高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)關(guān)鍵問題與對策

◎ 徐岳燦

隨著中國學(xué)生核心素養(yǎng)框架的發(fā)布，關(guān)于學(xué)生核心素養(yǎng)的培育正成為學(xué)校課程與教學(xué)改革的一個重要導(dǎo)向。學(xué)生的核心素養(yǎng)具體落實到不同學(xué)科或不同年級，會有不同的核心要素內(nèi)涵元素要求。高中數(shù)學(xué)學(xué)科也呼喚圍繞高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求組織教學(xué)，思考當(dāng)前存在的關(guān)鍵問題，并尋求相應(yīng)的解決策略。在此，結(jié)合對高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識，分析基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的立體幾何教學(xué)存在的關(guān)鍵問題，以及針對這些關(guān)鍵問題采取相應(yīng)策略以推進高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。

一、對于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識與立體幾何教學(xué)的關(guān)鍵問題

北京師范大學(xué)“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究”課題組正式發(fā)布了“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)總體框架”，從“文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與”三個方面發(fā)布了“人文底蘊、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實踐創(chuàng)新”六大核心素養(yǎng)。學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已經(jīng)在各個學(xué)科領(lǐng)域掀起了一場熱潮，加快建立各學(xué)科在不同學(xué)段的學(xué)科核心素養(yǎng)已經(jīng)是學(xué)科教學(xué)必須要解決的問題和教育理論與實踐發(fā)展的內(nèi)在需求。

那么高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是什么？首先，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的必備品格和關(guān)鍵能力。［1］必備品格是指具有必要的數(shù)學(xué)知識，具有數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)據(jù)意識和計算意識，具有科學(xué)態(tài)度和正確的數(shù)學(xué)價值觀；關(guān)鍵能力包括空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力、數(shù)據(jù)能力、數(shù)學(xué)抽象和概括能力、數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力，還包括提出、分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力（數(shù)學(xué)建模能力）。英國學(xué)者科克羅夫特指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指學(xué)生個人在生活中有應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的技能和數(shù)學(xué)的溝通的方式，即能用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析面臨的各種問題。其次，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是人們通過數(shù)學(xué)教育和實踐建立并發(fā)展起來的學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的必備修養(yǎng)和品質(zhì)，主要體現(xiàn)在人們與周圍環(huán)境相互作用時表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略、方法、能力等，要求學(xué)生能借助學(xué)校教育所形成的解決問題的素養(yǎng)和能力，不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科的知識，更是知識、技能和情感態(tài)度價值觀的綜合體現(xiàn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力，反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，基于數(shù)學(xué)知識與技能，但又高于具體的數(shù)學(xué)知識與技能。

據(jù)此，當(dāng)前普遍認(rèn)可由中國教育學(xué)會副會長、東北師范大學(xué)史寧中教授提出的是以下6個核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運算能力、直觀想象與數(shù)據(jù)分析［2］。其中“邏輯推理”是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的核心，也是培養(yǎng)科學(xué)素養(yǎng)的重要途徑，它強調(diào)了邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)命題以及認(rèn)證命題正確與否的重要手段，也是構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式。

為推進高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，當(dāng)前我國高中的立體幾何教學(xué)在課程設(shè)計與教學(xué)安排上還有值得反思的關(guān)鍵問題：我國高中立體幾何教學(xué)在課程設(shè)計上主要存在著“一多二少”的問題，其中“一多”是過多強調(diào)理論知識，“二少”是缺少知識間的系統(tǒng)性闡述與知識的應(yīng)用力度不足。

以立體幾何第一章的部分知識為例，當(dāng)學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)立體幾何時，就介紹了四個公理、三個推論以及證明與應(yīng)用，這對于一位普通中學(xué)生來說，過于抽象，要想達(dá)到“應(yīng)用”這些推論與公理，是何等的困難。此外，在我們的課程內(nèi)容設(shè)計中，出現(xiàn)了大量的線與線、線與面、面與面等相互之間的特殊位置關(guān)系（包括平行與垂直），但很少闡述我們是如何刻畫這些位置關(guān)系，缺少相互之間關(guān)系的描述是我們課程內(nèi)容的弊端，需要學(xué)生自己去體會與發(fā)現(xiàn)這些知識間的聯(lián)系，這同樣對學(xué)生是很難的，也不利于學(xué)生掌握該學(xué)科知識。隨著目前的課程改革進一步深化，對立體幾何知識的應(yīng)用已經(jīng)達(dá)成共識，尤其是多面體與旋轉(zhuǎn)體的面積與體積的應(yīng)用，但是不符合實際的現(xiàn)象還是存在，有些實例已經(jīng)過時，應(yīng)用的力度不夠深化等問題依然顯著。

