利用Laplace變換的分布階微分方程數(shù)值解法*

王　征，　胡長(zhǎng)流

(1.鄭州大學(xué) 西亞斯國(guó)際學(xué)院，河南 新鄭 451150;2.河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004)

分?jǐn)?shù)階微分方程(fractional differential equations, FDE)可更好地?cái)M合工程實(shí)踐中的一些自然物理過(guò)程[1]，在工程、物理及環(huán)境問(wèn)題的研究中得到應(yīng)用[2-3].分布階微分方程是分?jǐn)?shù)階微分方程的積分，其以階次作為積分變量對(duì)分?jǐn)?shù)階微分算子進(jìn)行積分運(yùn)算.分布階微分方程能夠更好地描述一些動(dòng)力系統(tǒng)，如超慢徑向擴(kuò)散過(guò)程、多維隨機(jī)游走模型等[4].對(duì)分布階次微分方程進(jìn)行精確求解依然是一個(gè)難題.[5]提出一種求解分布階FDE的方法，采用標(biāo)準(zhǔn)梯形規(guī)則來(lái)離散化分布階FDE，并采用一種稱為 Adams的方法來(lái)求解離散化的FDE，但其求解精度不高.本文提出一種分布階微分方程的數(shù)值方法，使用一種隱式梯形規(guī)則對(duì)積分區(qū)間進(jìn)行離散化，將分布階FDE轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式FDE，利用Laplace變換來(lái)求解多項(xiàng)式FDE.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了提出方法的有效性.

設(shè)x∶[a,b]→R是一個(gè)正非整數(shù)，n∈N且α∈(n-1,n).α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分可通過(guò)任意實(shí)數(shù)階Cauchy方程產(chǎn)生，其定義如下：

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分和Caputo分?jǐn)?shù)階微分可以分別定義為

以上兩種分?jǐn)?shù)階微分存在著一定的聯(lián)系，它們的關(guān)系可以由下式表示：

分布階FDE形式表示為

1　分布階FDE數(shù)值方法

分布階FDE數(shù)值方法包括兩個(gè)步驟：(1)使用一種隱式梯形規(guī)則來(lái)近似分布階FDE積分，將分布階FDE轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式FDE；(2)采用一種Laplace變換過(guò)程來(lái)求解積分區(qū)間離散化后產(chǎn)生的多項(xiàng)式FDE.

考慮一種簡(jiǎn)單的分布階FDE形式，即α=0，表示如下：

(1)

1.1　基于梯形規(guī)則近似分布階FDE為多項(xiàng)式FDE

使用等間隔K的梯形規(guī)則來(lái)近似式(1)中的積分，得到多項(xiàng)式FDE，表示為：

(2)

1.2　基于Laplace變換求解多項(xiàng)式FDE

(3)

式中q(t)為一個(gè)未知的虛擬源函數(shù).使用Laplace變換法將式(3)中初始值問(wèn)題的解轉(zhuǎn)換為等效Volterra積分方程[6]:

(4)

式(4)將在時(shí)間間隔[0,T]內(nèi)進(jìn)行求解.將[0,T]劃分為N個(gè)相等的區(qū)間Δt=h,h=T/N.在該分析中，假定q(t)恒等于每個(gè)間隔h中的平均值.因此，式(4)在t=nh時(shí)刻可寫為：

(5)

式中,q(i)(t)為另一未知源函數(shù).通過(guò)式(3)和式(5)的Laplace變換，可以用q(t)來(lái)表示q(i)(t)：

式中,U(s)、Q(s)和Q(i)(s)分別為u(t)、q(t)和q(i)(t)的Laplace變換[7].等價(jià)替換上述方程的右端將產(chǎn)生：

(6)

對(duì)式(6)進(jìn)行Laplace逆變換[8]，得

(7)

將時(shí)間間隔[0,T]進(jìn)行相同離散化，以此近似式(7)中的積分，得到

(8)

對(duì)于t=nh，式(2)表示的多項(xiàng)式FDE可變?yōu)椋?/p>

(9)

q0是該方法的一個(gè)重要組成部分.對(duì)于n=0，式(9)變?yōu)?/p>

至此，完成了對(duì)式(2)所示的多項(xiàng)式FDE的求解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了對(duì)式(1)所示的分布階FDE的求解.

2　數(shù)值實(shí)例

為了驗(yàn)證提出方法的準(zhǔn)確性和收斂性，利用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，在PC機(jī)上進(jìn)行計(jì)算.

實(shí)例求解一個(gè)分布式FDE方程，形式如下：

表1　不同K值和h值下u(0.5)的誤差

hK248160.10.045460.018320.005980.000480.050.040040.016090.005740.000370.0250.038010.015940.005550.000360.01250.036460.015760.005010.000270.006250.035660.014470.004920.000230.0031250.034280.014270.004680.000190.00156250.034110.013670.004550.00017

將本文方法與[5]方法進(jìn)行比較，[5]方法也采用了標(biāo)準(zhǔn)梯形規(guī)則來(lái)離散化分布階FDE.不同于本文方法，[5]方法采用了Adams方法來(lái)求解離散化后的多項(xiàng)式FDE.圖1為當(dāng)h=0.001和K=16時(shí)，在不同t下的誤差u(t)-uex(t)，本文方法與[5]方法誤差的比較.如圖1所示，隨著t的增加，本文方法的誤差增大，但整體上保持為一個(gè)很小的值，且在所有情況下，本文方法的誤差都小于[5]方法.

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