里為了簡單起見，僅以洛陽市為例，鄭州市同理)，對洛陽旱災(zāi)年份進(jìn)行回歸分析。利用matlab得到求解結(jié)果如下(見表3～表5和圖2)：

表4 方差分析

表5 誤差分析

圖2 回歸分析正態(tài)分布圖

由以上結(jié)果可以得出：洛陽旱災(zāi)年份回歸方程為y=15.681x+1 345。

另外:由于R=0.954 334>0.95,F=459.217(具有很大的數(shù)值)，說明回歸顯著?？梢杂脃=15.681x+1 345來預(yù)測洛陽旱災(zāi)年份。

表6 方法結(jié)果對比

2.3 線性回歸模型的應(yīng)用

根據(jù)所建立的模型以及模型分析，來預(yù)測未來洛陽市旱災(zāi)發(fā)生年份，以期積極主動地采取措施進(jìn)行防旱抗旱工作提供科學(xué)依據(jù)。用y=15.681x+1 345進(jìn)行預(yù)測，可以得到：

3 模型對比

本文通過洛陽市旱災(zāi)年份計(jì)算實(shí)例,采用線性回歸模型和基于GM(1,1)模型的灰色災(zāi)變預(yù)測對干旱年份進(jìn)行預(yù)測，同時(shí)對數(shù)據(jù)預(yù)測精度進(jìn)行一個(gè)比較分析，結(jié)果見表6。

從表6可以看出，由于例子的數(shù)據(jù)分布關(guān)系基本接近線性關(guān)系,所以不論是一元線性回歸還是灰色理論的GM(1,1)模型所得到的方程,都能很好地反映數(shù)據(jù)之間的變化關(guān)系,按方程得到的計(jì)算值與實(shí)際值之間的誤差都不大。從相對誤差大小比較的角度,對出的兩個(gè)例子,用灰色理論的GM(1,1)模型對數(shù)據(jù)的預(yù)測精度較一元線性回歸都要稍高一些,這主要是由于灰色理論的GM(1,1)模型所得到的白化方程是一種指數(shù)形式的表達(dá)式,對數(shù)據(jù)變化的適應(yīng)性更好一些。

4 結(jié)語

灰色系統(tǒng)理論把客觀對象視為一個(gè)灰色的物質(zhì)系統(tǒng)，在研究系統(tǒng)的變化規(guī)律時(shí)，通過抓住系統(tǒng)的表征信息，利用灰數(shù)生成，灰色建模的信息加工手段，研究系統(tǒng)內(nèi)部因素間的變化規(guī)律，利用得到的灰色模型，來預(yù)測系統(tǒng)未來的發(fā)展，灰色預(yù)測在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。上面的兩個(gè)例子表明，對基本符合線性關(guān)系的數(shù)據(jù)，采用灰色理論的GM(1,1)模型較一元線性回歸的預(yù)測精度要高。用灰色理論的GM(1,1)模型進(jìn)行建模時(shí)，并不直接采用已知的數(shù)據(jù)，而是通過對已知數(shù)據(jù)的再加工、即對灰數(shù)生成的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理來挖掘數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過這種加工得到的數(shù)據(jù)及所建立的灰色模型，可以更好地揭示特定系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制和本質(zhì)特征?；疑A(yù)測建模是少數(shù)據(jù)建模，對GM(1,1)模型可以僅需4個(gè)數(shù)據(jù),對離散數(shù)據(jù)的分布沒有要求。對本文所舉的洛陽市旱災(zāi)年份預(yù)測實(shí)例，應(yīng)該說是灰色預(yù)測在離散數(shù)據(jù)接近線性分布情況下應(yīng)用的特例，從例子的結(jié)果看出：灰色建模和灰色預(yù)測在一些特定的情況下，是一種較一元線性回歸預(yù)測精度更好的實(shí)用預(yù)測方法。

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