比較國外教學(xué)，以美國普倫蒂斯·霍爾（Prentice Hall）出版社出版的教材《幾何學(xué)》［3］為例，教材中包含平面幾何與立體幾何共12章，而立體幾何僅有一章，內(nèi)容是多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積的計算以及歐拉公式F+V=E+2，且該教材需要初中學(xué)生使用，根本不涉及立體幾何的基本理論內(nèi)容，但是突出表面積與體積的實際應(yīng)用。在具體的教學(xué)安排上，我們比較強調(diào)知識點的教學(xué)，導(dǎo)致教學(xué)逐漸模式化與程序化，缺失空間想象、作圖識圖、邏輯推理等基本要求的落實，這些情況與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求相差甚遠(yuǎn)。

怎樣在立體幾何的課程體系中展現(xiàn)并形成高中數(shù)學(xué)的6個核心素養(yǎng)？根據(jù)立體幾何的課程內(nèi)容要求以及我國數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)優(yōu)勢，我們不能照搬國外教學(xué)模式，改革現(xiàn)有問題，應(yīng)當(dāng)重點突出對其中的2個核心素養(yǎng)（即邏輯推理與直觀想象）的培養(yǎng)，結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與一個或幾個學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)容有密切關(guān)系的特征，通過合理的課程設(shè)計與嚴(yán)格的教學(xué)要求，綜合提升立體幾何教學(xué)在高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。

二、基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的立體幾何教學(xué)對策

立體幾何教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一部分，承擔(dān)著高中數(shù)學(xué)6個核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要任務(wù)，其中的2個核心素養(yǎng)邏輯推理與直觀想象是教學(xué)的重點任務(wù)。培養(yǎng)學(xué)生的空間直觀感知能力，提高判斷空間幾何體中元素的位置關(guān)系，依據(jù)邏輯推理論證獲得空間結(jié)論，使學(xué)生建構(gòu)空間元素與重要結(jié)論始終是立體幾何課程的結(jié)構(gòu)特點。那么如何結(jié)合核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，進一步提升立體幾何的教學(xué)？可以采取四個基本策略，即認(rèn)識課程內(nèi)容的整體性、加強課堂教學(xué)的針對性、注重立體幾何的思想性、逐步體現(xiàn)教學(xué)的現(xiàn)代化。

（一）明確立體幾何教學(xué)內(nèi)容的整體性，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)建模與運算能力提升

核心素養(yǎng)與課程內(nèi)容的結(jié)合是以能力為導(dǎo)向的課程改革的重要舉措，高中數(shù)學(xué)的6個核心素養(yǎng)的產(chǎn)生主要是為了指導(dǎo)教育教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)未來生活的多種能力，其發(fā)展的途徑必然要與現(xiàn)行的課程體系與教學(xué)實踐相結(jié)合且互相促進發(fā)展。立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的一部分，教學(xué)內(nèi)容的整體性體現(xiàn)在知識點的內(nèi)在邏輯關(guān)系上，空間元素（如點、直線與平面）的相互位置關(guān)系的判斷與性質(zhì)組成了整個知識團，學(xué)生只有從宏觀上把握立體幾何的課程內(nèi)容，才能體現(xiàn)其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的條理化與系統(tǒng)化。在教學(xué)中，教師自身首先要建構(gòu)空間位置的一整套理論知識體系，例如空間的線線角、線面角、二面角的求作，空間元素之間的距離的計算，空間元素之間的位置關(guān)系的判斷等；其次要求學(xué)生建立知識點之間的思維鏈以及知識團之間的紐帶關(guān)系，例如異面直線之間的公垂線段分別與兩條異面直線既垂直又相交，即距離與角度的聯(lián)系等；最后要能把系列知識應(yīng)用到實踐中去，要求學(xué)生能對已經(jīng)掌握的知識點、知識鏈做出聯(lián)想與思考，解決遇到的實際問題。以下是立體幾何的重要知識結(jié)構(gòu)圖（圖1）與知識聯(lián)系圖（圖2），有助于構(gòu)建整個立體幾何知識體系。

