行星滾柱絲杠螺紋誤差對嚙合狀態(tài)影響分析

程 遠，范元勛

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

0 引言

行星滾柱絲杠是一種將螺旋運動轉化為直線運動的裝置，由于其沒有自鎖能力，也可將直線運動轉換為旋轉運動。行星滾柱絲杠具有承載能力強、剛度大、效率高以及壽命長等優(yōu)點。目前，主要應用在航空航天、精密機床、工業(yè)機器人及醫(yī)療器械等領域[1]。

受加工制造誤差的影響，裝配后的行星滾柱絲杠各零件之間的嚙合狀態(tài)，即嚙合干涉量或嚙合間隙量偏離預先設定值，在嚙合區(qū)出現(xiàn)間隙過大或過度的干涉現(xiàn)象。間隙過大會導致行星滾柱絲杠傳動精度降低[2]；過度的干涉會導致行星滾柱絲杠初期劇烈的摩擦磨損[3]，降低絲杠傳動效率及使用壽命[4]。

在行星滾柱絲杠嚙合分析方面，文獻[4-5]建立了嚙合運動方程，對初始嚙合點及相對滑動速度進行了分析。文獻[6]通過將螺旋面進行離散，對嚙合間隙進行了計算。文獻[7]通過建立行星滾柱絲杠螺紋螺旋曲面方程，建立行星滾柱絲杠嚙合方程，并進行了求解。但以上分析都是對理論螺旋面進行的分析，未對行星滾柱絲杠嚙合干涉及間隙情況進行分析，更沒有考慮加工誤差對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)的影響。

本文基于行星滾柱絲杠結構特點，建立行星滾柱絲杠空間嚙合方程，采用數(shù)值算法對空間嚙合方程進行求解，計算出零側隙嚙合條件下行星滾柱絲杠絲桿和螺母螺紋的幾何中徑。在此基礎上，分析了行星滾柱絲杠螺紋幾何中徑誤差，螺距誤差，牙型半角誤差，滾柱型面圓弧半徑誤差對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)的影響。結果表明，幾何中徑，螺距誤差對嚙合狀態(tài)的影響較大，滾柱型面圓弧半徑對嚙合狀態(tài)的影響很小。誤差分析結果與實際生產(chǎn)情況一致，驗證了方法和分析結果的有效性。

1 行星滾柱絲杠結構

行星滾柱絲杠有多種形式，考慮到分析的典型性，本文以標準型行星滾柱絲杠為研究對象。其主要由絲桿、滾柱、螺母、齒環(huán)、保持架以及擋圈等組成[8]，如圖1所示。當絲杠運動時，絲桿繞軸線轉動，滾柱繞絲桿軸線做行星運動，螺母直線運動。

圖1 行星滾柱絲杠結構

通常情況下，為獲得良好的接觸狀態(tài)，絲桿、螺母的軸向截面內(nèi)牙型輪廓為直線，滾柱軸向截面牙型輪廓為圓弧形，從而獲得點接觸形式。行星滾柱絲杠牙型輪廓如圖2所示。

圖2 牙型輪廓

圖中，P0表示螺距，β為型面牙型半角，Rr為滾柱型面圓弧半徑。

2 空間嚙合方程

2.1 坐標系的建立

根據(jù)行星滾柱絲杠的結構特點，建立如圖3所示的空間坐標系。主要有固定坐標系(Oxyz)、滾柱坐標系(ORxRyRzR)、滾柱截面坐標系(Orxryrzr)、絲桿截面坐標系(Osxsyszs)、螺母截面坐標系(Onxnynzn)。

圖3 嚙合接觸分析坐標系

圖中，rs、rr、rn分別表示滾柱、絲桿和螺母螺紋中徑半徑，a為滾柱軸線與絲桿軸線之間的距離。

2.2 螺旋面方程

考慮到對稱性，僅對行星滾柱絲杠滾柱、絲桿以及螺母一側螺旋曲面建立參數(shù)方程[9]。

在滾柱截面坐標系Orxryrzr中，滾柱左側母線上一點M在滾柱坐標系ORxRyRzR中的參數(shù)方程為：

(1)

