非線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的零次漸近展開(kāi)式研究*

張　媛

(重慶郵電大學(xué) 移通學(xué)院，重慶 401520)

隨著控制技術(shù)的快速發(fā)展，專家對(duì)控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性和全局穩(wěn)定性提出更高的要求.非光滑自治時(shí)滯控制系統(tǒng)是一個(gè)多變量、非線性的齊次耦合控制系統(tǒng)，該類控制系統(tǒng)在時(shí)滯控制、滑?？刂啤⒎e分控制等方面具有很好的全局調(diào)控能力[1]，從而廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)、力學(xué)和物理學(xué)方面的控制器設(shè)計(jì)中，在航空航天、船舶、人工智能等領(lǐng)域就有很好的應(yīng)用前景.

研究非線性奇攝動(dòng)方程，可以描述具有時(shí)滯控制系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性、漸進(jìn)收斂性和魯棒性等問(wèn)題，避免傳統(tǒng)的齊次漸進(jìn)展開(kāi)方法不具有魯棒性的缺點(diǎn)[2-3].對(duì)此，本文研究了非線性奇攝動(dòng)邊值解向量的零次漸近展開(kāi)式收斂性和穩(wěn)定性問(wèn)題.

1　問(wèn)題描述和相關(guān)定理

1.1　非線性奇攝動(dòng)方程

本文研究非線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的零次漸近展開(kāi)式的穩(wěn)定性和漸進(jìn)收斂性問(wèn)題，為非光滑自治時(shí)滯控制系統(tǒng)提供理論支持，建立一類具有齊次雙曲波動(dòng)擾動(dòng)項(xiàng)的非線性奇攝動(dòng)方程如下：

(1)

式中，u:I×Rd→R是連續(xù)二自由度函數(shù)，d≥4，0∈I?R是上下邊界區(qū)間.設(shè)攝動(dòng)方程的隨機(jī)凸函數(shù)為[4，5]：

采用連續(xù)多元映射uuλ將(1)進(jìn)行高階時(shí)頻分解，得到非線性奇攝動(dòng)的連續(xù)馬爾尼數(shù)鏈：

1.2　相關(guān)定義與定理

其中F(u)= |u|4u.

設(shè)x*是解集{xk}中的一個(gè)極限點(diǎn)，方程的連續(xù)奇異分解算子w(t)(u0,u1)=cos(t||)是攝動(dòng)方程在滿足邊界穩(wěn)定條件為(u0,u1)時(shí)的解.采用微分雙曲方程構(gòu)建非線性奇攝動(dòng)系統(tǒng)模型為：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，z(k)=Cx(k)，

其中x(k)∈Rp表示非線性奇攝輸入狀態(tài)項(xiàng)，u(k)∈Rq表示不確定時(shí)延輸入，z(k)∈Rm表示邊界解向量的輸出,A,B,C為適當(dāng)維數(shù)矩陣，變量p,q,m為正整數(shù).在不確定時(shí)延和高階擾動(dòng)下，根據(jù)廣義Lyapunove穩(wěn)定性原理[7]，非線性奇攝動(dòng)系統(tǒng)受到的未知擾動(dòng)為：

式中：x(t)=[x1(t),x2(t),…,xt(t)]T是在時(shí)滯變量為t的狀態(tài)向量，d1(t)和d2(t)分別表示未知的建模誤差和未知的擾動(dòng)泛函.定義攝動(dòng)邊值有限能量項(xiàng)d(t)=d1(t)+d2(t).在超臨界條件下，對(duì)方程進(jìn)行邊值穩(wěn)定性求解，構(gòu)造傳遞函數(shù)：

在邊值穩(wěn)定條件下，對(duì)于給定的正常數(shù)γ，如果滿足FTF≤I，得到方程的非線性項(xiàng)為|u|4/(d-2)u，攝動(dòng)過(guò)程用utt-Δu+|u|pu=0,(p>4)表示，在奇異空間R3中通過(guò)漸進(jìn)展開(kāi)方式進(jìn)行系統(tǒng)閉環(huán)控制，滿足零次漸進(jìn)展開(kāi)的整體收斂性(定理1).

Ψ(h1,h2)=Ψ+h1K(Z1+Z2+Z3)-1KT+h2M(Z2+Z3)-1MT<0.

得到：

Ψ(h1,0)=Ψ+h1K(Z1+Z2+Z3)-1KT+h2L(Z2+Z3)-1LT<0

Ψ(0,h2)=Ψ+h1WZ1-1WT+h1L(Z2+Z3)-1LT+h2M(Z2+Z3)-1MT<0.