從知識結(jié)構(gòu)上看，須把握整個知識形成過程，在平面基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，研究直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。直線與直線的位置關(guān)系可用于研究直線與平面的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系可用于研究平面與平面的位置關(guān)系。反過來，由平面與平面的位置關(guān)系可進一步掌握直線與平面的位置關(guān)系，由直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系又可進一步確定直線與直線的位置關(guān)系。［4］

（二）加強立體幾何課堂教學(xué)的針對性，彰顯數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理發(fā)展

在立體幾何的課堂教學(xué)過程中，加強空間想象能力與邏輯推理的教學(xué)針對性，是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，也是我們立體幾何教學(xué)過程中應(yīng)該努力達(dá)到的目標(biāo)。

例如：怎樣來證明正多面體不能多于五種？該結(jié)論的證明要依賴于一個定理，即一個頂點處的立體角各面角之和必定小于360°。因此若把一些等邊三角形拼起來，就可在正多面體的每個頂點用三個等邊三角形拼合成一個正四面體；可以每次用四個等邊三角形拼合成一個正八面體；可以每次用五個等邊三角形拼合成一個正二十面體。六個等邊三角形在一個頂點處合成360°，所以不能用。我們可以在每一頂點用三個正方形構(gòu)成一個正方體，可以在每個頂點用三個正五邊形構(gòu)成一個正十二面體。此外不能再構(gòu)成別的正多面體了，因為即使只用三個其他正多邊形拼在一頂點，各面角之和就要等于或超過360°。通過推理思想與空間想象能力，證明了正多面體只能是正四、六、八、十二、二十面體共五種類型。［5］這種通過課堂教學(xué)的探究，向?qū)W生示范邏輯推理的過程，進一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的意義，而不能采取功利化的思想，讓學(xué)生死記結(jié)論，僵化思維，丟棄立體幾何的教育價值。

圖1 立體幾何的重要知識結(jié)構(gòu)圖

圖2 立體幾何的知識聯(lián)系圖

核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展關(guān)鍵需要課堂教學(xué)具有針對性，在課堂教學(xué)中，能解決學(xué)生的“學(xué)什么、怎么學(xué)”以及教師的“教什么、怎么教”的絕大部分問題。核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，需要發(fā)揮課程的功能，即促進學(xué)習(xí)經(jīng)驗的獲得、改造與固化，而這種經(jīng)驗的改變須通過學(xué)校教育、家庭教育與社會教育來實現(xiàn)。據(jù)調(diào)查，學(xué)校教育對學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)展貢獻可以達(dá)到70%左右，學(xué)校教育具有制度化、系統(tǒng)化與專業(yè)化的特點，因此課堂教學(xué)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)最有效的途徑。［6］在課堂教學(xué)前后要精心組織教學(xué)內(nèi)容、合理設(shè)計教學(xué)過程、恰當(dāng)使用教學(xué)方法。立體幾何的課堂教學(xué)，是高中階段培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的主要途徑，也是錘煉學(xué)生邏輯推理能力的重要手段。我們堅信，想象力是學(xué)生在數(shù)學(xué)王國中自由翱翔的雙翅，不僅在立體幾何的學(xué)習(xí)中，需要有高度的空間想象力，而且在所有數(shù)學(xué)分支的學(xué)習(xí)中，豐富的想象力都是不可缺少的。愛因斯坦曾說過，想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力包括世界上的一切，推動著知識的進步，并且是知識化的源泉，嚴(yán)格地說，想象力是科學(xué)研究的實在因素。 “邏輯是數(shù)學(xué)的少年時代，數(shù)學(xué)是邏輯的成人時代”這句話是數(shù)理邏輯大師羅素在《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》里講的話［7］。立體幾何體系內(nèi)在邏輯的嚴(yán)密性，揭示了一個知識系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)。

知識系統(tǒng)的整體性和完備性是我國教材體系的強項，須重點加以保護與維持。事實已經(jīng)證明，經(jīng)過嚴(yán)格的訓(xùn)練，確實能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，由觀察歸納出一些事實，在此基礎(chǔ)上，合理運用邏輯推理的方法，推導(dǎo)、證明一些新的事實。觀察、抽象與推理是我們認(rèn)識世界的重要途徑。

