共振條件下具P-Laplacian算子的分數(shù)階時滯微分方程的邊值問題*

劉小剛 ，　歐陽自根,　惠小健

(1.西北大學現(xiàn)代學院 基礎部, 陜西 西安 710130；2.西京學院 理學院，陜西 西安 710123；3.南華大學 數(shù)理學院, 湖南 衡陽 421000)

分數(shù)階微分方程是微分方程理論的一個新的重要分支，在工程力學、高分子材料解鏈、牛頓力學等領域有廣泛的應用.對于共振情形下分數(shù)階微分方程的邊值問題，眾多學者作了研究，取得了許多成果[1-6]，但是關于具P-Laplacian算子的高維多時滯的分數(shù)階微分方程的邊值問題的研究較少.

本文將研究如下一類具P-Laplacian算子的分數(shù)階時滯微分方程邊值問題：

(1)

N-2bi∈R，0<γ<α,f:[0,1]×Rn→R滿足Caratheodory條件,Dα,Jα分別是標準的Riemann-Liouville分數(shù)階微分、積分. 對比文獻，本文弱化了分數(shù)階微分的邊值條件，推廣和改進已有工作.

令Y=C[0,1]，范數(shù)‖y‖令Z=L1[0,1],范數(shù)‖y‖1=|y(t)|dt;

X={u|u,Dα-iu(θi(t))∈Y,i=1,2,…,N-1},其中α>0,N=1+[α].范數(shù)記作‖u(t)‖=‖u(t)‖定義算子L:domL∩X→Z，其中

定義算子N:X→Z，Nu(t)=f(t,u(t-τ),Dα-1u(θ1(t))…Dα-(N-1)u(θN-1(t)))，則邊值問題(1)等價于算子方程Lu=Nu.

(1)Lx≠λNx，(x,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1)；(2)Nx?ImL，x∈KerL∩?Ω；(3) deg{JQN,?Ω∩KerL,0}≠0,這里J:ImQ→KerL是一個線性同構.

引理2對于算子L有

證明由Lu=0,得到φp(Dαu(t))=Jβy+c0+c1t+…+cN-1tN-1.因為(φp(Dαu(0)))(j)=0,有c0=c2=…=cN-1=0.于是φp(Dαu(t))=Jβy(t).因為(u(0))(i)=0,于是u(t)=Jα(φq(Jβy(t)))+dtα-1.故KerL={dtα-1,d∈R}.ImL的正確性易驗證，在此不再贅述.

證明過程類似于[8]中引理3.2.2的證明.

證明由邊值條件可知，ImP=KerL，易驗證P2=P，則P是冪等算子.顯然KerL∩KerP={0}，于是X=KerL⊕KerP，對任意的y∈L1[0,1]，有Q2y=Qy. 則Z=ImL⊕ImQ.而dimKerL=dimImQ=CoKerL=1，則映射L是一個指標為零的Fredholm算子.由算子P,KP的定義易見算子L:ImL→domL∩KerP的逆算子為KP. 事實上，對y∈ImL,LKpy=y(t)，對u∈domL∩KerP,KpLu=Jαφq(φp(Dαu)+citi)，顯然ci=0,i=1,…,N-1.于是KpLu=JαDαu(t)=u(t).因此KpLu=u，這表明KP=(L|domL∩KerP)-1.

引理5算子KP(I-Q)N:X→X全連續(xù).

引理5的證明類似文獻[8]中引理2.3的證明.記

定理1假設存在函數(shù)l(t),li(t)∈L1[0,1],i=0,1,…,N-1，使得

(2)

(3)

(H3) 存在常數(shù)A*>0,使得對任意的常數(shù)e∈R,如果|e|>A*,有I>0或I<0.

則共振邊值問題(1)在X中至少存在一解.

‖u‖

(4)

注意到Lu=λNu, 因此φp(Dαu(t))=λJβNu+citα-i.結合邊界條件(φp(Dαu(0)))(j)=0,有

φp(Dαu(t))=λJβNu.

(5)

由(2)、(5)有

‖u(t)‖

令Ω2={u∈KerL|Nu∈ImL},對u∈Ω2，有

u∈KerL={u∈domL|u=dtα-1,t∈[0,1],u=0,t∈[-τ,0],d∈R}

則QNu=0，由(H2)得|Dα-1u(t)|≤A,則|Dα-1dtα-1|≤A,即|d|≤A/Γ(α).Ω2有界.

令Ω3={u∈KerL|λJu+(1-λ)QNu=0,λ∈[0,1]}，這里

對任意的u∈Ω3，有λdtα-1=-(1-λ)QNu,進一步有

如果λ=1，則d=0顯然成立；否則，如果|d|≤A*，考慮I>0，有-(1-λ)(dQNu)<0，這與λd2>0矛盾.因此Ω3是有界. 如果式I<0成立，則令Ω3={u∈KerL|λJu-(1-λ)QNu=0,λ∈[0,1]}，同理可證Ω3是有界的.

定理2假設定理1中的(H2)、(H3)成立，并且滿足

(H6)am0/m1+bn0<1,則邊值問題(1)存在唯一解.

證明存在性顯然成立，下面證明唯一性.假定u1,u2∈X是邊值問題(1)的兩個解. 令u=u1-u2，于是

Dβφp(Dαu(t))=f(t,u1(t-τ),Dα-1u1(θ1(t)),…,Dα-(N-1)u1(θN-1(t)))-f(t,u2(t-τ),Dα-1u2(θ1(t)),…,Dα-(N-1)u2(θN-1(t))),注意到ImL=KerL，有

f(s,u2(s-τ),…,Dα-(N-1)u2(θN-1(s)))]}ds,

由函數(shù)f的連續(xù)性，存在t0∈(0,1)使得

f(t0,u1(t0-τ),…,Dα-(N-1)u1(θN-1(t0)))-f(s,u2(t0-τ),…,Dα-(N-1)u2(θN-1(t0)))=0 .

注意到 ‖u‖,‖Dαu‖,‖Dα-iu‖≤‖u‖,于是根據(jù)式(6)有,因此‖u‖=0,即u1(t)=u2(t),t∈[0,1].

(劉小剛現(xiàn)在為西京學院理學院講師)

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