設(shè)I是一個(gè)緊閉合的時(shí)間區(qū)間，u:I×Rd→R是非線性雙曲攝動(dòng)方程：

‖|

2　零次漸近展開(kāi)研究與證明

2.1　非線性奇攝動(dòng)邊值展開(kāi)

在構(gòu)建一類具有齊次雙曲波動(dòng)擾動(dòng)項(xiàng)的非線性奇攝動(dòng)方程，并對(duì)方程進(jìn)行穩(wěn)定性求解的基礎(chǔ)上，研究非線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的零次漸近展開(kāi)，采用Lyapunove穩(wěn)定性泛函理論對(duì)方程的雙孤波解向量進(jìn)行線性回歸處理，記Rd上對(duì)非線性奇攝動(dòng)方程漸進(jìn)展開(kāi)的積分項(xiàng)為：

對(duì)s≥0, 定義全局有限時(shí)間域內(nèi)的Lipschitz連續(xù)正則項(xiàng)為：

用最小二乘擬合方法進(jìn)行邊值向量的零次漸近展開(kāi)，過(guò)程描述為：

其中Ψ(d1(t),d2(t))=Ψ+Ψ1(d1(t))+Ψ2(d2(t))，那么展開(kāi)過(guò)程的稀疏條件式定義為：

Ψ2(d2(t))=Ψ+(h2-d2(t))L(Z2+Z3)-1LT+d2(t)MT(Z2+Z3)-1MT.

采用最小信息熵泛函進(jìn)行邊值擾動(dòng)解向量的泛函積分，當(dāng)Ψ(d1(t),d2(t))<0, 有

根據(jù)引理2，可以得到非線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的零次漸進(jìn)展開(kāi)的Strichartz范數(shù)為：

引理3若d=4,sc=3/2，非線性奇攝動(dòng)方程

此外，運(yùn)用Schur補(bǔ)性質(zhì)，得到零次漸進(jìn)展開(kāi)的收斂函數(shù)滿足如下的不等式：

w(k)∈L2[0,)，滿足：可得齊次項(xiàng)收斂于：其中：

2.2　穩(wěn)定性和漸進(jìn)收斂性證明

首先,討論奇異空間R3中,非線性奇攝動(dòng)系統(tǒng)滿足零次漸進(jìn)展開(kāi)整體收斂的條件.

定理1在奇異空間R3中,若FTF≤I,非線性奇攝動(dòng)系統(tǒng)中滿足零次漸進(jìn)展開(kāi)的整體收斂性.

證明構(gòu)建奇異值映射為：

‖|

‖|

‖|

‖|

‖|

‖|

非線性奇攝動(dòng)微分方程的邊界一直穩(wěn)定性條件滿足：

η+‖|

定理2設(shè)I是一個(gè)緊閉合的時(shí)間區(qū)間,若非線性雙曲攝動(dòng)方程

證明用定理1的證明中的方式選取的a,b，有Φ(B)?B.對(duì)連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)，采用分線性奇攝動(dòng)方程的邊值進(jìn)行穩(wěn)定性泛函，將初始時(shí)刻狀態(tài)解時(shí)滯d1(t)和d2(t)合并為一個(gè)時(shí)滯d(t)，構(gòu)造非線性奇攝動(dòng)方程的邊值項(xiàng)的零值展開(kāi)式，兩個(gè)累加平衡點(diǎn)的奇異值分解式為：

‖Φ(u)-Φ(v)‖B= ‖|

C‖|

C{‖|

C‖|

C‖u-v‖B(a4+2a3b).

根據(jù)引理1 和引理2，如果選取的a使得C(a4+2a3b)<1，那么零次分解的雙曲攝動(dòng)算子Φ是收斂的，由此得到在連續(xù)Lyapunove泛函下漸進(jìn)展開(kāi)式的特征值滿足：

‖||su‖Sμ-s(I)+‖|

對(duì)s≥0，非線性特征分解向量滿足如下不等式：

‖|

[1]程桂芳,丁志帥,慕小武.自治非光滑時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,36(1):14-21.

[2]陳國(guó)旺, 侯長(zhǎng)順. 一類四階非線性波動(dòng)方程的初值問(wèn)題[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2009, 30(3): 369-378.

[3]譚中權(quán).離散與連續(xù)時(shí)間強(qiáng)相依高斯過(guò)程最大值與和的漸近關(guān)系[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2015,38(1): 27-36.

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