（三）注重立體幾何教學(xué)的思想性，強化學(xué)生直觀想象與數(shù)據(jù)分析能力

曾引起熱烈討論的PISA測試的框架是基于對學(xué)生在生活中所應(yīng)具備的技能和水平的考察，而不是基于課程領(lǐng)域的內(nèi)容，體現(xiàn)了以數(shù)學(xué)思維為核心的設(shè)計思路，［8］同樣在立體幾何的教學(xué)中，也須突出其思想性，重點體現(xiàn)在建模思想與推理思想以及由這兩種思想解決具體問題時采用的一些基本方法，如投影法、向量法、建系法、形數(shù)結(jié)合法等。請看如下兩個典型例子：

例1 棱長為3的正方體的頂點A在平面α上，三條棱AB、AC、AD都在平面α的同側(cè)，若頂點B、C到平面α的距離分別為1，，求頂點D到平面α的距離。［9］

分析：這是典型的立體幾何問題，由于問題涉及兩兩垂直的三條直線，可以聯(lián)想如圖3所示中長方體模型AEFG-KHIJ，使其滿足長方體的對角線AI為平面α的垂線且AB=AC=AD=3，設(shè)AI與AB、AC、AD所成角分別為θ1, θ2, θ3，由長方體的性質(zhì)得cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3=1, AB、AC、AD與 平 面α所成角的大小是，由于B、C到平面α的距離分別為1、,所以，代入解得，故頂點D到平面α的距離是。

圖3 長方體

在例1的教學(xué)過程中，我們強調(diào)“數(shù)學(xué)知識—數(shù)學(xué)應(yīng)用—數(shù)學(xué)推理”三個要素，并以這三個要素為基礎(chǔ)形成數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)的基本過程，著重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探索和思考能力，突出數(shù)學(xué)思維的核心作用。［9］由于題設(shè)問題通過建模思想可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的長方體，而合理應(yīng)用長方體中一些重要的知識與結(jié)論成為解決的關(guān)鍵，如 cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3=1，所以要突出應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、解決問題和數(shù)學(xué)推理的過程中，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識和思考能力。當(dāng)?shù)玫胶?，再根?jù)幾何意義，最終得到頂點到平面的距離。圍繞立體幾何教學(xué)的重要思想和基本方法，是進一步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的首要綱領(lǐng)，應(yīng)在教學(xué)中抓住滲透重要思想和基本方法的機會，并注重滲透的過程和方法，強化從數(shù)據(jù)中獲取信息、形成知識的能力，從而提高思考和論證問題的能力。

例2 如下是2017年美國數(shù)學(xué)競賽（AMC）12年級的一題，也是其中僅有的一個立體幾何問題：一個冰淇淋由上下兩部分拼成，上部分是底面直徑與高均為4的圓錐，下部分是圓臺，其高為4，圓臺的上底面是上述圓錐的底面，下底面的直徑為2。問該冰淇淋的體積是多少？（單位為立方英寸）

這是典型的國外的立體幾何問題，給出的問題貼近生活實際，具有現(xiàn)實性，并且沒有給出具體數(shù)學(xué)模型，需要學(xué)生直觀想象，通過數(shù)據(jù)分析建立實際模型，然后利用數(shù)學(xué)知識，強調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用并最終解決問題。立體幾何主要研究由空間元素所形成的立體圖形，包括多面體和旋轉(zhuǎn)體以及兩者之間的聯(lián)系，無論是我們的傳統(tǒng)立體幾何教學(xué)，還是國外的實例教學(xué)，都需要具備相當(dāng)?shù)某橄竽芰Γㄟ^建模思想轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形，突出直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程，進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，提升數(shù)形結(jié)合的能力，再通過推理思想，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并解決問題，最終得到數(shù)學(xué)命題。［10］在現(xiàn)代立體幾何的教學(xué)中，筆者主張我國的傳統(tǒng)立體幾何教學(xué)的思想性與國外的實例教學(xué)進行合理的整合，強化學(xué)生直觀想象與數(shù)據(jù)分析能力。

（四）體現(xiàn)立體幾何教學(xué)的現(xiàn)代化，全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

