非線性泛函積分微分方程多步Runge-Kutta方法的穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性*

文立平,　楊春花,　文海洋

(湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 湘潭 411105)

1　問(wèn)題類及數(shù)值方法描述

設(shè)Cd是d維復(fù)線性空間，〈·,·〉為空間Cd中的內(nèi)積，‖·‖是由該內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù).對(duì)給定的k×k實(shí)對(duì)稱非負(fù)定矩陣A=[aij]，定義內(nèi)積空間Ckd中的偽內(nèi)積〈·,·〉A(chǔ)為

(1)

式中：τ>0是常延遲，φ:[t0-τ,t0]→Cd,f:[t0,+∞)×Cd×Cd→Cd,g:D×Cd→Cd是給定的連續(xù)函數(shù)且滿足條件:

Re〈u1-u2-(w1-w2),f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2)〉≤

α‖u1-u2‖2+β1‖v1-v2‖2+β2‖w1-w2‖2,u1,u2,v1,v2,w1,w2∈Cd，

(2)

‖g(t,ξ,u1)-g(t,ξ,u2)‖≤η‖u1-u2‖,(t,ξ)∈D,u1,u2∈Cd,

(3)

這里集合D:={(t,s):t∈[t0,+∞),s∈[t-τ,t]},β1,β2,η都是非負(fù)常數(shù),而α≤0.

本文恒設(shè)初值問(wèn)題(1)有唯一解x(t)，并把滿足條件(2)、(3)的初值問(wèn)題(1)構(gòu)成的問(wèn)題類記為R(α,β1,β2,η).近年來(lái)，各種類型的泛函微分方程數(shù)值方法的研究取得了豐碩的成果[1-3，5-11].最近，張誠(chéng)堅(jiān)等[12-13]研究了求解方程(1)的Runge-Kutta方法和單支方法的穩(wěn)定性，文立平等[14-15]也研究了求解方程(1)的Runge-Kutta方法和單支方法的散逸性.本文將研究求解方程(1)的多步Runge-Kutta方法的數(shù)值穩(wěn)定性.

求解常微分方程初值問(wèn)題的s級(jí)r步Runge-Kutta方法為

(4)

眾所周知，多步Runge-Kutta方法是一般線性方法的一個(gè)子類.記

這里Ik表示k×k單位矩陣，a=[a1,a2,…,ar]T,γ=[γ1,γ2,…,γs]T.

對(duì)于任意給定的k×l實(shí)矩陣Q=[qij]，定義一個(gè)相關(guān)的線性算子Q:Cdl→Cdk,

QU=V=(ν1,ν2,…,νk)∈Cdk,U=(u1,…,ul)∈Cdl,uj∈Cd,

Y(n)=hC11F(t(n),Y(n))+C12y(n-1),y(n)=hC21F(t(n),Y(n))+C22y(n-1),

(5)

這里

(6)

定義1[1]令k,l為實(shí)常數(shù)，稱多步Runge-Kutta方法(4)是(k,l)-代數(shù)穩(wěn)定的，如果存在r×r實(shí)對(duì)稱正定矩陣G及非負(fù)對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,…,ds)，使得矩陣

非負(fù)定.特別地(1,0)-代數(shù)穩(wěn)定稱為代數(shù)穩(wěn)定.

(7)

(8)

(9)

且假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)v, 使得

(10)

成立. 積分公式(8)、(9)通常使用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式或者復(fù)化Newton-Cotes公式等[2].類似式(5)的寫法，方法(7)可寫成如下更緊湊的形式

(11)

這里X(n),Z(n),x(n),z(n),F(t(n),X(n),X(n-m))等記號(hào)的含義按(6)類似理解.

2　穩(wěn)定性分析

為了研究方法(7)的穩(wěn)定性，我們考慮問(wèn)題(1)的擾動(dòng)問(wèn)題

(12)

將方法(7)應(yīng)用于擾動(dòng)問(wèn)題(12)得如下擾動(dòng)格式：

(13)

定理1設(shè)多步Runge-Kutta方法(4)代數(shù)穩(wěn)定; 積分公式(8), (9)滿足條件式(10); 問(wèn)題(1)∈R(α,β1,β2,η)且滿足條件4η2v2<1,α+β1+β2η2v2≤ 0, 則存在僅依賴于方法及α,β1,β2,η的常數(shù)C, 使得

上式意味著多步Runge-Kutta方法在求解初值問(wèn)題(1)時(shí)是數(shù)值穩(wěn)定的.

證明由方程式(11)減去方程式(13)可得

ΔY(n)=hC11ΔF+C12Δy(n-1),Δy(n)=hC21ΔF+C22Δy(n-1),

(14)

(15)

設(shè)方法是代數(shù)穩(wěn)定性的，由式(2)、(3)及上式可得

(16)

(17)

根據(jù)條件式(3)和式(10),由式(9)及H?lder不等式易得

(18)

由此可得

(19)

將式(17)和式(19)代入式(16)中，可得

(20)

由α+β1+β2η2v2≤ 0，記實(shí)對(duì)稱正定矩陣G的最大和最小特征值分別為λ1,λ2,有

(21)

類似式(18)有

(22)

(23)

(24)

(25)

由此便得定理的結(jié)論，定理得證.

3　漸近穩(wěn)定性分析

本節(jié)將討論多步Runge-Kutta方法的漸近穩(wěn)定性.有如下的結(jié)果：

定理2若多步Runge-Kuatta方法(4)是代數(shù)穩(wěn)定的，且其中對(duì)角矩陣D正定并有ρ(C22-C21C11-1C12)<1； 積分公式式(8)、(9)滿足條件式(10); 問(wèn)題(1)∈R(α,β1,β2,η)且滿足條件4η2v2<1,α+β1+β2η2v2< 0, 則

(26)

即方法是漸近穩(wěn)定的. 這里ρ(·)表示矩陣的譜半徑.

證明由方程式(14)可得hΔF=C11-1ΔY(n)-C11-1C12Δy(n-1).代入式(14)的第二個(gè)式子，則有

Δy(n)=C21C11-1ΔY(n)+(C22-C21C11-1C12)Δy(n-1).

(27)

(28)

那么式(27)可改寫成

Δy(n)=R(∞) Δy(n-1)+C21C11-1ΔY(n)，

(29)

其中R(∞)=C22-C21C11-1C12.由式(20)可得

由于R<1,則對(duì)于上述的ε>0,存在正整數(shù)N及常數(shù)C, 使得當(dāng)n>N時(shí)，有‖Δxn‖2

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