有“跡”可循有“法”可依

摘要：筆者從“運(yùn)動(dòng)軌跡是線段”“運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧”兩大類型展開對(duì)“軌跡類”問(wèn)題的探究，再依據(jù)其特點(diǎn)和性質(zhì)進(jìn)行細(xì)化，歸納出“軌跡類”問(wèn)題的一些特點(diǎn)和常用解法；同時(shí)提出了幾點(diǎn)對(duì)教學(xué)的思考，與同行共勉。

關(guān)鍵詞：軌跡；圓?。唤虒W(xué)思考

“軌跡類”探究題一直是中考的一類熱點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)也是難點(diǎn)問(wèn)題。筆者所在的淮安市，在停歇數(shù)年后，今年的填空壓軸題又出現(xiàn)了這種“軌跡類”問(wèn)題。筆者所在學(xué)校是市直屬重點(diǎn)學(xué)校，仍有大部分學(xué)生對(duì)這類題型感覺(jué)無(wú)從下手，可想而知，本題得分率是相當(dāng)?shù)偷?。那么，如此看?lái)，初中階段對(duì)“軌跡類”問(wèn)題的研究就非常必要且迫切，筆者經(jīng)和同事們研究、探索，歸納出以下幾類“軌跡類”問(wèn)題，歸納出了較為簡(jiǎn)單易掌握的解題方法，與同行共勉，供學(xué)生參考。

一、 “線段類”軌跡

（2016·海模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E在邊AD上，且AE∶

ED=1∶3。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止。過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE，交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為。

解：法一：如圖1所示：過(guò)點(diǎn)M作GH⊥AD。

∵AD∥CB，GH⊥AD，則GH⊥BC。

在△EGM和△FHM中，∠MGE=∠MHF=90°∠GME=∠FMHEM=MF

∴△EGM≌△FHM?！郙G=MH。

∴點(diǎn)M的軌跡是一條平行于BC的線段。

當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，BF1=AE=2，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∠F2+∠EBF1=90°，∠BEF1+∠EBF1=90°，

∴∠F2=∠EBF1?！摺螮F1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2。

∴BF1EF1=EF1F1F2，即：26=6F1F2，

∴F1F2=18，∵M(jìn)1M2是△EF1F2的中位線，∴M1M2=12F1F2=9。

法二：建立如圖2所示平面直角坐標(biāo)系。

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，設(shè)AP=x，∵∠PEF=90°，

∴△APE∽△GEF，∴AEFG=APEG，即26=xEG。

∴EG=3x，則E（2，6），F(xiàn)（2+3x，0）。

∵M(jìn)是EF中點(diǎn)，可得M（2+32x，3）。

∵M(jìn)點(diǎn)縱坐標(biāo)是常數(shù)3，

∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是平行于BC的線段。

∵0≤x≤6，則起點(diǎn)M1（2，3），終點(diǎn)M2（11，3）∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為9。

【評(píng)析】本題主要考查的是點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，方法一主要從幾何的角度入手，涉及了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，探究出動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑是解題的關(guān)鍵。方法二主要是從代數(shù)角度入手，建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)相似，探索出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，從而發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再?gòu)淖兞康娜≈捣秶玫杰壽E長(zhǎng)。

二、 “圓弧類”軌跡

（2016·淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是。

解：如上右圖，為了探究點(diǎn)P到邊AB的距離最小值，首先要找到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，由題意知在翻折過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離始終等于2，所以，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)F為圓心，2為半徑的圓弧，從而當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小，利用△AFM∽△ABC，得到AFAB=FMBC，所以FE=165，而PF=2，故有PE=65。

【評(píng)析】此題表面上看起來(lái)是翻折問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，其實(shí)解決問(wèn)題的關(guān)鍵是得到頂點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，再結(jié)合相似可解決問(wèn)題。根據(jù)很多同學(xué)的錯(cuò)誤想法，值得注意的是，雖然始終有∠FEP=90°，即點(diǎn)P也始終在以FE為直徑的圓上，但是E點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)E始終在變，所以這樣考慮無(wú)法解決問(wèn)題。

三、 對(duì)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

（一） 善于歸納總結(jié)，提升思維高度

教師跳入題海，學(xué)生才能跳出題海。教師跳入題海的目的是什么呢，就是能把同類型的題目歸納總結(jié)，提煉出通法，同時(shí)還要會(huì)舉一反三，融會(huì)貫通。

（二） 重視學(xué)生“四基”，提高課堂品質(zhì)

2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。較之之前的課程要求，新增了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這就要求課堂教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生歸納并體會(huì)數(shù)學(xué)中常用的思想方法。

（三） 培養(yǎng)學(xué)生“四能”，倡導(dǎo)合作創(chuàng)新

2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間……增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”這就要求教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中要有學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的平臺(tái)；教學(xué)探索環(huán)節(jié)中教師要退居二線，不可包辦、代辦，要突出學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生要有自主思考，合作探究的數(shù)學(xué)活動(dòng)意識(shí)。

作者簡(jiǎn)介：

韓先麗，江蘇省淮安市，江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū)。