式中，ur為角參變量，xrM、yrM、zrM為M點在滾柱坐標系中坐標。

固定坐標系Oxyz內(nèi)，滾柱母線繞滾柱軸線做螺旋運動所形成的螺旋曲面參數(shù)方程為：

(2)

式中，θr為滾柱母線繞滾柱軸線zr的轉角，Pr為滾柱導程。

為獲得零側隙嚙合接觸狀態(tài)，將行星滾柱絲杠絲桿、螺母螺紋幾何中徑設為未知參數(shù)。絲桿右側母線繞絲桿軸線z形成的螺旋曲面可以分別表示為：

(3)

式中，θs為絲桿右側母線繞絲桿軸線z的轉角，Ps為絲桿導程，us為參變量。

同理，螺母右側母線繞螺母軸線z形成的螺旋曲面可以分別表示為：

(4)

式中，θn為絲桿右側母線繞絲桿軸線z的轉角，Pn為絲桿導程，un為參變量。

2.3 嚙合方程

根據(jù)空間嚙合原理，行星滾柱絲杠滾柱與絲桿滾柱與絲杠滿足連續(xù)嚙合的條件為[10]：

vrs·n=0

(5)

式中，vrs為嚙合點相對運動速度，n為嚙合點螺紋螺旋面法向矢量。

(6)

式中，u為ur或us，θ為θr或θs。

因螺旋面任意點切向矢量與該點處法向矢量垂直，有vr·nr=vs·ns=0。則當二者在任一點有公法線時，滿足嚙合條件。nr=kns，k為比例系數(shù)。

由此，滾柱與絲桿的嚙合方程為：

(7)

求解上述方程，可解得(ur,θr,us,θs,rs)，最終獲得滾柱、絲桿嚙合點坐標P(Px,Py,Pz)和絲桿螺紋幾何中徑rs。

同理得滾柱與螺母的嚙合方程為：

(8)

求解方程，可解得(ur,θr,un,θn,rn)，最終獲得滾柱、螺母嚙合點坐標Q(Qx,Qy,Qz)和螺母螺紋幾何中徑rn。

2.4 嚙合計算

行星滾柱絲杠嚙合方程為非線性方程組，可以通過牛頓-拉弗遜算法對其進行計算[11]。

以某一規(guī)格的標準型行星滾柱絲杠為例，對行星滾柱絲杠嚙合方程進行計算。行星滾柱絲杠理論參數(shù)如表1所示，此參數(shù)滿足行星滾柱絲杠運動學方程[8]。

表1 行星滾柱絲杠理論幾何參數(shù)

基于表1參數(shù)及嚙合方程，分別求出零側隙嚙合情況下行星滾柱絲杠絲桿、螺母螺紋幾何中徑rs、rn。計算結果如表2所示。

表2 滾柱與絲桿和螺母實際嚙合中徑值

以上實際結果表明，在按行星滾柱絲杠運動學方程進行參數(shù)計算所得到的理論參數(shù)設計行星滾柱絲杠時，滾柱與螺母之間干涉很小，工程上可以忽略不計，但滾柱與絲杠之間存在嚴重的干涉問題。

3 螺紋型面誤差分析

在實際加工過程中，行星滾柱絲杠螺紋型面與理論參數(shù)存在偏差，本節(jié)以表1行星滾柱絲杠實際參數(shù)為例，從螺紋幾何中徑誤差，螺距誤差，牙型半角誤差，滾柱型面圓弧半徑誤差等四個方面對嚙合狀態(tài)的影響進行分析。

3.1 螺紋幾何中徑誤差

行星滾柱絲杠螺紋幾何中徑誤差對行星滾柱絲杠的嚙合狀態(tài)的影響如圖4所示。圖中，嚙合點軸向間隙量正值表示存在嚙合間隙，負值表示存在嚙合干涉。所分析的滾柱、絲桿以及螺母的幾何中徑直徑誤差在±0.1mm范圍內(nèi)。

圖4 幾何中徑誤差分析

從圖4可見，嚙合間隙量與滾柱、絲桿以及螺母的幾何中徑誤差成線性關系。滾柱、絲桿螺紋幾何中徑誤差值增大，嚙合點軸向間隙量減?。宦菽嘎菁y幾何中徑值增大，嚙合間隙量增大。行星滾柱絲杠螺紋幾何中徑誤差對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)有明顯影響。