隨著人類社會和科學(xué)技術(shù)的不斷進步，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的內(nèi)容絕不能墨守成規(guī)、一成不變，而應(yīng)該與時俱進、不斷更新，努力體現(xiàn)現(xiàn)代化的要求。但是，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，和其他一些基礎(chǔ)學(xué)科一樣，其基本內(nèi)涵又應(yīng)該是十分穩(wěn)固的。此外，由于數(shù)學(xué)學(xué)科不像有些學(xué)科那樣是從推翻前人的結(jié)論而建立新的理論的，它不斷繼承前人的成果而加以發(fā)展，教學(xué)內(nèi)涵的穩(wěn)固性就顯得特別明顯。因此，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的較大變化，往往需要一個較長的歷史過程，決不是短期內(nèi)就能實現(xiàn)的。從這個意義中說，“現(xiàn)代化”精神對數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的滲入需要著眼一個較長的歷史時期，不可能急功近利，更不可能一蹴而就。怎樣在立體幾何的教學(xué)中體現(xiàn)現(xiàn)代化的精神呢？首先要結(jié)合時代的發(fā)展，針對教學(xué)的要求，認(rèn)真分析學(xué)科的現(xiàn)狀，看有沒有必要對有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容進行必要的增添或刪減，以體現(xiàn)現(xiàn)代化的要求。這種變化，如前所述，不可能是多頻度、短周期的，但在相當(dāng)長的一段時間中，卻應(yīng)該是可以有所作為的。以目前在立體幾何教學(xué)內(nèi)容中的空間向量為例，它是進入21世紀(jì)后才逐漸增添進入我國立體幾何教材的?？臻g向量的作用是不言而喻的，但是在此前教材中就沒有引入。除了增減具體的教學(xué)內(nèi)容外，還應(yīng)該注意相應(yīng)地調(diào)整關(guān)于有關(guān)教學(xué)內(nèi)容的視角。這一視角的轉(zhuǎn)變，不僅可以影響到相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的增減，而且還會影響到這些教學(xué)內(nèi)容的編排與處理的風(fēng)格。如原先計算兩條異面直線的兩個量（所成角與距離）的大小，都比較困難，但是自從引入向量這一工具后，狀況就大為改觀了。

另一方面，計算機應(yīng)用的空前普及，不僅在很大程度上改變了人們的生活，也深刻地改變著人們的思維習(xí)慣與方式。這一發(fā)展和變化對數(shù)學(xué)學(xué)科所帶來的影響也必然會引起我們的高度重視，并反映到數(shù)學(xué)教學(xué)中來。在立體幾何教學(xué)中，作圖軟件的使用可以有效改善學(xué)生的直觀想象，尤其是涉及多面體、旋轉(zhuǎn)體相互之間的“切、接”等難以直觀描述的問題，可以起到事半功倍的作用?，F(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要發(fā)展趨勢，除數(shù)學(xué)建模以外，就是對算法的重視，從這點出發(fā)，數(shù)學(xué)的教學(xué)不能限于紙上談兵的狀況，僅僅停留在定理及公式的證明及推導(dǎo)上，而應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生利用這些定理及公式，針對具體的應(yīng)用需要，設(shè)計出相應(yīng)的算法，以成功地得到所需的具有很高近似程度的數(shù)值答案。這樣做，也必然會進一步顯示這些定理及公式的深刻意義和作用，彰顯了它們是設(shè)計相應(yīng)算法的重要理論基礎(chǔ)，反過來對理論的學(xué)習(xí)和理解也會起促進作用，例如考慮使用計算機來計算一些不規(guī)則幾何體的面積與體積值，有利于理解相應(yīng)的概念、公式、原理等。

總而言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究在學(xué)術(shù)界已經(jīng)形成共識，如何落實到具體的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐和課程內(nèi)容還需要進一步的探索與思考。高中立體幾何教學(xué)內(nèi)容的特殊性，決定了其在學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育方面的典型性，尤其是邏輯推理與直觀想象，我們可以從鞏固立體幾何內(nèi)容的整體性、加強課堂教學(xué)的針對性、注重立體幾何的思想性、逐步體現(xiàn)教學(xué)的現(xiàn)代化四個方面著手，全面理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在立體幾何中的嘗試與實現(xiàn)。

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