3.2 螺距誤差

行星滾柱絲杠螺距誤差對行星滾柱絲杠的嚙合狀態(tài)的影響如圖5所示。其中，由于行星滾柱絲杠螺距值一般較小，誤差值也較小。所分析滾柱、絲桿以及螺母的螺距誤差在±0.05mm范圍內(nèi)。

圖5 螺距誤差分析

從圖5可見，嚙合點軸向間隙量與滾柱、螺母、絲桿螺距誤差成線性關系。絲桿螺距誤差值增大，滾柱與絲桿軸向間隙減小；滾柱螺距誤差值增大，滾柱與絲桿嚙合軸向間隙增大，滾柱與螺母嚙合軸向間隙減??；螺母螺距誤差值增大，滾柱與螺母嚙合軸向間隙增大。螺距誤差對嚙合點軸向間隙量的影響略小于幾何中徑，依然很大，工程中不可忽略。

3.3 牙型半角誤差

行星滾柱絲杠牙型半角差對行星滾柱絲杠的嚙合狀態(tài)的影響如圖6所示。其中，滾柱、絲桿以及螺母的牙型半角誤差在±0.5°范圍內(nèi)。

圖6 牙型半角誤差

從圖6可見，嚙合間隙量與滾柱、絲桿和螺母的牙型半角誤差均成非線性關系，類似于二次拋物線。滾柱和螺母誤差的嚙合間隙量拋物線頂點在誤差零點；絲桿誤差嚙合間隙量拋物線頂點在誤差為正的某一點。當滾柱與螺母牙型半角存在偏差時，均會產(chǎn)生嚙合干涉；絲桿的牙型半角誤差為負時，產(chǎn)生嚙合干涉，誤差為正時，存在嚙合間隙，且間隙先增大后減小，誤差大于一定值時存在嚙合干涉。絲桿牙型半角誤差對嚙合狀態(tài)的影響大于滾柱和螺母牙型半角誤差，牙型半徑對嚙合狀態(tài)的影響較小。

3.4 滾柱型面圓弧半徑誤差

行星滾柱絲杠滾柱圓弧半徑對行星滾柱絲杠的嚙合狀態(tài)的影響如圖7所示。所分析滾柱圓弧半徑誤差在±0.5mm范圍內(nèi)。

從圖7可見，滾柱與絲桿嚙合點軸向間隙量與滾柱型面圓弧半徑誤差近似成線性關系，誤差值增大，嚙合間隙量減?。粷L柱行星圓弧半徑對滾柱與螺母之間嚙合間隙量無影響。

圖7 滾柱型面圓弧半徑誤差

3.5 小結

分析結果表明，在行星滾柱絲杠螺紋幾個參數(shù)中：螺紋幾何中徑誤差與嚙合間隙量在同一數(shù)量級上，對嚙合點軸向間隙量的影響最大，螺距誤差次之，誤差會導致嚙合干涉或間隙量過大，工程中需重點關注；牙型半角誤差引起的嚙合間隙量在10-4mm數(shù)量級，滾柱型面圓弧半徑誤差對嚙合間隙量在10-9mm數(shù)量級，工程中均可以忽略。

在實際生產(chǎn)加工過程中，螺紋幾何中徑誤差和螺距誤差對嚙合干涉或嚙合間隙影響明顯。誤差分析結果與實際生產(chǎn)加工情況一致，證明方法和分析結果有效。

4 結論

本文通過建立行星滾柱絲杠螺旋型面空間嚙合坐標系以及空間嚙合方程，分析了行星滾柱絲杠螺紋螺旋面參數(shù)誤差對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)的影響，得出如下結論：

(1)在按行星滾柱絲杠運動學關系對行星滾柱絲杠螺紋參數(shù)進行設計時，滾柱與絲桿之間存在嚴重的干涉問題，實際絲桿螺紋幾何中徑值應小于運動學方程計算所得理論值。

(2)行星滾柱絲杠螺紋幾何中徑及螺距誤差對嚙合狀態(tài)影響明顯，牙型半角誤差、滾柱型面圓弧半徑誤差對嚙合狀態(tài)影響較小，工程上可以忽略。

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(編輯李秀敏)